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2016年6月20日 星期一

105年臺南區特招數學詳解

試題來源:臺南女中
1. 以琴酒與柳橙汁調製成 150 毫升的雞尾酒,其中柳橙汁體積為琴酒體積的兩倍,請問此杯雞尾酒內含柳橙汁多少毫升?
(A) 50 毫升
(B) 75 毫升
(C) 100 毫升
(D) 125 毫升
解:
令琴酒a毫升,則柳橙汁為2a毫升,且a+2a=150,因此a=50,柳橙汁為100毫升,\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。

2. 近來路跑風氣盛行,美國人傑克森在 2007 年發表的一篇論文裡,建議運動員在運動過程中每分鐘心跳次數最多為[206.9-(0.67×年齡 )]   次。根據傑克森的建議,一個15 歲的運動員在運動過程中,每分鐘最多的心跳次數最接近下列哪一個選項?
(A) 195 次
(B) 197 次
(C) 199 次
(D) 201 次
解:
$$206.9-\left( 0.67\times 15 \right) \approx 206.9-\left( \frac { 2 }{ 3 } \times 15 \right) =206.9-10=196.9,故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

3. 所謂「PM2.5」是指粒徑小於 2.5 微米的細懸浮微粒,而登革熱病毒則是直徑約 30~50
奈米的球形病毒。已知 1 微米=\({10}^{-6}\) 公尺,1 奈米=\({10}^{-9}\) 公尺,試問:2.5 微米是 50奈米的多少倍?
(A)1/50倍
(B)1/20倍
(C) 20 倍
(D) 50 倍
解:
$$\frac { 2.5微米 }{ 50奈米 } =\frac { 2.5\times { 10 }^{ -6 } }{ 50\times { 10 }^{ -9 } } =\frac { 1 }{ 20\times { 10 }^{ -3 } } =0.05\times { 10 }^{ 3 }=50,故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

4. 臺南市政府公告 104 年舉辦「省電爭霸戰,節電獎百萬」競賽活動,統計 6 至 11月累積省電約 130 萬度,估計可減少 677 公噸碳排放量。已知使用 1200W 耗電量的吹風機 20 分鐘,用電量為 0.4 度,根據上述公告,換算碳排放量約為多少公斤?
(A) 0.1 公斤
(B) 0.2 公斤
(C) 0.4 公斤
(D) 0.8 公斤
解:
$$\frac { 677公噸 }{ 130萬度 } =\frac { x公斤 }{ 0.4度 } \Rightarrow \frac { 677公噸 }{ 130萬度 } =\frac { 677\times { 10 }^{ 3 } }{ 130\times { 10 }^{ 4 } } =\frac { x }{ 0.4 } \\ \Rightarrow x=0.4\times \frac { 677\times { 10 }^{ 3 } }{ 130\times { 10 }^{ 4 } } \approx 0.4\times \frac { 1 }{ 2 } =0.2,故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

5. 飲料店舉辦促銷活動:「綠茶一杯 20 元,每買 5 杯就多送 2 杯」。李小姐買綠茶,飲料店總共給她 50 杯,李小姐應該要付多少元?
(A) 720 元
(B) 740 元
(C) 760 元
(D) 780 元

解:
花5杯錢得到(5+2)杯綠茶,花5x7=35杯錢得到35+2x7=49杯綠茶,因此要付35+1杯的錢,即36x20=720元,故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。

6. 數線上有相異三點 A(a)、 B(b)、C(c),滿足 |a-b| =3、|b- c| =2 與 |c-a| =1 。若\(\overline{AC}\) 的中點為 M ,\(\overline{BC}\) 的中點為 N ,則 \(\overline{MN}\) 的長度為下列何者?
(A)3/2
(B) 2
(C)5/2
(D) 3

解:

由題意可知各點相對位置如上圖,\(\overline{MN}=\frac{1}{2}\overline{AB}=\frac{3}{2}\),故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。

7. 擲一公正骰子一次,假設擲出的點數為 x ,則三線段長 x 、 x +7 、 x +11 可為三角
形三邊長的機率為何?
(A)1/6
(B)1/3
(C)1/2
(D)2/3
解:
兩邊之和需大於第三邊,即x+(x+7)>x+11, 因此x>4, x=5,6,機率為2/6=1/3,故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。

解:
$$\begin{cases} \angle CAD=\angle BEC \\ \angle AFB=\angle EFD \end{cases}\Rightarrow \triangle ABF\sim \triangle EDF\Rightarrow \frac { \overline { AF }  }{ \overline { BF }  } =\frac { \overline { EF }  }{ \overline { FD }  } \\ \Rightarrow \frac { 2x }{ x+3 } =\frac { 5x+2 }{ 3x+6 } \Rightarrow 6x^{ 2 }+12x=5x^{ 2 }+17x+6\Rightarrow x^{ 2 }-5x-6=0\\ \Rightarrow \left( x-6 \right) \left( x+1 \right) =0\Rightarrow x=6,故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

解:
直線L的斜率=\(\overline{CB}\)的斜率=(4-0)/(8-6)=2=a;
E=(\(\frac{8+0}{2},\frac{4+2}{2}\))=(4,3),L經過E點,所以3=2x4+b, b=-5
所以a+b=2-5=-3,故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。

解:
$$\left( 2x^{ 2 }-1 \right) \left( ax^{ 2 }+bx+c \right) =2ax^{ 4 }+2bx^{ 3 }+2cx^{ 2 }-ax^{ 2 }-bx-c\\ =2ax^{ 4 }+2bx^{ 3 }+(2c-a)x^{ 2 }-bx-c \Rightarrow \begin{cases} 2a=4 \\ 2b=-2 \\ 2c-a=0 \\ -b=1 \\ -c=-1 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=2 \\ b=-1 \\ c=1 \end{cases}\\ \Rightarrow 2a+b+c=4-1+1=4,故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

11. 臺南市自104年12月1日起,在特定路段實施路邊停車格累進費率,第1小時20元、第2小時起每小時30元,例如停2小時收費50元,停3小時收費80元。國稅局辦理研習,共有20位專員從外地開車參加,國稅局代為支付當天早上9點至下午4點的路邊停車格停車費用。若此次研習總預算為30000元,並將各項支出與結餘做成圓形圖,則路邊停車格停車費用占圓心角最多為何?
(A) 24°
(B) 36°
(C) 48°
(D) 72°
解:
早上9點至下午4點共計7小時,需停車費20+30x6=200元;20位專員需停車費200x20=4000元,占總預算的4000/30000=2/15,圓心角度數為\(360\times \frac{2}{15}\)=48度,故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。

12. 已知以四邊形 ABCD 的各邊中點為頂點的四邊形是長方形,下列哪一個敘述必定正確?
解:
ABCD為一箏形,故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。

13. 財務經理對訪談記者回答:「本公司上個月業績有達到優等的業務員,他們的平均薪資為8萬元。」經記者進一步詢問得知,上個月全體業務員平均薪資為3萬元,而其中業績未達優等者之業務員平均薪資為2萬元。則上個月業績達優等的業務員占全體業務員的比例為何?
(A)1/4  (B)1/5  (C)1/6  (D)1/8

解:
令業績達優等的業務員占全體業務員的比例為a,則\(8\times a+2\times (1-a) = 3\Rightarrow a=\frac{1}{6}\),故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。

14. 如右圖,正六邊形一邊\(\overline{ AB}\) 與正五邊形一邊\(\overline{CD}\) 平行,則\(\angle QPR\) 的角度為何?

(A) 18°
(B) 24°
(C) 30°
(D) 36°
解:
正五邊形的每一內角為108度,正六邊形的每一內角為120度。
\(\angle QNM=(180-\angle Q)/2\)=(180-108)/2=36
\(\angle QPR=180-\angle R-\angle RNP\)=180-120-36=24,故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。

15. 設方程式\(x^2\)+9x-630=0的兩根是\(\alpha與\beta\),且\(\alpha>\beta\),則下列哪一個選項正確?
(A) \(\alpha+\beta=9\)
(B) \(\alpha\)是偶數
(C) \(\alpha\)是 5 的倍數
(D) \(\alpha\)是 7 的倍數
解:
\(x^2\)+9x-630=(x-21)(x+30)=0, \(\alpha=21,\beta=-30\),故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。

16. 如右圖,將正六邊形ABCDEF各邊延長交於P、Q、R、S、T、U六點,則正六邊形ABCDEF面積與正六邊形PQRSTU面積的比值為何?
(A)1/4   (B)1/3  (C)1/2  (D)\(\sqrt{3}\)/4
解:

正六邊形的每一內角為120度\(\Rightarrow \triangle AQB=\triangle OAB\)皆為正三角形,令\(\triangle ABO\)面積=M,則正六邊形ABCDEF面積=6M、正六邊形PQRSTU面積=6M+12M=18M,兩者比例為6M:18M=1:3,故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。

17. 如右圖, \(O_1\)、\(O_2\)分別為兩圓的圓心,直線 L與兩圓分別切於 A、B 兩點,且直線 L 與\(\overline{O_1O_2}\)交於 P 點。已知 \(\overline{O_1A}=5,\overline{O_2B} =3,\overline{AB}=6,則\overline{PO_1}\) 的線段長為何?

\((A)\frac{63}{8}\\(B)\frac{25}{4}\\(C)\frac{15}{2}\\(D)\frac{11}{2}\)
解:

$$\begin{cases} \angle O_{ 2 }PB=\angle O_{ 1 }PA \\ \angle O_{ 2 }BP=90°=\angle O_{ 1 }AP \end{cases}\Rightarrow \triangle O_{ 2 }BP\sim \triangle O_{ 1 }AP\Rightarrow \frac { \overline { O_{ 2 }B }  }{ \overline { PB }  } =\frac { \overline { O_{ 1 }A }  }{ \overline { AP }  } \\ \Rightarrow \frac { 3 }{ 6-a } =\frac { 5 }{ a } \Rightarrow a=\frac { 15 }{ 4 } \Rightarrow { \overline { PO_{ 1 } }  }^{ 2 }={ \overline { AO_{ 1 } }  }^{ 2 }+{ \overline { AP }  }^{ 2 }=25+\frac { 225 }{ 16 } =\frac { 625 }{ 16 } \\ \Rightarrow \overline { PO_{ 1 } } =\frac { 25 }{ 4 } ,故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

18. 設二次函數\(y=ax^2\)+bx+c的圖形通過(1,0)、(5,0)兩點,則二次函數=\(ax^2\)-bx圖形的對稱軸為何?
(A) x=0    (B) x -2 =0  (C) x -3 =0  (D) x + 3=0
解:
\(y=ax^2\)+bx+c=(x-1)(x-5)=\(x^2-6x+5 \Rightarrow \) a=1,b=-6, c=5\(\Rightarrow y=x^2+6x={(x+3)}^2-9 \Rightarrow \)頂點座標為(-3,-9),因此對稱軸為x=-3,故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。

19. 下圖為 2015 年國內家用20 公斤液化石油氣每月平均價格長條圖,請問 2015 年全年平均價格在下列哪一個範圍之間?

(A) 700 元~720 元
(B) 720 元~740 元
(C) 740 元~760 元
(D) 760 元~780 元
解:
以740元為水平線,高於740元的月份略多於低於740的月份,故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。

20. 坐標平面上有六個點,A(1, 2)、B( –2, 1)、C(0, –1)、D(a, b)、E(–1, 3)與 F(1, 1)。
若 \(\triangle ABC \cong \triangle DEF \),且 a 、b都是正數,則 a+b之值為何?
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
解:

$$\begin{cases} \overline { DE } //\overline { AB }  \\ \overline { DF } //\overline { AC }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \frac { 2-1 }{ 1-(-2) } =\frac { b-3 }{ a+1 }  \\ \frac { 2-(-1) }{ 1-0 } =\frac { b-1 }{ a-1 }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a-3b=-10 \\ 3a-b=2 \end{cases}\\ \Rightarrow a=2,b=4\Rightarrow a+b=6,故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

21. 如右圖,B 是圓 O 上一點,O 是圓心, \(\overline{PA}\)與圓 O相切於 A 點。若 \(\angle ABP=30°且 \overline{PB}\) =6 ,則 \(\overline{PA}\)的長度為何?
解:
$$\overline{OB}=\overline{OA}=r\Rightarrow \angle OAB=30^\circ \Rightarrow \angle AOP=\angle OBA+\angle OAB=60^\circ \\ \Rightarrow \overline{OP}=2\overline{OA} \Rightarrow 2r=6-r\Rightarrow r=2\Rightarrow \overline{AP}=\sqrt{3}r=2\sqrt{3},故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

22. 如右圖,A、B、C 是直線 L 上三點,分別以 A、B 為圓心,\(\overline{AB} 、\overline{ BC}\) 為半徑作圓,D 是兩圓交點。若 \(\angle ADC =123 ° ,則\angle DAC\)的角度為何?
(A) 16°
(B) 18°
(C) 20°
(D) 22°
解:
$$\overline { BD } =\overline { BC } =小圓半徑\Rightarrow \triangle BDC為等腰\Rightarrow 令\angle BCD=\angle BDC=a\\ \Rightarrow \angle ABD=2a=\angle ADB=\angle ADC-a=123-a\Rightarrow a=41°\\ \Rightarrow \angle DAC=180-\angle ABD-\angle ADB=180-41\times 4=16°\\,故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

23. 數學老師在課堂上出了一個數學謎題給學生:「我心中有四個數成等差數列,其中有兩個數的和是 14,且比另外兩個數的和還要小;其中又有兩個數的和是 18,也比另外兩個數的和還要小。有誰知道這四個數中,最大的數為何?」請問此數學謎題的答案為多少?
(A) 17
(B) 18
(C) 19
(D) 20
解:
令此等差數列依小至大分別為\(a_1=a,a_2=a+d,a_3=a+2d,a_4=a+3d\),由題意可知: \(a_1+a_2=14且a_1+a_3=18\),因此a=5,d=4。最大數=a+3d=5+12=17,故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。

解:
令正三角形ADE的邊長為a,高為h及線段\(\overline{DB}=b\)
由於\(\triangle ADE\)為正三角形\(\Rightarrow h=\frac{\sqrt{3}}{2}a\);
又\(\angle B=45^\circ \Rightarrow h=\frac{a}{2}+b\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{a}{2}+b\Rightarrow b=\frac{(\sqrt{3}-1)}{2}a\)
三角形ADE面積=\(\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\)
斜線面積=\(\triangle ABC-\triangle ADE=\frac{{(a+b)}^2}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{a^2}{2}\)
斜線面積:三角形ADE面積=\(\frac{a^2}{2}:\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=2:\sqrt{3}\),故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。

解:
$$令\overline{A_1B_1}=a、\overline{A_6B_6}=b,對角線與水平線的交點在C_2、C_3、C_4、C_5,如上圖。\\ \Rightarrow \overline{A_4B_4}=\frac{2a}{5}+\frac{3b}{5}=39,又\triangle C_3A_1B_1\sim \triangle C_3B_6A_6 \Rightarrow a:b=2:3\\ \begin{cases} \frac { 2a }{ 5 } +\frac { 3b }{ 5 } =39 \\ 3a=2b \end{cases}\Rightarrow a=30,b=45\\ \overline{A_1B_1}+ \overline{A_2B_2} + \overline{A_3B_3}+\overline{A_4B_4}+ \overline{A_5B_5}+ \overline{A_6B_6}\\ =\frac{(1+2+3+4+5)}{5}a+\frac{(1+2+3+4+5)}{5}b=3a+3b=75\times 3=225\\ 故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

-- end --

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