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2016年1月1日 星期五

等腰梯形ABCD中,AD//BC且線段AB=線段CD,若向量AB=(3,1),向量(AD)=(-2,2),求向量(CD)?

題目:
等腰梯形ABCD中,\(\overline{AD}// \overline{BC}\)且\(\overline{AB}=\overline{CD}\),若\( \overrightarrow {AB}=(3,1),\overrightarrow{AD}=(-2,2)\),求\(\overrightarrow {CD}\)?
解:


令A座標為(0,0),則B=(3,1),D=(-2,2),如上圖。由上圖可知:\(C_1\)及\(C_2\)都符合要求。
$$\overline{AD}// \overline{BC} \Rightarrow   \overrightarrow{BC}=   t(-2,2)=(-2t,2t) \\\Rightarrow \overrightarrow{CD} =   \overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}  =(2t,-2t)+(-5,1)   =   (2t-5,-2t+1)\\   又  |\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{CD}|   \Rightarrow   |(3,1)|=|(2t-5,-2t+1|   \Rightarrow   3^2+1^2   =   (2t-5)^2+(-2t+1)^2  \\ \Rightarrow   8t^2-24t+16=0   \Rightarrow   (t-2)(t-1)=0   \\   \Rightarrow   t=\begin{cases}   2\\  1 \end{cases}\Rightarrow   \overrightarrow   {CD}= \begin{cases}  (2\times 2-5,-2\times 2+1)= (-1,-3)\\   (2\times  1-5,  -2\times  1+1)=(-3,-1) (不合)\end{cases}\\,依據等腰梯形的定義,\angle ABC =  \angle DCB,所以只有(-1,-3)符合,故:\overrightarrow   {CD}=\bbox[red,2pt]{(-1,-3)}$$


4 則留言:

  1. 回覆
    1. 已修訂,連題目也修訂了,謝謝提醒!!!

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    2. (-3,-1)會造成ABCD是平行四邊形

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    3. 查了課綱,等腰梯形的兩底角需相等,所以(-3,-1)不合要求。解題已增修文字,謝謝!

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