102年試辦會考數學詳解

試題來源: 心測中心

1.  算式 -6+2×[16-(-32)÷8] 之值為何？

(A) -24    (B)  -4   (C) 30    (D)  3

解：

$$-6+2\times [16-(-32)\div 8]=-6+2\times [16-(-4)]\\ =-6+2\times [16+4]=-6+2\times [20]\\ =-6+40=34$$
故選(D)。

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2. 數線上A、B兩點所表示的數分別為a、b，且a<b, |a-b|=9。若從A點向右移動3單位到達C點，則B、C兩點的距離為何？

(A)3 (B) 6 (C) 9 (D) 12

解：
a<b =>  B在A的右邊
|a-b|=9  =>  A、B的距離為9
A點向右移動3單位  =>  此時A、B的距離為6
故選 (B)。
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3.  有一座水池內部呈長方體，水深為500公分。小明想要將水池內的水，以每30分鐘下降40公分的速率，等速放水5小時。若經過x分鐘後，水深為y公分，則下列哪一個圖形可以表示x、y的關係？

解：

30分鐘下降40公分  =>  y軸/x軸  =  40/30 ,  故選  (B)。

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4.  圖(一)中，四邊形ABCD為平行四邊形，四邊形ACDE為菱形。若∠1為∠BCD的外角，則下列有關∠1、∠ADE、∠ACB的大小關係，何者正確？
(A)  ∠ADE>∠1      (B)  ∠ADE<∠1    
(C) ∠ACB<∠1    (D) ∠ACB=∠1

解：
假設∠EDA=∠2,  ∠CDB=∠3 且  ∠ADB=∠4
ED//AC   且  AD//BC   =>  ∠DAC=∠ACB =∠2
又AD//BC => ∠ADB=∠DBC=∠4
四邊形ACDE為菱形  => ∠2=∠3+∠4

因此∠ACB=∠2=∠3+∠4=∠1，故選(D)。
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5.  如圖(二)，三直線圍成一個三邊圴不等長的銳角三角形ABC。根據圖中各角度的位置，判斷下列關係何者正確？
(A)  ∠1+∠3 >90      (B)∠3+∠5<90
(C)∠4=∠1+∠2      (D)∠5=∠1+∠3

解：
銳角三角形任一內角均小於90，也代表任兩內角和大於90，故選(A)。
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解：

$$\frac { 3A+B }{ 2 } -\frac { A-3B }{ 3 } =\frac { 3(3A+B) }{ 6 } -\frac { 2(A-3B) }{ 6 } \\ =\frac { 9A+3B }{ 6 } -\frac { 2A-6B }{ 6 } =\frac { 9A+3B-(2A-6B) }{ 6 } \\ =\frac { 9A+3B-2A+6B }{ 6 } =\frac { 7A+9B }{ 6 } \\ =\frac { 7(2x-3)+9(3x+1) }{ 6 } =\frac { 14x-21+27x+9 }{ 6 } \\ =\frac { 41x-12 }{ 6 } $$

故選(B)。

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7.  在30~50的正整數中，將與48互質的數由小到大排列，則第5個數為何？

(A)  37     (B)  41   (C) 43    (D)  47

解：

48的質因數為2與3，與48互質的數不能有2或3的倍數。

30=2×15,  31,  32=2×16,  33=3×11,  34=2×17,  35,  36=2×18,  37,  38=2×19, 39=3×13, 40=2×20, 41,  42=2×21,  43,  44=2×22,  45=3×15, 46=2×23,  47,  48=2×24....

與48互質的數=>  31,  35,  37,  41,  43,  47,  .....

第5個是43，故選(C)。

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解：

$$\frac { 6 }{ \sqrt { 7 } -\sqrt { 5 }  } -\frac { 12 }{ \sqrt { 11 } +\sqrt { 5 }  } \\ =\frac { 6(\sqrt { 7 } +\sqrt { 5 } ) }{ (\sqrt { 7 } -\sqrt { 5 } )(\sqrt { 7 } +\sqrt { 5 } ) } -\frac { 12(\sqrt { 11 } -\sqrt { 5 } ) }{ (\sqrt { 11 } +\sqrt { 5 } )(\sqrt { 11 } -\sqrt { 5 } ) } \\ =\frac { 6(\sqrt { 7 } +\sqrt { 5 } ) }{ 2 } -\frac { 12(\sqrt { 11 } -\sqrt { 5 } ) }{ 6 } =3(\sqrt { 7 } +\sqrt { 5 } )-2(\sqrt { 11 } -\sqrt { 5 } )\\ =3\sqrt { 7 } +5\sqrt { 5 } -2\sqrt { 11 } $$

故選(D)。

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9.  已知一等差數列的公差是2，前20項和是500，求此等差數列的首項為何？

(A)  5   (B)  6    (C)  10    (D)  12

解：

令首項為a，公差為d=2

$${ S }_{ 20 }=\frac { { { a }_{ 1 }+{ a }_{ 20 } } }{ 2 } \times 20=10\left\{ a+\left( a+19d \right)  \right\} \\ =10\left\{ a+\left( a+19\times 2 \right)  \right\} =10\times \left( 2a+38 \right) =500\\ \Rightarrow 2a+38=50\Rightarrow 2a=12\Rightarrow a=6$$

故選(B)。

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解：

由上圖可知：圖形(A)找不到對稱軸，故選(A)。

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解：

△ABC為等腰 ⇒ ∠B=∠C=55°, ∠A=180-55-55=70°⇒BC>AC

⇒BC-1>AC-1⇒DC>EC，故選(B)。

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12. 已知在KTV唱歌消費，除了唱歌的費用外，還需多付10%的服務費。若小明在KTV唱歌，含服務費共花了x元，則他付的服務費可用下列哪一個式子表示？

$$(A)\frac { 1 }{ 10 } x\quad \quad (B)\frac { 9 }{ 10 } x\quad \quad (C)\frac { 1 }{ 11 } x\quad \quad (D)\frac { 9 }{ 11 } x$$

解：

假設唱歌的費用為a元，則服務費為a/10元，共花了a+a/10=x

$$a+\frac { a }{ 10 } =x\Rightarrow \frac { 11a }{ 10 } =x\Rightarrow a=\frac { 10 }{ 11 } x\\ \Rightarrow \frac { a }{ 10 } =\frac { 1 }{ 11 } x$$

故選(C)。

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13. 座標平面上有一矩形ABCD，其中直線AC的方程式為x+2y=7。若B點座標為(1,1)，且AB與y軸平行，則D點座標為何？

(A) (1,3)  (B) (3,5)  (C) (5,1)  (D) (5,3)

解：

AB與y軸平行⇒AB的方程式為x=1

令A點座標為(1,a)，由AC的方程式可知1+2a=7⇒a=3，即A=(1,3)。

ABCD為矩形⇒AB垂直BC⇒BC與x軸平行⇒BC的方程式為y=1

令C點座標為(c,1)，代入AC方程式⇒c+2=7⇒c=5⇒C點座標為(5,1)

由A、C兩點的座標可得知D點座標為(5,3)，故選(D)。

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14. 算式2×(2000²-1)-2001²-1999²之值為何？

(A) 4  (B) -4  (C) 7998  (D) -8002

解：

$$2\times \left( { 2000 }^{ 2 }-1 \right) -{ 2001 }^{ 2 }-{ 1999 }^{ 2 }\\ =2\times \left( { 2000 }+1 \right) \left( 2000-1 \right) -{ 2001 }^{ 2 }-{ 1999 }^{ 2 }\\ =2\times 2001\times 1999-{ 2001 }^{ 2 }-{ 1999 }^{ 2 }\\ =-\left( { 2001 }^{ 2 }-{ 2\times 2001\times 1999+1999 }^{ 2 } \right) \\ =-{ \left( 2001-1999 \right)  }^{ 2 }=-{ 2 }^{ 2 }=-4$$

故選(B)。

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15. 圖(五)的五邊形ABCDE是由△ABE與正方形BCDE所組成，F點在CD上，且AF⊥CD。若五邊形ABCDE的面積為63，且AF=11，則△ABE與正方形BCDE的面積比為何？

(A) 2:7  (B) 3:5  (C) 3:16  (D) 5:12

解：

假設AF與BE的交點為G，且令正方形邊長為a，如下圖：

ABCDE的面積=△ABE+正方形BCDE =(11-a)a/2 +a×a=63，即

$$\frac { a\left( 11-a \right)  }{ 2 } +{ a }^{ 2 }=63\Rightarrow { a }^{ 2 }+11a-126=0\\ \Rightarrow (a-7)(a+18)=0\Rightarrow a=7$$

△ABE與正方形BCDE的面積比=(11-a)a/2 : a×a  =  4×7/2 :7×7 

= 2:7,  故選(A)。

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16. 根據下列各選項圖中所給的邊長長度及角度，判斷下列哪一個圖形與其他三個不相似？

解：

除了選項(B)，其他三內角均為65、65、50，故選(B)。

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17. 如圖(六)，正方形廣場ABCD的邊長為100公尺。甲、乙兩機器人均從A點同時出發，甲沿著AB與BC走至C點，乙沿著AD與DC走至C點。若甲、乙的速率分別為每分鐘16公尺、17公尺，則出發後10分鐘，此時甲、乙的位置相距多少公尺？

(A) 30  (B) 40  (C) 50  (D) 70

解：

10分鐘後，甲走了16×10=160公尺、乙走了17×10=170公尺。
甲逆時鐘、乙順時鐘，10分鐘後甲走到E點、乙走到F點的位置如下圖

△EFC為直角三角形，所以EF²=30²+40²⇒EF=50，故選(C)。

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18. 圖(七)中，四邊形BDEG為平行四邊形，G為△ABC的重心，且C在DE上。若平行四邊形BDEG的面積為12，則△ABC的面積為何？

(A) 8  (B) 12  (C) 15  (D) 18

解：

以BG當底邊，求取其高為h，如下圖

則平行四邊形的面積=BG×h，而△BGC面積=BG×h/2，所以△BGC面積=平行四邊形面積的一半=12/2=6；

由於G為重心，△ABC面積=3×△BGC面積=3×6=18，故選(D)。

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19. 已知有甲、乙、丙、丁四支棒球隊，每隊均與其他三隊各比20場。表(一)為四隊比賽戰積紀錄表，其中部分資料污損。根據表中的資料，判斷乙隊的獲勝場數為何？

(A) 23  (B) 24  (C) 25  (D) 26

解：

假設乙隊勝了a場、輸了b場，如下表

乙隊共出賽60場，所以a+b+1=60----(1)

所有比賽的勝場數等於負場數，即36+a+25+31=23+b+33+27 --- (2)

解上述二式

$$\begin{cases} a+b+1=60 \\ 36+a+25+31=23+b+33+27 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} a+b=59 \\ a-b=-9 \end{cases}\Rightarrow a=25,b=34$$

故選(C)。

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20. 如圖(八)，等臂天平的甲、乙兩秤盤都有5克、3克兩種砝碼，且乙秤盤比甲秤盤多2個砝碼。根據圖(八)的狀態，若甲的5克砝碼個數比乙多x個，則x的最小值為何？

(A) 2  (B) 3  (C) 4  (D) 5

解：

假設甲秤盤有5克砝碼a個、3克砝碼b個、乙秤盤有5克砝碼c個。

由「乙秤盤比甲秤盤多2個砝碼」可知：乙秤盤有3克砝碼a+b+2-c個。

由圖(八)可知甲秤盤比乙秤盤重，即

5a+3b>5c+3(a+b+2-c)⇒a-c>3，即x>3，故選(C)。

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21. 圖(九)是一個橫置的直角柱密閉容器ABCDEF，其底面積為直角三角形，內部裝有水，且矩形BCFE平放在水平地面上。今將此容器旋轉，使得矩形CADF平放在水平地面上，如圖(十)所示。已知AB=3，BC=4，AC=5，AD=10，且圖(九)中水的高度為2。若不計容器厚度，則圖(十)中水的高度為何？

(A) 4/5  (B) 6/5  (C) 8/5  (D) 2

解：

假設圖(九)的水平線為GH，其側面如下圖

AG/AB=GH/BC⇒1/3=GH/4⇒GH=4/3
梯形GHCB面積=(GH+BC)×GB/2=(4/3+4)×2/2=16/3；
假設圖(十)的水平線為MN，其側面如下圖

AB×BC=AC×BQ⇒3×4=BQ×5⇒BQ=12/5

$$\frac { \overline { BP } }{ \overline { BQ } } =\frac { \overline { MN } }{ \overline { CA } } \Rightarrow \frac { \frac { 12 }{ 5 } -h }{ \frac { 12 }{ 5 } } =\frac { \overline { MN } }{ 5 } \\ \Rightarrow 12-5h=\frac { 12 }{ 5 } \times \overline { MN } \Rightarrow \overline { MN } =5-\frac { 25 }{ 12 } h$$

梯形MNAC面積 =

$$\frac { \left( \overline { MN } +\overline { CA } \right) h }{ 2 } =\frac { \left( 5-\frac { 25 }{ 12 } h+5 \right) h }{ 2 } =5h-\frac { 25 }{ 24 } { h }^{ 2 }$$

水體積相同，所以梯形GHCB面積=梯形MNAC面積，即

$$5h-\frac { 25 }{ 24 } { h }^{ 2 }=\frac { 16 }{ 3 } \Rightarrow 15h-\frac { 25 }{ 8 } { h }^{ 2 }=16\\ \Rightarrow 25{ h }^{ 2 }-120h+128=0\Rightarrow (5h-16)(5h-8)\\ \Rightarrow h=\frac { 16 }{ 5 } or\frac { 8 }{ 5 } $$

由於h<BQ，h=16/5不合，故h=8/5，故選(C)。

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22. 若干對夫妻參加新婚座談會，座談會有提供參加的夫妻每人一杯飲料，其中飲料有茶、咖啡、果汁三種選擇。若座談會中丈夫選擇茶、咖啡、果汁的杯數比為5:3:2，妻子選擇茶、咖啡、果汁的杯數比為2:2:1，則所有參加者選擇茶、咖啡、果汁的杯數比為何？

(A) 7:5:3  (B) 9:7:4 (C) 16:12:7  (D) 20:16:9

解：

丈夫選擇茶、咖啡、果汁的杯數分別為5M、3M、2M；

妻子選擇茶、咖啡、果汁的杯數分別為2N、2N、N。

丈夫人數等於妻子人數，即5M+3M+2M=2N+2N+N⇒10M=5N⇒N=2M

所有參加者選擇茶、咖啡、果汁的杯數比為

(5M+2N):(3M+2N):(2M+N)  =  (5M+4M):(3M+4M):(2M+2M)

=9M:7M:4M=9:7:4，故選(B)。

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23. 判斷下列各式的值，何者最小？

解：

減掉的數要正值才會越減越小，因此只有(B)與(D)可選。

13/29為一真分數，次方越大數字變得越小，因此要選次方少的，故選(B)。

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解：

由於∠EOB=∠OFC=90°, 且∠B=∠C(△ABC為等腰), 因此兩三角形符合AAA，又OE=OF=3(半徑)，所以△EOB與△OFC全等(ASA)。

令BO=a=FC, 則OC²=OF²+FC², 即

$${ \overline { OC }  }^{ 2 }={ \overline { OF }  }^{ 2 }+{ \overline { FC }  }^{ 2 }={ 3 }^{ 2 }+{ a }^{ 2 }\\ \Rightarrow \overline { OC } =\sqrt { { 3 }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } $$

又BC=BO+OC=6, 即

$$\quad a+\sqrt { { 3 }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } =6\Rightarrow { 3 }^{ 2 }+{ a }^{ 2 }={ \left( a-6 \right)  }^{ 2 }={ a }^{ 2 }-12a+36\\ \Rightarrow 12a=27\Rightarrow a=\frac { 9 }{ 4 } $$

故選(D)。

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解：

由於半徑與切點垂直，甲的作法找C、D兩切點的垂線交點，所以正確。

由於BD=BE，∠DBE的角平分線會經過圓心，E點為切點，其垂線也經過圓心，所以作法正確。

故選(A)。

--- END ---

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