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2016年5月26日 星期四

100學年四技二專統測--數學(D)詳解

試題來源:技專校院入學測驗中心

:$$\overline{AB}=\sqrt{{(9-3)}^2+{(9-1)}^2}=10\Rightarrow \overline{AC}= \overline{AB}\div 2=10\div 2=5$$,故選(D)



:$$\csc{\theta}=3\Rightarrow \sin{\theta}=\frac{1}{3}\Rightarrow \cos{2\theta}=1-2\sin^2{\theta}=1-2\times\frac{1}{9}\\ =\frac{7}{9}$$,故選(C)




:$$當\sin{\theta}=-1時,有最大值{\left(\sin{\theta}-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}\\ =
{\left(-1-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}=\frac{9}{4}+\frac{3}{4}=3$$,故選(C)




:$$\sin{x}的週期為2\pi\Rightarrow \sin{2x}週期為\pi$$,故選(A)




:$$f(-2)=f(1)\Rightarrow 8-2a+5=2+a+5\Rightarrow 3a=6\Rightarrow a=2$$,故選(D)




:$$\overrightarrow{a}與\overrightarrow{b}平行\Rightarrow \frac{6}{-3}=\frac{-8}{y}\Rightarrow y=4\Rightarrow \left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{{(-3)}^2+{4}^2}=5$$,故選(A)




:$$\overline{AB}=6x-4x=3\Rightarrow x=\frac{3}{2}\Rightarrow A(4x)=A(6)$$,故選(C)




:$$60°=\frac{\pi}{3}\Rightarrow 同界角=\frac{\pi}{3}-2\pi=\frac{-5\pi}{3},故選\bbox[red,2pt]{(B)} 。$$


:$${\overline{AB}}^2={\overline{AC}}^2+{\overline{BC}}^2={24}^2+7^2\Rightarrow \overline{AB}=25\\ \Rightarrow\sin{A}=\frac{\overline{BC}}{\overline{AB}}=\frac{7}{25},故選\bbox[red,2pt]{(A)} 。$$




:$$另一股長為\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}\Rightarrow \tan{\beta}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5},故選\bbox[red,2pt]{(B)} 。$$




:$${ \left( \sin { 23° } -\sin { 67° }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \sin { 23° } +\sin { 67° }  \right)  }^{ 2 }={ \left( \sin { 23° } -\cos { 23° }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \sin { 23° } +\cos { 23° }  \right)  }^{ 2 }\\ =\sin ^{ 2 }{ 23° } -2\sin { 23° } \cos { 23° } +\cos ^{ 2 }{ 23° } +\sin ^{ 2 }{ 23° } +2\sin { 23° } \cos { 23° } +\cos ^{ 2 }{ 23° } \\ =2\left( \sin ^{ 2 }{ 23°+\cos ^{ 2 }{ 23° }  }  \right) =2,故選\bbox[red,2pt]{(B)} 。$$




:$$\begin{cases} f\left( x \right) +g\left( x \right) ={ 5x }^{ 3 }+5{ x }^{ 2 }+x+1 \\ f\left( x \right) -g\left( x \right) ={ x }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }+x+3 \end{cases}\Rightarrow 2g\left( x \right) ={ 4x }^{ 3 }+2{ x }^{ 2 }-2\\ \Rightarrow g\left( x \right) ={ 2x }^{ 3 }+{ x }^{ 2 }-1\Rightarrow { x }^{ 2 }係數為1,故選\bbox[red,2pt]{(C)} 。$$




:$$令f\left( x \right) ={ x }^{ 3 }-3{ x }^{ 2 }+bx+12=g\left( x \right) \left( { x }^{ 2 }-5x+6 \right) =g\left( x \right) (x-3)(x-2)\\ f\left( 2 \right) =0\Rightarrow 8-12+2b+12=0\Rightarrow b=-4,故選\bbox[red,2pt]{(C)} 。$$



:$$判別式16+4k=0\Rightarrow k=-4,故選\bbox[red,2pt]{(A)} 。$$




:$$x=1代入\Rightarrow  a+b+c+d=5,故選\bbox[red,2pt]{(C)} 。$$




:$$\overrightarrow{AB}=(6,-3),\overrightarrow{AC}=(2,2)\Rightarrow  \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=6\times2+(-3)\times  2\\ =12-6=6,故選\bbox[red,2pt]{(A)} 。$$




$$假設A坐標為(0,0),則B=(\sqrt{3},1), C=(0,2),如上圖\\  \Rightarrow  \triangle ABD  三內角分別為30, 60, 90;又\overline{BD}// \overline{AC}\Rightarrow  \angle  DBA=\angle  BAC\\  \overline{AC}=\overline{AB}=2 \Rightarrow  \triangle ABC 為正三角形\Rightarrow  周長=2\times  3=6,故選\bbox[red,2pt]{(B)} 。$$



:$$假設B坐標為(a,b),則\overrightarrow{AB}=(-3,2)\Rightarrow  a-1=-3且b-2=2\Rightarrow  B=(-2,  4)\\  \overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=(1,2)+(-2,4)=(-1,6)\Rightarrow  D=(-1,6),故選\bbox[red,2pt]{(D)} 。$$




:$$\left( x-1 \right) \left( x-3 \right) +\left( y-2 \right) \left( y-4 \right) =0\Rightarrow { x }^{ 2 }-4x+3+{ y }^{ 2 }-6x+8=0\\ { \Rightarrow \left( x-2 \right)  }^{ 2 }+{ \left( y-3 \right)  }^{ 2 }=2\Rightarrow 圓心坐標=(2,3),故選\bbox[red,2pt]{(D)} 。$$





圓C之圓心坐標=(2,1),因此經過(2,1)及(1,2)的直線為x+y=3,故選(D)



:$$直線通過(0,b)及(\frac{-b}{a},0),\\若b<0,則x截距及y截距皆為負值,此直線不會通過第一象限;\\因此b>0,x截距及y截距皆為正值,故選\bbox[red,2pt]{(D)} 。$$





兩點之X坐標皆為2011,故選(B)



:$$直線2x+4y=5的斜率為\frac{-1}{2}\Rightarrow L的斜率為2,且通過(0,1)\\ \Rightarrow L: y=2x+b 且1=0+b \Rightarrow L: y=2x+1,故選\bbox[red,2pt]{(B)} 。$$




:$$ \left|\frac{6+7}{\sqrt{{12}^2+5^2}}\right|=\frac{1}{1}=1,故選\bbox[red,2pt]{(A)} 。$$





先求各直線交點,分別為(1,0), (-1,0), (0,1),代入f可得1, -1, 2,因此最小值為-1,故選(C)


-- end --

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