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2015年11月23日 星期一

直線L經過點P且交圓C於A、B兩點,求弦長AB?

題目:直線L經過點P(-2,11)且交圓C:x2+y2+6x-12y-61=0於A、B兩點,試在下列各條件下分別求弦AB之長:
(1)線段PA、PB的長度皆為自然數
(2)PA=2PB
(3)P為AB之中點
解:

圓C:x2+y2+6x-12y-61=0⇒(x+3)2+(y-6)2=106
⇒圓心座標O(-3, 6),半徑=√(106)
PO距離=√(26)<半徑⇒點P在圓內;
(1)過P、O兩點作一直線交圓於C、D兩點,且令半徑OD=r, OP=a,如下圖:


△ACP~△DBP(AAA, ∠CAB=∠BDC, APC=∠BPD)
 ⇒AP:CP=PD:PB ⇒ AP×PB=CP×PD = (r-a)(r+a)=r2-a2
= 106-26 = 80 
由於線段PA、PB的長度皆為自然數 AP×PB= 80 
= 1×80 = 2×40 = 4×20 =8×10 =16×5
⇒PA+PB = 81或42或24或18或21
由於P是圓內點,所以PA+PB不大於直徑=2×√(106)
因此PA+PB=18, 其餘皆不符(都比直徑大)。

(2)PA=2PB
令PB=b, 則PA=2b 
 AP×PB=80=2b×b =2b2 b=2√(10) ⇒ PA+PB=3b6√(10)

(3)PA=PB
令PB=PA=b, 則AP×PB=80=b2 b= 4√5 ⇒ PA+PB=8√5

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