朱式幸福: 100學年四技二專統測--數學(D)詳解

試題來源：技專校院入學測驗中心

解：$$\overline{AB}=\sqrt{{(9-3)}^2+{(9-1)}^2}=10\Rightarrow \overline{AC}= \overline{AB}\div 2=10\div 2=5$$，故選(D)。

解：$$\csc{\theta}=3\Rightarrow \sin{\theta}=\frac{1}{3}\Rightarrow \cos{2\theta}=1-2\sin^2{\theta}=1-2\times\frac{1}{9}\\ =\frac{7}{9}$$，故選(C)。

解：$$當\sin{\theta}=-1時，有最大值{\left(\sin{\theta}-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}\\ =
{\left(-1-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}=\frac{9}{4}+\frac{3}{4}=3$$，故選(C)。

解：$$\sin{x}的週期為2\pi\Rightarrow \sin{2x}週期為\pi$$，故選(A)。

解：$$f(-2)=f(1)\Rightarrow 8-2a+5=2+a+5\Rightarrow 3a=6\Rightarrow a=2$$，故選(D)。

解：$$\overrightarrow{a}與\overrightarrow{b}平行\Rightarrow \frac{6}{-3}=\frac{-8}{y}\Rightarrow y=4\Rightarrow \left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{{(-3)}^2+{4}^2}=5$$，故選(A)。

解：$$\overline{AB}=6x-4x=3\Rightarrow x=\frac{3}{2}\Rightarrow A(4x)=A(6)$$，故選(C)。

解：$$60°=\frac{\pi}{3}\Rightarrow 同界角=\frac{\pi}{3}-2\pi=\frac{-5\pi}{3}，故選\bbox[red,2pt]{(B)} 。$$

解：$${\overline{AB}}^2={\overline{AC}}^2+{\overline{BC}}^2={24}^2+7^2\Rightarrow \overline{AB}=25\\ \Rightarrow\sin{A}=\frac{\overline{BC}}{\overline{AB}}=\frac{7}{25}，故選\bbox[red,2pt]{(A)} 。$$

解：$$另一股長為\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}\Rightarrow \tan{\beta}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}，故選\bbox[red,2pt]{(B)} 。$$

解：$${ \left( \sin { 23° } -\sin { 67° } \right) }^{ 2 }+{ \left( \sin { 23° } +\sin { 67° } \right) }^{ 2 }={ \left( \sin { 23° } -\cos { 23° } \right) }^{ 2 }+{ \left( \sin { 23° } +\cos { 23° } \right) }^{ 2 }\\ =\sin ^{ 2 }{ 23° } -2\sin { 23° } \cos { 23° } +\cos ^{ 2 }{ 23° } +\sin ^{ 2 }{ 23° } +2\sin { 23° } \cos { 23° } +\cos ^{ 2 }{ 23° } \\ =2\left( \sin ^{ 2 }{ 23°+\cos ^{ 2 }{ 23° } } \right) =2，故選\bbox[red,2pt]{(B)} 。$$

解：$$\begin{cases} f\left( x \right) +g\left( x \right) ={ 5x }^{ 3 }+5{ x }^{ 2 }+x+1 \\ f\left( x \right) -g\left( x \right) ={ x }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }+x+3 \end{cases}\Rightarrow 2g\left( x \right) ={ 4x }^{ 3 }+2{ x }^{ 2 }-2\\ \Rightarrow g\left( x \right) ={ 2x }^{ 3 }+{ x }^{ 2 }-1\Rightarrow { x }^{ 2 }係數為1，故選\bbox[red,2pt]{(C)} 。$$

解：$$令f\left( x \right) ={ x }^{ 3 }-3{ x }^{ 2 }+bx+12=g\left( x \right) \left( { x }^{ 2 }-5x+6 \right) =g\left( x \right) (x-3)(x-2)\\ f\left( 2 \right) =0\Rightarrow 8-12+2b+12=0\Rightarrow b=-4，故選\bbox[red,2pt]{(C)} 。$$

解：$$判別式16+4k=0\Rightarrow k=-4，故選\bbox[red,2pt]{(A)} 。$$

解：$$x=1代入\Rightarrow a+b+c+d=5，故選\bbox[red,2pt]{(C)} 。$$

解：$$\overrightarrow{AB}=(6,-3),\overrightarrow{AC}=(2,2)\Rightarrow \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=6\times2+(-3)\times 2\\ =12-6=6，故選\bbox[red,2pt]{(A)} 。$$

解：

$$假設A坐標為(0,0)，則B=(\sqrt{3},1), C=(0,2)，如上圖\\ \Rightarrow \triangle ABD 三內角分別為30, 60, 90；又\overline{BD}// \overline{AC}\Rightarrow \angle DBA=\angle BAC\\ \overline{AC}=\overline{AB}=2 \Rightarrow \triangle ABC 為正三角形\Rightarrow 周長=2\times 3=6，故選\bbox[red,2pt]{(B)} 。$$

解：$$假設B坐標為(a,b)，則\overrightarrow{AB}=(-3,2)\Rightarrow a-1=-3且b-2=2\Rightarrow B=(-2, 4)\\ \overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=(1,2)+(-2,4)=(-1,6)\Rightarrow D=(-1,6)，故選\bbox[red,2pt]{(D)} 。$$

解：$$\left( x-1 \right) \left( x-3 \right) +\left( y-2 \right) \left( y-4 \right) =0\Rightarrow { x }^{ 2 }-4x+3+{ y }^{ 2 }-6x+8=0\\ { \Rightarrow \left( x-2 \right) }^{ 2 }+{ \left( y-3 \right) }^{ 2 }=2\Rightarrow 圓心坐標=(2,3)，故選\bbox[red,2pt]{(D)} 。$$