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2016年4月26日 星期二

104學年四技二專統測--數學(A)詳解

試題來源:技專校院入學測驗中心
解:
先分科,在每科依簡單隨機抽樣,並非全體隨機抽樣,故選(C)



解:
$$\vec { AB } =(-1-3,5-2)=(-4,3)\\ \vec { BC } =(9+1,-4-5)=(10,-9)\\ \vec { CA } =(3-9,2+4)=(-6,6)\\ \Rightarrow \vec { AB } +2\vec { BC } +3\vec { CA } =(-4,3)+2(10,-9)+3(-6,6)\\ =(-4,3)+(20,-18)+(-18,18)=(-2,3)$$
故選(A)



解:
抽中白球的機率:8/10
抽中黃球的機率:2/10
期望值=50×(8/10)+100×(2/10) =  40+20 = 60,故選(B)


解:
f(x)=(x+2)p(x)-1,則
$$\left( 3{ x }^{ 3 }+1 \right) f(x)+{ x }^{ 2 }+x+1\\ =\left( 3{ x }^{ 3 }+1 \right) \left[ (x+2)p(x)-1 \right] +{ x }^{ 2 }+x+1\\ =\left( 3{ x }^{ 3 }+1 \right) (x+2)p(x)-\left( 3{ x }^{ 3 }+1 \right) +{ x }^{ 2 }+x+1\\ =\left( 3{ x }^{ 3 }+1 \right) (x+2)p(x)-3{ x }^{ 3 }+{ x }^{ 2 }+x$$

將x=-2代入上式,可得24+4-2=26,故選(D)



5.  設七個實數a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7成等比數列,公比為r。若a1+a2=2且a6+a7=486,則r  =?
(A)  3    (B)  4    (C)  6    (D)  9

解:
令a1=b,  則a2 =br,  a6=br5,  a7=br6
$$\begin{cases} { a }_{ 1 }+{ a }_{ 2 }=2 \\ { a }_{ 6 }+{ a }_{ 7 }=486 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} b+br=2 \\ b{ r }^{ 5 }+b{ r }^{ 6 }=486 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} b(1+r)=2 \\ b{ r }^{ 5 }(1+r)=486 \end{cases}\Rightarrow \frac { b(1+r) }{ b{ r }^{ 5 }(1+r) } =\frac { 2 }{ 486 } \\ \Rightarrow \frac { 1 }{ { r }^{ 5 } } =\frac { 1 }{ 243 } \Rightarrow r=3$$
故選(A)


6.  設a,b,c均為實數,且直線bx+cy=a通過第一、三、四象限,則直線ax+by=c可能為下列哪一個圖形?





解:
直線bx+cy=a通過第一、三、四象限,該直線為圖(B)。
當y=0時,x=a/b  > 0,即a與b同號;
當x=0時,y=a/c < 0,即a與c異號;
因此(a,b,c)=(+,+,-)或(-,-,+)。
考慮直線ax+by=c
當y=0時,x=c/a  < 0(由於a與c異號);
當x=0時,y=c/b < 0(由於b與c異號);
因此直線ax+by=c的圖形為(A)




7.若直線L過點(2,1)及兩直線2x-y=4,x+3y=-5的交點,則直線的斜率為何?
(A)2      (B)3      (C)4        (D)5
解:
$$\begin{cases} 2x-y=4 \\ x+3y=-5 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 2x-y=4 \\ 2x+6y=-10 \end{cases}\Rightarrow 7y=-14\\ \Rightarrow y=-2\Rightarrow 2x+2=4\Rightarrow x=1$$
兩直線的交點為(1,-2);
過點(2,1)及(1,-2)直線的斜率為(-2-1)/(1-2)  =  -3/-1  = 3,故選(B)




解:


由圖形可知sinθ=(-3/5),cosθ=4/5
5sinθ+10cosθ=-3+8=5,故選(A)



解:
a=sin150°=sin(-30°)=-1/2;
b=sec(-420°)=sec(-420°+360°)=sec(-60°)=1/cos(-60°)=2;
c=cot945°=cot(945°-360°-360°)=cot225°=cot45°=1;
因此b>c>a,故選(C)




解:
$$\vec { a } \cdot \vec { b } =|\vec { a } ||\vec { b } |cos\theta =5\times 13\times \frac { 33 }{ 65 } =33$$
因此$$\left( 4\vec { a } -\vec { b }  \right) \cdot \left( 2\vec { a } +\vec { b }  \right) =8{ \left| \vec { a }  \right|  }^{ 2 }+2\vec { a } \cdot \vec { b } -{ \left| \vec { b }  \right|  }^{ 2 }\\ =8\times { 5 }^{ 2 }+2\times 33-{ 13 }^{ 2 }=200+66-169=97$$
故選(C)





解:
該項係數為9×3+(-5)×4  =  27-20 =7,故選(C)




解:

(A)  當x為正值時,x2+7x+9>0,無正實數解。
(C)log(x+1)=-1➱x+1=0.1➱x=-0.9
(D)正弦值介於1與-1之間,不會大於1
故選(B)






解:
$$\quad \quad log7.2=log\frac { 72 }{ 10 } =log72-log10=log(9\times 8)-log10\\ =log9+log8-log10=2log3+3log2-log10\\ =2\times 0.4771+3\times 0.301-1=0.9542+0.903-1\\ =0.8572$$
故選(B)




解:
$$-\frac { 1 }{ 2 } \le x\le 5\Rightarrow (x-5)(x+\frac { 1 }{ 2 } )\le 0\\ \Rightarrow { x }^{ 2 }-\frac { 9 }{ 2 } x-\frac { 5 }{ 2 } \le 0\Rightarrow -2{ x }^{ 2 }+9x+5\ge 0\\ \Rightarrow -\frac { 2 }{ 3 } { x }^{ 2 }+3x+\frac { 5 }{ 3 } \ge 0\\ \Rightarrow (a,b)=(-\frac { 2 }{ 3 } ,\frac { 5 }{ 3 } )\\ \Rightarrow 3a+6b=-2+10=8$$
故選(D)





解:
$$\begin{cases} x+y=9 \\ x-3y=5 \end{cases}\Rightarrow (x,y)=(8,1)$$
兩直線的交點即為B點,如下圖:


四邊形OABC即是所圍區域,其面積相當於△AOD減去△BOD
△AOD=OD×OA÷2  =  9×9÷2  = 81/2
△BOD=4×1÷2  =  2
四邊形OABC面積 =81/2 -2  = 77/2,故選(A)



16. 設a為實數,且直線3x+4y+1=0與圓(x-a)2+y2=4沒有交點,則a可能為下列哪一個數?
(A)  -3        (B)  -2      (C)  3      (D)  4

解:

該圓的圓心為(a,0),即圓心在X軸上;半徑為2。
由於直線為無限延伸,因此只要檢查最左邊的圓與最右邊的圓與直線是否有交點。

A(-3,0)至直線距離為 |-9+0+1|/5 =  8/5  <  2⇒直線與圓有交點;
D(4,0)至直線距離為 |12+0+1|/5 =  13/5 >  2⇒直線與圓沒交點;
故選(D)


17. 從7位男生、3位女生中,任選4人到醫院實習。若此4人中至少有1位女生,則共有多少種選取的方式?
(A) 95     (B) 135    (C) 175    (D) 215

解:
男女人數有以下三種可能:
3男1女→7!/(3!4!)×3=35×3=105
2男2女→7!/(2!5!)×3=21×3=63
1男3女→7×1=7
共有105+63+7 =175種可能,故選(C)



18.  某班學生期中考成績的平均分數為42分、標準差為6分。若將每位學生的原始成績都乘以同一個數a後再加4,使得調整後的平均分數為60分,則調整後的標準差為幾分?
(A)  6      (B)   8      (C)  10      (D)  12

解:
平均分數變化與分數調整公式相同,即
42×a+4  = 60 ⇒ a=4/3
標準差隨倍數連動,與加減分無關,因此標準差變為6×4/3=8,故選(B)




19.  某校對全體新生進行一項邏輯推理的測驗,其成績呈常態分配,如圖(一)所示,平均數μ為62分、標準差σ為8分。若成績低於70分的學生有672人,則成績介於54分到78分的學生約有多少人?
(A)  600     (B)  620    (C)  638    (D)  652


解:
此圖形與x軸所圍的面積即為全班人數,假設為N。
依標準差將此圖形垂直分割成a,  b,  c,  d  共八塊(常態分配圖形為左右對稱),如下圖

2a占全部份的68%⇒2a=0.68N⇒a=0.34N
2a+2b占全部份的95%⇒2(a+b)=0.95N⇒b=0.135N
2c+2d占全部份的5%⇒2(c+d)=0.05N⇒c+d=0.025N
低於70分的學生有672人⇒2a+b+c+d=(0.68+0.135+0.025)N = 672 ⇒ 0.84N=672 ⇒ N=800。
介於54分到78分的人數=2a+b = (0.68+0.135)N = 0.815N = 652,故選(D)




解:

令外接圓半徑為r,
∠AOC=360°-∠AOB-∠BOC=360°-120°-150°=90°△AOC為等腰直角⇒n=√2r
△AOB中,利用餘弦定理AB2=AO2+BO2-2AOBOcos120°  ⇒ m2=r2+r2-2r2(-1/2)=  3r2 ⇒ m=√3r
m/n = √3/√2 = √6/2,故選(D)





解:


由兩切點可知圓心座標為(8,6),並可知半徑為4,故選(A)





解:

兩根之和=1/3⇒sinθ+cosθ=1/3
兩根之積=a/3sinθcosθ=a/3
(sinθ+cosθ)2=sinθ2+cosθ2+2sinθcosθ ⇒ 1/9=1+2a/3 ⇒ a=-4/3,故選(A)



(A)53/14   (B)153/14    (C)  353/2    (D)  1053/2

解:

由餘弦定理可知  AB2=AC2+BC2-2ACBCcos120° = 9+25+15 = 49 ⇒ AB = 7。
令BD=a及CD=h,則 h2=52-a2 = 32-(7-a)2 
 25-a2 = 9-(49-14a+a2⇒ a=65/14 
h2=52-a2 = 25 - 4225/196 = 675/196 ⇒ h = 153/14,故選(B)



24. 甲、乙、丙、丁、戊、己六人排成一列。若甲、乙、丙三人相鄰,且丙介於甲、乙之間,則此六人共有多少種排法?
(A)  42    (B)  44    (C) 46    (D)  48

解:
甲乙丙三人有兩種排法:甲丙乙及乙丙甲。
將甲乙丙三人視為一人,則原來六人視為四人,則此四人有4! =24種排法,因此共有24×2=48種排法,故選(D)



25. 從1,2,3,4,5,6,7,8,9這九個數中,任取相異的三個數,若每個數被取到的機會均等,則此三數的和為奇數的機率為何?
(A)  5/42     (B) 5/14    (C)  10/21   (D) 9/14

解:
三數的和為奇數必須是三個都是奇數或者一個奇數與兩個偶數。
奇奇奇的次數=5個奇數任取3個共有5!/(3!2!)=10種取法
1奇2偶的次數=5個奇數任取1個×4個偶數任取2個= 5×(4!/2!2!)  =  5×6  = 30
以上兩種情況共有10+30=40種取法
9個數字任取3個共有9!/(3!6!) = 84種取法
因此三數和為奇數的機率為40/84 = 10/21,故選(C)

--END--

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