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2015年12月25日 星期五

圓上一動點與平面兩點所成內積之極值

題目:坐標平面上二點A(-3, 0)與B(0,  4),若點P為圓C:  x2+y2=1上的動點,則當PA‧PB有最大值時,此時P點坐標為何?
解:
假設點P坐標為(x,  y),則


點P需在圓C上,且使得PA‧PB有最大值。此時有兩種解法,一種是用幾何圖型來求取P座標;另一個方法就是直接計算(不用畫圖)。
方法一:(幾何圖解)
由上式可知,內積可以看成一個動態圓Q,圓心為(-3/2,  2),其最大值當然是無窮大,但P點需在圓C上。因此,此題可以轉換成:求以下兩圓交點P(a,  b),其中半徑  r  要盡可能的大。


r要盡可能的大,因此兩圓相切於點P,如上圖。


因此點P座標可由下式求出:

過程看起來有點複雜,其實真正計算的時間很短。

方法二:(直接計算)
由圓C上的點可表示成(cosθ,sinθ)代入內積,即


所以當α與(-θ)互餘時,內積有最大值為6。
(註:若兩角α、β互餘,則sinα=cosβ且sinβ=cosα)
因此點P=(cosθ,sinθ)=(cos(-θ),-sin(-θ))=(sinα,-cosα)
=(3/5, -4/5)
感覺上,直接算比較容易理解!

-- END--

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