直線L經過點P且交圓C於A、B兩點，求弦長AB？

題目：直線L經過點P(-2,11)且交圓C：x²+y²+6x-12y-61=0於A、B兩點，試在下列各條件下分別求弦AB之長：
(1)線段PA、PB的長度皆為自然數
(2)PA=2PB
(3)P為AB之中點
解：

圓C：x²+y²+6x-12y-61=0⇒(x+3)²+(y-6)²=106
⇒圓心座標O(-3, 6)，半徑=√(106)
PO距離=√(26)<半徑⇒點P在圓內；
(1)過P、O兩點作一直線交圓於C、D兩點，且令半徑OD=r, OP=a，如下圖：

△ACP~△DBP(AAA, ∠CAB=∠BDC, ∠APC=∠BPD)
 ⇒AP:CP=PD:PB ⇒ AP×PB=CP×PD = (r-a)(r+a)=r²-a²
= 106-26 = 80 
由於線段PA、PB的長度皆為自然數 AP×PB= 80 
= 1×80 = 2×40 = 4×20 =8×10 =16×5
⇒PA+PB = 81或42或24或18或21
由於P是圓內點，所以PA+PB不大於直徑=2×√(106)
因此PA+PB=18, 其餘皆不符(都比直徑大)。

(2)PA=2PB
令PB=b, 則PA=2b 
 AP×PB=80=2b×b =2b² ⇒b=2√(10) ⇒ PA+PB=3b = 6√(10)

(3)PA=PB
令PB=PA=b, 則AP×PB=80=b² ⇒b= 4√5 ⇒ PA+PB=8√5。