直線與圓相交，求範圍？

若√(1-x²)=2x+k恰有一實數解，求k的範圍？
解：
此題相當於求以下聯立方程式：

也可以寫成

一般而言式(3)為一圓方程式，而式(2)為一直線，兩者相交恰有一實數解表示相交於圓切點上。也就是將式(2)代入式(3)可得

判別式為0，即

由求得的k值，可得此圓的兩條切線為y=2x ±√5，如下圖

但由式(1)可知：y≥0 ⇔ (1-x²)≥0，也就是說式(3)的圓僅有上半部。而直線與半圓大部份相交於一點，僅有少部份情況是相交兩點。
若直線y=2x+k經過半圓的左右兩端點(1,0)、(-1,0)，可求得k=-2及k=2，如下圖的兩條藍線。

介於兩條藍線間的所有直線均與半圓相交一點(除了k=2時剛好交於兩點)，介於紅色切線於左邊藍線的直線均與半圓相交兩點(除了k=√5時剛好交於一點)。
因此直線y=2x+k與半圓交於一點的條件為:

k=√5及-2≤k<2

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