圓上一動點與平面兩點所成內積之極值

題目：坐標平面上二點A(-3, 0)與B(0,  4)，若點P為圓C:  x²+y²=1上的動點，則當PA‧PB有最大值時，此時P點坐標為何？
解：
假設點P坐標為(x,  y)，則

點P需在圓C上，且使得PA‧PB有最大值。此時有兩種解法，一種是用幾何圖型來求取P座標；另一個方法就是直接計算(不用畫圖)。
方法一：(幾何圖解)

由上式可知，內積可以看成一個動態圓Q，圓心為(-3/2,  2)，其最大值當然是無窮大，但P點需在圓C上。因此，此題可以轉換成：求以下兩圓交點P(a,  b)，其中半徑  r  要盡可能的大。

r要盡可能的大，因此兩圓相切於點P，如上圖。

因此點P座標可由下式求出：

過程看起來有點複雜，其實真正計算的時間很短。

方法二：(直接計算)
由圓C上的點可表示成(cosθ,sinθ)代入內積，即

所以當α與(-θ)互餘時，內積有最大值為6。

(註：若兩角α、β互餘，則sinα=cosβ且sinβ=cosα)

因此點P=(cosθ,sinθ)=(cos(-θ),-sin(-θ))=(sinα,-cosα)

=(3/5, -4/5)

感覺上，直接算比較容易理解！

-- END--