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2015年7月2日 星期四

104年臺南區特招數學詳解

試題來源:臺南一中


解:

提示二:a=3x

提示三a-6=b ⇒3x-6=b
提示四55b=c⇒55(3x-6)=c
提示五c+200=2015⇒55(3x-6)+200=2015⇒165x-330+200=2015
⇒165x-130=2015⇒165x=2145⇒x=13,故選(B)



解:

交點在y軸上,代表當x=0時,兩式y值相同。
即,左式y=4,右式y=8/b⇒4=8/b⇒b=2,故選(B)


解:

99/1858 =  0.053,故選(A)


解:

3713 ⇒2013年第37週,37/4=9餘1,故選(C)


解:

有31位同學,中位數落在第16人身上。
答對1題的人數+答對2題的人數+答對3題的人數+答對4題的人數+答對5題的人數+答對6題的人數 = 4+2+3+1+4+1 =  15,沒有人答對題數為7,加上答對題數為8的3人,15+3>16,所以中位數為8,故選(D)


解:

用圓周角對應的圓弧來解釋
CD為直徑∠DBC=90°⇒弧DA+弧AC=90⇒弧AC=56
AB為直徑∠ACB=90°弧BE+弧DE+弧DA=90⇒32+弧DE+34=90弧DE=24
CD為直徑∠DAC=90°⇒弧CB+弧BE+弧ED=90⇒弧CB+32+24=90弧CB=34
∠EDC =  弧CB+弧BE = 34+32 =66,故選(A)



解:

因此當x=1時有最小值-1,故選(A)


解:

假設公差為d,則a1+a2+a3=a1+(a1+d)+(a1+2d) = 3a1+3d = 3+3d = 30  ⇒ d=9。
假設最接近2015的數列為第n項,即a1+(n-1)d = 2015  ⇒1+(n-1)9=2015 ⇒9(n-1)=2014⇒n-1=2014/9=223.77⇒n=224.77,故選(C)


解:

無實數解 ⇒a2-96<0-4√6<a<4√6⇒-9.8<a<9.8
有相異實數解 ⇒25-8a>0⇒25/8>a⇒a<3.125
兩式合併,可得-9.8<a<3.125⇒a=-9, -8, ..., 0, 1, 2, 3
共有13個整數解,故選(B)


解:

速度比,甲:乙=5:4,乙:丙=6:5
⇒甲:乙:丙=15:12:10
令甲=15K, 乙=12K,丙=10K
甲+乙+丙=15K+12K+10K=555⇒37K=555⇒ K= 15
甲-丙=15K-10K=5K=75,故選(D)


解:

從上圖黃色區域的數列1、9、17、25...
該數列為公差為8的等差數列a1,a2,...,an,...
當n為奇數時,順時針排列
當n為偶數時,逆時針排列
現在要求an,且an≤1023 ⇒1+(n-1)8≤1023⇒n≤128.75
當n=128時,an=1+(128-1)8=1017

n為偶數,逆時針排列如上圖,1023在第一象限,,故選(A)


解:

共有1+2+3+4+5+6=21個球,因此抽中各球的機率分別為:
1號球:1/21、2號球:2/21、3號球:3/21、4號球:4/21、5號球:5/21、6號球:6/21。
700元相當899元打77折(700/899=0.778),因此抽中1~4號皆可用低於700元的價格買下路跑褲,其機率為(1+2+3+4)/21 = 10/21=0.476,故選(B)


解:

△ABC=△PAB+△PAC+△PBC = 12(2+3+h)/2 = 36√3
 ⇒5+h=6√3 ⇒ h=6√3-5 = 6×1.732(試題提供) -5= 5.392
故選(C)


解:

此題相當於a4=20152015,求a=?
(A)404=2560000
(B)504=6250000
(C)604=12960000
(D)704=24010000
最接近20152015的是24010000,故選(D)


解:

假設台南市人口為a、左鎮區的65歲以上的人口為b
依題意左鎮區的0~14歲的人口為0.07a,且
扶養比為(0.07a+b)/(a-0.07a-b) = 0.48 ⇒(0.07a+b)/(0.93a-b) 
⇒0.4464a-0.48b=0.07a+b⇒0.3764a=1.48b⇒b=0.2543a
,故選(D)


解:

f(x)有最小值 ⇒a>0
g(0)=a>0,只有圖(D)在x=0時,y值<0,因此圖(D)不符合g(0)>0的要求,故選(D)


解:

1184的所有正因數(1184除外)相加=1+2+4+8+16+32+37+74+148+296+592 = 1210,故選(A)


解:

BC=BE ⇒∠BCD=∠BED=x°
BE=BA ⇒∠AEB=∠BAE=y°
AC為正方形之對角線∠BAC=∠BCA=45°
△ACE中,45+45+2x+2y=180⇒x+y=45,故選(C)


解:

見上圖:
5的對面只能填1,10;
4的對面可填入1、2、8;
6的對面可填入1、2、3。
由於不能重複,(5的對面、4的對面、6的對面)可能的順序為
(1、2、3)、(1、8、2)、(1、8、3)、(10、1、2)、(10、1、3)
(10、2、1)、(10、2、3)、(10、8、1)、(10、8、2)、(10、8、3)
共有10種可能,故選(D)


解:

正六邊形的內角為(6-2)×180/6=120度,△DRC為30-60-90的直角三角形,因此DR=a/2、RC=√3×a/2,如上圖。
SR=a/2+a+a/2 = 2a、RQ=√3×a/2+√3×a/2=√3×a
六邊形面積=SR×RQ=2a×√3×a=10√3⇒a=√5=2.236,故選(C)


解:

直角△ODB中,r2=h2+62r2-h2=62⇒(r+h)(r-h)=36
直角△ADB中,102=(r+h)2+62⇒r+h=8代入上式可得r-h=36/8=9/2
r+h=8及r-h=9/2⇒h=(8-9/2)/2=7/4,故選(C)


解:

令乙的速度為a,則甲的速度為3a/2。
速度比 甲:乙=3:2
相遇代表甲乙兩人合走的距離剛好等於長方形周長(16)
3K+2K=16⇒K=3.2⇒每次相遇,甲走了3×3.2=9.6、乙走了2×3.2=6.4;
第四次相遇,甲走了3×3.2×4=38.4,相當於兩圈(16×2=32)又6.4
,即M→2.5→A→3→B→0.9,最接近B點,,故選(B)


解:

AP:PC=1:2,令AP=a、PC=2a;
由於是正六邊形,所以Q是AC的中點,即AQ=(a+2a)/2=3a/2,
又AF=AB(邊長相等)=OP
直角△APN三內角為30-60-90⇒PN=AP/√3=a/√3
直角△AQB三內角為30-60-90⇒AB=AQ×(2/√3)=(√3)a
MP:PN=(MO+OP):PN=(PN+AB):PN=(a/√3  +(√3)a):a/√3  = (1+3):1 = 4:1 ⇒比值=4,故選(B)


解:

先證明△ADE與△AEB相似(符合AAA)
(1)∠A=∠A
(2)∠AED=∠ABE (對同弧的圓周角與弦切角相等)
由於兩△相似⇒AD:AE=AE:AB⇒AE×AE=AD×AB=(a/2)×a
⇒AE=(√2/2)a
△ABE面積:△ABC面積=AE:AC=(√2/2)a:a  =  (√2/2):1
△ABC面積 =√3a2/4△ABE面積=(√3a2/4)× (√2/2)  = √6a2/8
,故選(A)


解:
延長BD交圓於E點,如下圖:

由於BE是直徑,所以∠BCE=90°∠ACE=90-60=30°
∠ABE=∠ACE(對同弧的圓周角)=30°∠ADB=180-∠ABD-∠BAD  = 180-30-75=75°△BDA為等腰,即BD=AB
BE是直徑△BAE為直角△,且三內角為30-60-90  ⇒ AB=BE×√3/2 =10×√3/2 =5√3
因BD=AB,故選(B)

--- END---

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