99學年四技二專統測--數學(A)詳解

試題來源：技專校院入學測驗中心

解：
4名保全人員ABCD，分兩組 AB、CD；AC、BD；AD、BC，共有3種分組方式，早班、晚班互換，共有6種，故選(C)。

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解：
由小排到大: 12、12、13、13、17、17、17、18，共8個數字
眾數:出現頻率最高的數字17
中位數:排名第四與第五的平均，(13+17)/2=15
兩者相加=17+15=32，故選(D)。

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解：

全距=最大減最小=88-52=36，故選(B)。

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解：

$${\theta}_1=45, {\theta}_2=135\Rightarrow {\theta}_2-{\theta}_1=90，故選\bbox[red,2pt]{(C)} 。$$

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解： $$兩條直線有相同的y截距，且為負值，即b_1=b_2<0; \\ L_2斜率為正，L_1斜率為負，即m_1<0, m_2>0; 故選\bbox[red,2pt]{(D)} 。$$

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解： $$\log { 28 } +\log { 25 } -\log { 7 } =\log { 4 } +\log { 7 } +2\log { 5 } -\log { 7 } =2\log { 2 } +2\log { 5 } \\ =2\left( \log { 2 } +\log { 5 }  \right) =2，故選\bbox[red,2pt]{(A)} 。$$

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解： $$\log { 180 } =\log { \left( 2\times { 3 }^{ 2 }\times 10 \right)  } =\log { 2 } +2\log { 3 } +\log { 10 } \\ =\log { 2 } +2\log { 3 } +1=0.301+2\times 0.4771+1=2.2552，故選\bbox[red,2pt]{(B)} 。$$

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解： $${ 12 }^{ 2 }\pi \times \frac { 2\pi  }{ 3 } \times \frac { 1 }{ 2\pi  } =48\pi ，故選\bbox[red,2pt]{(D)} 。$$

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解： $$擲骰子2次，共有6\times 6=36種情況，其中b-a\ge 3的有\\(a,b)=(1,4), (1,5), (1,6), (2,5), (2, 6), (3,6)六種情況，\\ \Rightarrow 機率為\frac{6}{36}=\frac{1}{6}，故選\bbox[red,2pt]{(B)} 。$$

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解： $$每個人都有4種選擇，共有4\times 4\times 4=64，故選\bbox[red,2pt]{(A)} 。$$

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解： $$權數合計: 4+3+3+1+1=12\Rightarrow 加權平均分數=\\81\times\frac{4}{12}+ 72\times\frac{3}{12}+68\times\frac{3}{12}+84\times\frac{1}{12}+78\times\frac{1}{12}\\ =\frac{906}{12}=75.5，故選\bbox[red,2pt]{(C)} 。$$

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解： $$2\times 0.2+4\times 0.3+6\times 0.5 = 4.6，故選\bbox[red,2pt]{(D)} 。$$

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解： $$d_1=\left|\frac{-12}{\sqrt{3^2+4^2}}\right|=\frac{12}{5},d_2=\left|\frac{18+12-12}{\sqrt{3^2+4^2}}\right|=\frac{18}{5}，故選\bbox[red,2pt]{(C)} 。$$

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解：

(4,0)不在區域內，故選(A)。

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解：

$$a-2=0，b+2=0\Rightarrow a=2,b=-2\Rightarrow 2a+b=2，故選\bbox[red,2pt]{(B)} 。$$

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解： $$2x^2-5x-3=(2x+1)(x-3), 4x^2+8x+3=(2x+1)(2x+3)\\ \Rightarrow \frac{-1}{2}為共同解\Rightarrow a=\frac{-1}{2}，故選\bbox[red,2pt]{(B)} 。$$

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解： $${ 4 }^{ x+1 }=8\Rightarrow { 2 }^{ 2x+2 }={ 2 }^{ 3 }\Rightarrow 2x+2=3\Rightarrow x=\frac { 1 }{ 2 } \\ { 3 }^{ y-1 }=9={ 3 }^{ 2 }\Rightarrow y-1=2\Rightarrow y=3\\ 2x+y=2\times \frac { 1 }{ 2 } +3=4，故選\bbox[red,2pt]{(D)} 。$$

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解： $$\overline { AB } =\sqrt { { \left( 6+1 \right)  }^{ 2 }+{ \left( 4+3 \right)  }^{ 2 } } =7\sqrt { 2 } \\ 令\overline { BC } =x\Rightarrow \frac { 7 }{ 4 } x=\overline { AB } =7\sqrt { 2 } \Rightarrow x=4\sqrt { 2 } ，故選\bbox[red,2pt]{(C)} 。$$

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解： $$\left( \cos { 30° } +\sin { 30° }  \right) \left( \cos { 30° } -\sin { 30° }  \right) =\cos ^{ 2 }{ 30° } -\sin ^{ 2 }{ 30° } \\ =\frac { 3 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 4 } =\frac { 1 }{ 2 } ，故選\bbox[red,2pt]{(A)} 。$$

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解： $$\cot { \theta  } =1\Rightarrow \sin { \theta  } =\cos { \theta  } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  } \Rightarrow \sin { \theta  } \cos { \theta  } \\ =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  } \times \frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  } =\frac { 1 }{ 2 } ，故選\bbox[red,2pt]{(A)} 。$$

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解： $$C_{ 1 }圓心O_{ 1 }=(1,-1),C_{ 2 }圓心O_{ 2 }=(0,2)\Rightarrow \overline { O_{ 1 }O_{ 2 } } =\sqrt { 1+9 } =\sqrt { 10 } \\，故選\bbox[red,2pt]{(A)} 。$$

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解： $$圓心O=(-1,0)至直線x+y=2的距離=\frac { 3 }{ \sqrt { 2 }  } ，故選\bbox[red,2pt]{(B)} 。$$

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解： $$x=1,x=2代入x^2+ax+b的值相同\Rightarrow 1+a+b=4+2a+b\Rightarrow a=-3;\\x=3代入x^2+ax+b的值為5\Rightarrow 9+3a+b=5\Rightarrow b=5\Rightarrow a+b=2，故選\bbox[red,2pt]{(D)} 。$$

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解： $$\overline{BC}=n,\overline{AC}=m\Rightarrow \overline{AB}=sqrt{m^2+n^2}\\ (A)\cot{A}=\frac{m}{n}  (B)\cos{A}=\frac{m}{\sqrt{m^2+n^2}} (C)\sin{A}=\frac{n}{\sqrt{m^2+n^2}}，故選\bbox[red,2pt]{(D)} 。$$

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解： $$\sin{\theta}\cos{\theta}=\frac{1}{2}\Rightarrow \sin{2\theta} =2\sin{\theta}\cos{\theta} =2\times\frac{1}{2}=1，故選\bbox[red,2pt]{(C)} 。$$

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