104學年四技二專統測--數學(B)詳解

試題來源：技專校院入學測驗中心

解：

斜率=(k-1)/(3-1)=(k-1)/2 = 3⇒ k=7，故選(C)。

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解：

a=sin45°=√2/2 ⇒ a²=1/2

b=tan45°=1⇒ b²=1

c=sec45°=√2⇒ c²=2

a²+b²+c² = 1/2 + 1 + 2 = 7/2，故選(B)。

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解：
$$3\overrightarrow { a } -2\overrightarrow { b } =3(1,2)-2(2,3)=(3,6)-(4,6)=(-1,0)\\ \Rightarrow r=-1,s=0\Rightarrow s-2r=0+2=2$$

故選(C)。

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解：
$$\overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b } =(1,k+1)\cdot (2k,3)=2k+3k+3=5k+3=18\\ \Rightarrow k=3$$

故選(C)。

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(A)  6    (B)  9    (C)  18    (D)  27

解：

3×3=27，故選(D)。

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6.  已知一等差數列之第3項為8，第7項為20，則該等差數列之第32項為何？

(A)  93   (B)  95   (C) 96    (D)  98

解：
$$\begin{cases} { a }_{ 3 }=8 \\ { a }_{ 7 }=20 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} { a }_{ 1 }+2d=8 \\ { a }_{ 1 }+6d=20 \end{cases}\Rightarrow { a }_{ 1 }=2,d=3\\ { \Rightarrow a }_{ 32 }={ a }_{ 1 }+31d=2+31\times 3=95$$故選(B)。

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7. 已知小華就讀學校之學期成績是以四次段考的分數分別依序乘以20%、20%、30%及30%後再加總計算。若小華前三次段考的分數分別依序為60、54、51，則小華的第四次段考分數至少需幾分才能使他的學期成績達到60分(含)以上？

(A)  69   (B)  71   (C)  73     (D)  75

解：

假設第四次段考分數為a，則

60×0.2+54×0.2+51×0.3+0.3a≥60

即12+10.8+15.3+0.3a≥60⇒0.3a≥21.9⇒a≥73

故選(C)。

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8.  若一組數值為12、17、24、7、10、4、27，則其中位數為何？

(A)   12      (B)  17    (C)  24     (D)  27

解：
七個數字由小排到大：4,7,10,12,17,24,27
中位數就是中間那個數，也就是第4個數，即12，故選(A)。

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解：
$$\log _{ 2 }{ { x }^{ 2 } } <\log _{ 2 }{ (4x-3) } \Rightarrow { x }^{ 2 }<4x-3\Rightarrow { x }^{ 2 }-4x+3<0\\ \Rightarrow (x-3)(x-1)<0\Rightarrow 1<x<3$$，故選(B)。

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解：
$${ x }^{ 2 }-6x-16<0\Rightarrow { (x }^{ 2 }-6x+9)-9-16<0\\ \Rightarrow { (x-3) }^{ 2 }-25<0\Rightarrow { (x-3) }^{ 2 }<25$$，故選(C)。

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解：

依題意：大樓高BC=300,  AD=d, ∠CAB=30°,∠CDB=45°
△CDB為等腰直角，因此DB=BC=300

 ∠CAB=30°⇒AB=BC×√3=300√3⇒d=AB-DB = 300√3-300 = 300(√3-1)，故選(D)。

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解：
恰有一人穿紅衣，即只有一人穿紅衣，其機率=小蕙穿紅衣且小玲不穿紅衣+小蕙不穿紅衣且小玲穿紅衣 = 0.4×(1-0.5)+0.5×(1-0.4) = 0.2+0.3 = 0.5，故選(B)。

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解：
$$f^{ ' }\left( x \right) =6{ x }^{ 2 }-4x\Rightarrow f^{ ' }\left( 1 \right) =6-4=2$$，故選(B)。

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解：
$$f\left( x \right) =a{ x }^{ 2 }+bx+c\\ \Rightarrow \begin{cases} f(0)=2 \\ f(2)=0 \\ f(3)=-4 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} c=2 \\ 4a+2b+c=0 \\ 9a+3b+c=-4 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} c=2 \\ 4a+2b=-2 \\ 9a+3b=-6 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} c=2 \\ 4a+2b=-2 \\ 9a+3b=-6 \end{cases}\begin{cases} c=2 \\ b=1 \\ a=-1 \end{cases}\Rightarrow f\left( x \right) =-{ x }^{ 2 }+x+2=-(x-2)(x+1)$$，故選(A)。

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解：
假設x²-9k+k=0的兩根分別為a及a+1
兩根之和=a+(a+1)=9⇒2a+1=9⇒a=4

兩根之積=a×(a+1)=k⇒4×(4+1)=k⇒k=20；

kx²-9x+1=0的兩根和=9/k = 9/20，故選(D)。

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$$16.三階行列式\begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & -2 & 3 \\ 3 & -3 & 4 \end{vmatrix}之值為何？$$

(A)-2   (B)-1   (C)1   (D)2

解：
$$\begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & -2 & 3 \\ 3 & -3 & 4 \end{vmatrix}=1\times (-2)\times 4+2\times (-3)\times 3+3\times (-2)\times 3\\ -3\times (-2)\times 3-(-2)\times 2\times 4-1\times (-3)\times 3\\ =-8+(-18)+(-18)+18+16+9=-1$$，故選(B)。

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解：
固定繩長圍成的矩形面積以正方形最大，所以邊長為5(面積為25)的正方形其周長為20，故選(C)。

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$$18. 給定一分式\frac { x+1 }{ { x }^{ 2 }-1 } +\frac { { x }^{ 2 }+x-6 }{ { x }^{ 2 }+6x+9 }。若已知該分式化成最簡分式為 \frac { { ax }^{ 2 }+bx+c }{ { dx }^{ 2 }+2x+e } \\ ，其中x\neq -3,-1,1\quad 則a+b+c+d+e=?$$

(A) -2     (B) 0      (C)  2        (D)  4

解：
$$\frac { x+1 }{ { x }^{ 2 }-1 } +\frac { { x }^{ 2 }+x-6 }{ { x }^{ 2 }+6x+9 } =\frac { x+1 }{ (x+1)(x-1) } +\frac { (x+3)(x-2) }{ { (x+3) }^{ 2 } } \\ =\frac { 1 }{ x-1 } +\frac { x-2 }{ x+3 } =\frac { (x+3)+(x-1)(x-2) }{ (x-1)(x+3) } \\ =\frac { (x+3)+{ x }^{ 2 }-3x+2 }{ { x }^{ 2 }+2x-3 } =\frac { { x }^{ 2 }-2x+5 }{ { x }^{ 2 }+2x-3 } =\frac { a{ x }^{ 2 }+bx+c }{ { dx }^{ 2 }+2x+e } \\ \Rightarrow a=1,b=-2,c=5,d=1,e=-3\\ \Rightarrow a+b+c+d+e=1-2+5+1-3=2$$
，故選(C)。

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解：
$$\sqrt { x } -\frac { 1 }{ \sqrt { x }  } =\sqrt { 3 } \Rightarrow { \left( \sqrt { x } -\frac { 1 }{ \sqrt { x }  }  \right)  }^{ 2 }={ \left( \sqrt { 3 }  \right)  }^{ 2 }\\ \Rightarrow x-2+\frac { 1 }{ x } =3\Rightarrow x+\frac { 1 }{ x } =5$$，故選(D)。

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解：
$$sin\theta =\frac { 1 }{ 3 } \Rightarrow cos\theta =\frac { 2\sqrt { 2 }  }{ 3 } \\ \Rightarrow { \left( sin\theta +cos\theta  \right)  }^{ 2 }=1+2sin\theta cos\theta ={ \left( \frac { 1 }{ 3 } +\frac { 2\sqrt { 2 }  }{ 3 }  \right)  }^{ 2 }\\ \Rightarrow 2sin\theta cos\theta ={ \left( \frac { 1 }{ 3 } +\frac { 2\sqrt { 2 }  }{ 3 }  \right)  }^{ 2 }-1=\frac { 9+4\sqrt { 2 }  }{ 9 } -1\\ =\frac { 4\sqrt { 2 }  }{ 9 } $$，故選(B)。

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解：
x=-2y²-4y+8，當-4y-4=0時有極值，即y=-1時x有最大值，也就是x=-2+4+8=10。頂點(a,b)=(x=10,y=-1)，a+2b=10-2=8，故選(A)。

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解：
x²-2kx+y²-2y=4⇒(x²-2kx+k²)+(y²-2y+1)=4+k²+1⇒(x-k)²+(y-1)²=5+k²
半徑為3⇒5+k²=3²⇒k=2⇒圓心(k,1)=(a,b)=(2,1)⇒a+b=3，故選(A)。

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解：
六人中先挑兩人擔任早班，在剩下四人中挑二任擔任中班，在剩下二人中擔任晚班，即
$${ C }_{ 2 }^{ 6 }\times { C }_{ 2 }^{ 4 }\times { C }_{ 2 }^{ 2 }=\frac { 6! }{ 4!2! } \times \frac { 4! }{ 2!2! } \times \frac { 2! }{ 2! } \\ =15\times 6\times 1=90$$，故選(D)。

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解：
利用積分求面積，即
$$\int _{ x=1 }^{ x=3 }{ 3{ x }^{ 2 } } +2x+1dx={ x }^{ 3 }+{ x }^{ 2 }+x|_{ x=1 }^{ x=3 }\\ =(27+9+3)-(1+1+1)=39-3=36$$，故選(D)。

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(A)9    (B) 18    (C)24    (D) 36

解：
有相同的解代表任二式求出的解是一樣的，因此先求出不含a,b 兩式的解，再套入含a,b的兩式求出a與b。
$$\begin{cases} -2x-6y=8 \\ 3x+5y=-4 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=2 \\ y=-2 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} 2a-2b=2 \\ 4a-2(a-b)=6 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a-b=1 \\ a+b=3 \end{cases}\\ \Rightarrow { (a+b) }^{ 2 }={ 3 }^{ 2 }=9$$
故選(A)。

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