100學年四技二專統測--數學(C)詳解

試題來源：技專校院入學測驗中心

解： $$\sqrt { 2 } \cdot \sqrt [ 3 ]{ 8\cdot \sqrt [ 5 ]{ 64 }  } ={ 4 }^{ a }\Rightarrow { 2 }^{ \frac { 1 }{ 2 }  }\cdot \sqrt [ 3 ]{ { 2 }^{ 3 }\cdot { 2 }^{ \frac { 6 }{ 5 }  } } ={ \left( { 2 }^{ 2 } \right)  }^{ a }\Rightarrow { 2 }^{ \frac { 1 }{ 2 }  }\cdot \sqrt [ 3 ]{ { 2 }^{ \frac { 21 }{ 5 }  } } ={ 2 }^{ 2a }\\ \Rightarrow { 2 }^{ \frac { 1 }{ 2 }  }\cdot { 2 }^{ \frac { 21 }{ 15 }  }={ 2 }^{ 2a }\Rightarrow { 2 }^{ \frac { 19 }{ 10 }  }={ 2 }^{ 2a }\Rightarrow a=\frac { 19 }{ 20 }$$ ，故選(A)。

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解：
原點在x+y-9=0的左下側，所以x+y-9<=0；
原點不在2x-3y-3=0的右下側，所以2x-3y-3>=0；
故選(A)。80

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解： $$\overrightarrow { a } ,\overrightarrow { b } 垂直\Rightarrow { \left| \overrightarrow { a } +\overrightarrow { b }  \right|  }^{ 2 }={ \left| \overrightarrow { a }  \right|  }^{ 2 }+{ \left| \overrightarrow { b }  \right|  }^{ 2 }\Rightarrow 125=80+{ \left| \overrightarrow { b }  \right|  }^{ 2 }\\ \Rightarrow { \left| \overrightarrow { b }  \right|  }^{ 2 }=45\Rightarrow \left| \overrightarrow { b }  \right| =3\sqrt { 5 }$$ ，故選(C)。

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解： $$由方程式可知中心點坐標(-1,1), a=5,b=3\Rightarrow c=4,  焦點坐標(-5,1), (3,1)\\ \Rightarrow \sqrt{{(x+5)}^2+{(y-1)}^2}+\sqrt{{(x-3)}^2+{(y-1)}^2}=點P至兩焦點的距離和=2a=10$$ ，故選(D)。

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解： $$a=\left( 0.4 \right) +{ \left( 0.4 \right)  }^{ 2 }+{ \left( 0.4 \right)  }^{ 3 }+\cdots +{ \left( 0.4 \right)  }^{ n }+\cdots \\ \Rightarrow 0.4a={ \left( 0.4 \right)  }^{ 2 }+{ \left( 0.4 \right)  }^{ 3 }+\cdots +{ \left( 0.4 \right)  }^{ n }+\cdots \\ \Rightarrow 0.6a=0.4\Rightarrow a=\frac { 2 }{ 3 } \\ b=\left( 0.2 \right) +{ \left( 0.2 \right)  }^{ 2 }+{ \left( 0.2 \right)  }^{ 3 }+\cdots +{ \left( 0.2 \right)  }^{ n }+\cdots \\ \Rightarrow 0.2b={ \left( 0.2 \right)  }^{ 2 }+{ \left( 0.2 \right)  }^{ 3 }+\cdots +{ \left( 0.2 \right)  }^{ n }+\cdots \\ \Rightarrow 0.8b=0.2\Rightarrow b=\frac { 1 }{ 4 } \\ \frac { a }{ b } ={ \frac { 2 }{ 3 }  }/{ \frac { 1 }{ 4 }  }=\frac { 8 }{ 3 }$$ ，故選(C)。

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解： $${ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+6x-8y=0\Rightarrow { x }^{ 2 }+6x+9+{ y }^{ 2 }-8y+16=25\Rightarrow { \left( x+3 \right)  }^{ 2 }+{ \left( y-4 \right)  }^{ 2 }={ 5 }^{ 2 }\\ \Rightarrow 圓心\left( -3,4 \right) ,半徑=5\\ \left( 1,0 \right) 代入圓方程式{ 4 }^{ 2 }+{ 4 }^{ 2 }=32>{ 5 }^{ 2 }\Rightarrow \left( 1,0 \right) 在圓外$$ ，故選(A)。

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解： $$f\left( x \right) ={ \left( x-1 \right)  }^{ 5 }\Rightarrow f^{ ' }\left( x \right) =5{ \left( x-1 \right)  }^{ 4 }\Rightarrow f^{ '' }\left( x \right) =20{ \left( x-1 \right)  }^{ 3 }\\ \lim _{ x\rightarrow 2 }{ \frac { f^{ ' }\left( x \right) -f^{ ' }\left( 2 \right)  }{ x-2 }  } =f^{ '' }\left( 2 \right) =20$$ ，
故選(D)。

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解：

$$(B)\alpha=\frac{\pi}{2},\beta=0\Rightarrow \cos{\left(\alpha-\beta\right)}=0, \alpha\neq\beta \\ (C)\alpha=\frac{\pi}{4},\beta=\frac{3\pi}{4}\Rightarrow\sin{\frac{\pi}{4}}=\sin{\frac{3\pi}{4}},\alpha\neq\beta\\ (D)\alpha=\pi,\beta=0\Rightarrow\sin{\left(\pi-0\right)} =0, \alpha\neq\beta$$ ，

故選(A)。

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解：
9個球取3個，有C(9,3)=84種可能；
3個1號球取1個，有3種可能、3個0號球取2個，也有3種可能；
機率為(3x3)/84=3/28，故選(B)。

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解：
開口向上，所以a>0；
當x=0時，y<0，即c<0；
兩根一正一負，且兩根之和>0，也就是-ab>0,  因此b<0,  abc>0
兩根均為實數解，b²-4ac>0
因此點P在第一象限，故選(A)。

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解： $$f\left( x \right) =g\left( x \right) \left( 6{ x }^{ 2 }+x-15 \right) +ax+b=g\left( x \right) \left( 2x-3 \right) \left( 3x+5 \right) +ax+b\\ =g\left( x \right) \times 2\left( x-\frac { 3 }{ 2 }  \right) \times 3\times \left( x+\frac { 5 }{ 3 }  \right) +ax+b\\ \begin{cases} f\left( \frac { 3 }{ 2 }  \right) =27 \\ f\left( \frac { -5 }{ 3 }  \right) =8 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \frac { 3 }{ 2 } a+b=27 \\ \frac { -5 }{ 3 } a+b=8 \end{cases}\Rightarrow a=6,b=18\Rightarrow a+b=24$$ ，故選(D)。

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解： $$令L_1: y=mx+b\quad斜率=m=-2，又(0,-4)經過L_1\\ \Rightarrow b=-4\Rightarrow L_1: y=-2x-4\\ L_2 的x, y 軸截距分別為1、2，表示經過(1,0)、(0,2)\Rightarrow L_2: y=-2x+2\\ L_1與L_2有相同的斜率，表示兩者平行，其距離=\left|\frac{-4-2}{\sqrt{2^2+1^2}}\right|= \frac{6}{\sqrt{5}}$$ ，故選(D)。

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解：

$$過D點作一直線，與AB垂直並交於E點，如上圖。\\\overline{AC}=\overline{BC}\Rightarrow \triangle ABC為等腰直角\Rightarrow \angle B=45°\Rightarrow \overline{AB}=3\sqrt{2}\\ \triangle EBD 也是等腰直角\Rightarrow \overline{EB}=\overline{ED}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\\ 在直角\triangle ACD中, {\overline{AD}}^2={\overline{AC}}^2+{\overline{CD}}^2=10\Rightarrow \overline{AD}=\sqrt{10}\\\cos{\theta}=\frac{\overline{AE}}{\overline{AD}}= \frac{\overline{AB}- \overline{EB}}{\overline{AD}}= \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$$ ，故選(D)。

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解： $$\cos ^{ 2 }{ 100° } -\sin ^{ 2 }{ 100° } =\cos { \left( 100°+100° \right)  } =\cos { 200 } °<0$$ ，故選(B)。

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解： $$A=\left( 0,\frac { 53 }{ 7 }  \right) ,B=\left( 7,\frac { 115 }{ 7 }  \right) \Rightarrow \overline { AB } =\sqrt { { 7 }^{ 2 }+{ \left( \frac { 168 }{ 7 }  \right)  }^{ 2 } } =\sqrt { \frac { { 49 }^{ 2 }+{ 168 }^{ 2 } }{ { 7 }^{ 2 } }  } \\ =\sqrt { \frac { { 7 }^{ 2 }\left( { 7 }^{ 2 }+{ 24 }^{ 2 } \right)  }{ { 7 }^{ 2 } }  } =\sqrt { { 7 }^{ 2 }+{ 24 }^{ 2 } } =25$$ ，故選(C)。

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解： $$\overrightarrow { AB } =(x+13,y+19)\\ \left| \overrightarrow { AB }  \right| =26\Rightarrow \sqrt { { (x+13) }^{ 2 }+{ (y+19) }^{ 2 } } =26\Rightarrow { (x+13) }^{ 2 }+{ (y+19) }^{ 2 }={ 26 }^{ 2 }\\ \Rightarrow x=26\cos { \theta  } -13,y=26\sin { \theta  } -19\\ \overrightarrow { AB } 與\overrightarrow { u } 同方向\Rightarrow \frac { x+13 }{ y+19 } =\frac { 26\cos { \theta  }  }{ 26\sin { \theta  }  } =\frac { 5 }{ 12 } \Rightarrow \cos { \theta  } =\frac { 5 }{ 13 } ,\sin { \theta  } =\frac { 12 }{ 13 } \\ \Rightarrow x=26\times \frac { 5 }{ 13 } -13=-3,y=26\times \frac { 12 }{ 13 } -19=5\Rightarrow 3x-4y=-9-20=-29\\ $$ ，故選(B)。

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解： $$x-\frac { 3 }{ x } =-1\Rightarrow { x }^{ 2 }+x-3=0\Rightarrow \alpha +\beta =-1,\alpha \beta =-3\\ \left( \frac { 2 }{ \alpha  } +1 \right) \left( \frac { 2 }{ \beta  } +1 \right) =\frac { 4 }{ \alpha \beta  } +2\left( \frac { 1 }{ \alpha  } +\frac { 1 }{ \beta  }  \right) +1=\frac { 4 }{ \alpha \beta  } +2\left( \frac { \alpha +\beta  }{ \alpha \beta  }  \right) +1\\ =\frac { 4 }{ -3 } +2\left( \frac { -1 }{ -3 }  \right) +1=\frac { -4 }{ 3 } +\frac { 2 }{ 3 } +1=\frac { 1 }{ 3 }$$ ，故選(B)。

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解： $$(8,-3)與(8,1)的對稱軸為y=-1\Rightarrow 拋物線方程式為{(y+1)}^2=4c(x-h)\\ \Rightarrow (8,1)及(2,-2)代入可求得h=0,c=\frac{1}{8}\Rightarrow 頂點坐標=(0,-1)$$ ，故選(C)。

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解： $$f\left( x \right) =\sqrt { 2x-1 } ={ \left( 2x-1 \right)  }^{ \frac { 1 }{ 2 }  }\Rightarrow f^{ ' }\left( x \right) ={ \left( 2x-1 \right)  }^{ -\frac { 1 }{ 2 }  }\\ \int _{ 1 }^{ 5 }{ f^{ '' }\left( x \right)  } dx=f^{ ' }\left( x \right) \left.  \right| _{ 1 }^{ 5 }={ \left( 2x-1 \right)  }^{ -\frac { 1 }{ 2 }  }\left.  \right| _{ 1 }^{ 5 }={ 9 }^{ -\frac { 1 }{ 2 }  }-1=\frac { -2 }{ 3 }$$ ，故選(A)。

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解：

$$灰色面積=\triangle ABC+右半曲線面積=\frac { 1 }{ 2 } +\int _{ -1 }^{ 0 }{ { x }^{ 2 } } dx\\=\frac { 1 }{ 2 } +\left( \frac { 1 }{ 3 } { x }^{ 3 } \right) \left.  \right| _{ -1 }^{ 0 }=\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 3 } =\frac { 5 }{ 6 }$$ ，故選(B)。

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解：
甲乙丙丁四人任意排列，有4!=24種排法；
甲乙丙丁四人任意排列，且甲乙相鄰，有3!x2=12
甲乙丙丁四人任意排列，且甲乙不相鄰，有24-12=12種排法
甲乙丙丁戊己庚七人任意排列，甲乙丙丁排在最前面，後面有三人任意排列有3!=6種排法，
前面四人排列且甲乙不相鄰有12種排法，所以共有12x6=72種排法，故選(B)。

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解： $$z=\cos { 78° } +i\sin { 78° } \Rightarrow { z }^{ 15 }=\cos { 78°\times 15 } +i\sin { 78°\times 15 } =\cos { 1170° } +i\sin { 1170° } \\ =\cos { \left( 1170°-360°\times 3 \right)  } +i\sin { \left( 1170°-360°\times 3 \right)  } =\cos { 90° } +i\sin { 90° } =i$$ ，故選(C)。

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解： $$\frac { -1 }{ 5 } <x<\frac { 2 }{ 3 } \Rightarrow \left( x+\frac { 1 }{ 5 }  \right) \left( x-\frac { 2 }{ 3 }  \right) <0\Rightarrow { x }^{ 2 }-\frac { 7 }{ 15 } x-\frac { 2 }{ 15 } <0\\ \Rightarrow \left( -\frac { 15 }{ 7 }  \right) \left( { x }^{ 2 }-\frac { 7 }{ 15 } x-\frac { 2 }{ 15 }  \right) >0\Rightarrow \left( -\frac { 15 }{ 7 }  \right) { x }^{ 2 }+x+\frac { 2 }{ 7 } >0\\ \Rightarrow a=-\frac { 15 }{ 7 } ,b=\frac { 2 }{ 7 } \Rightarrow 2a+b=\frac { -28 }{ 7 } =-4$$ ，故選(B)。

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解： $$\log _{ \sqrt { 2 }  }{ \frac { 3 }{ 2 }  } -\log _{ 2 }{ \frac { 27 }{ 160\sqrt { 2 }  }  } +\log _{ 4 }{ \frac { 36 }{ 25 }  } \\ =2\left( \log _{ 2 }{ 3 } -\log _{ 2 }{ 2 }  \right) -\log _{ 2 }{ \frac { { 3 }^{ 3 } }{ { 5\times 2 }^{ \frac { 11 }{ 2 }  } }  } +\frac { 1 }{ 2 } \log _{ 2 }{ { \left( \frac { 2\times 3 }{ 5 }  \right)  }^{ 2 } } \\ =2\left( \log _{ 2 }{ 3 } -1 \right) -\left[ 3\log _{ 2 }{ 3 } -\log _{ 2 }{ 5 } -\frac { 11 }{ 2 }  \right] +\left[ 1+\log _{ 2 }{ 3 } -\log _{ 2 }{ 5 }  \right] \\ =-2+\frac{11}{2}+1= \frac { 9 }{ 2 }$$ ，故選(C)。

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解：

abc=210,  

410,430,432,

610,630,632,650,652,654,

810,830,832,850,852,854,870,872,874,876，

共20個，故選(D)。

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-- end --