91學年四技二專統測--數學(A)詳解

試題來源：技專校院入學測驗中心

解：

由以上長除法可得餘式為-x-4，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：

x=3代入可得27-54+33-6=0，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解： $$\sqrt{{(2-1)}^2+{(5-3)}^2}=\sqrt{5}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $${\left(\frac{1}{27}\right)}^3\times{81}^2={3}^{-9}\times{3}^{8}=3^{-1}=\frac{1}{3}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解： $$\log _{ 10 }{ 3 } +\log _{ 10 }{ 50 } +\log _{ 10 }{ 7 } -\log _{ 10 }{ 105 } \\ =\log _{ 10 }{ 3 } +1+\log _{ 10 }{ 5 } +\log _{ 10 }{ 7 } -\log _{ 10 }{ 3 } -\log _{ 10 }{ 5 } -\log _{ 10 }{ 7 } \\ =1，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解： $$\sin { 2002° } =\sin { \left( 365°\times 5+202° \right)  } =\sin { 202° } =-\sin { 22° } =\frac { -k }{ \sqrt { k^{ 2 }+1 }  } \\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$\overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b } =\left| \overrightarrow { a }  \right| \left| \overrightarrow { b }  \right| \cos { \theta  } =\sqrt { 13 } \times \sqrt { 13 } \cos { \theta  } =13\cos { \theta  } ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解：令圓心坐標(x,y)，圓心至三點距離相等，即 $$\begin{cases} { \left( x-4 \right)  }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }={ \left( x+4 \right)  }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \\ { \left( x-4 \right)  }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }=x^{ 2 }+{ \left( y-3 \right)  }^{ 2 } \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=0 \\ 16+{ y }^{ 2 }=y^{ 2 }-6y+9 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=0 \\ y=\frac { -7 }{ 6 }  \end{cases}\\ 半徑=\sqrt { 16+\frac { 49 }{ 36 }  } =\sqrt { \frac { 625 }{ 36 }  } =\frac { 25 }{ 6 } ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解：經過(0,0)及(1,1)的方程式為y=x=f(x)；經過(1,1,)及(3,0)的方程式為y=g(x)=$\frac{3-x}{2}$。u(x)=f(x)g(x)$\Rightarrow$u'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)=$\frac{3-x}{2}+(\frac{-1}{2})x \Rightarrow$u'(1)=1+(-0.5)=0.5，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解： $$\frac { 1-3i }{ 1+i } =\frac { \left( 1-3i \right) \left( 1-i \right)  }{ \left( 1+i \right) \left( 1-i \right)  } =\frac { -2-4i }{ 2 } =-1-2i=a+bi\\ \Rightarrow a+b=-1-2=-3，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解：D位於B、C的中點，即D=$\left(\frac{2-3}{2},\frac{1-1}{2}\right)=\left(\frac{-1}{2},0\right)$。令經過A、D的直線方程式為y=mx+b，將A、D坐標代入可得m=-6,b=-3，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解： $$\int _{ -1 }^{ 1 }{ { (1-x }^{ 2 }) } dx=\left. \left( x-\frac { 1 }{ 3 } { x }^{ 3 } \right)  \right| _{ -1 }^{ 1 }=\frac { 2 }{ 3 } +\frac { 2 }{ 3 } =\frac { 4 }{ 3 } ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解：
(B)$\cos{0}=1$；(C)$\sin{2x}=2\sin{x}\cos{x}$；(D)$\tan{(x+y)}=\frac{\tan{x}+\tan{y}}{1-\tan{x}\tan{y}}$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：$\overrightarrow{AB}$=(3-1,k-3)=(2,k-3); $\overrightarrow{AC}$=(5-1,1-3)=(4,-2)。
$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0\Rightarrow8-2k+6=0\Rightarrow k=7$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解： $${ a }^{ 2 }={ b }^{ 2 }+c^{ 2 }-2bc\cos { \angle A } \Rightarrow 12=4+c^{ 2 }-4\times c\times \left( \frac { -1 }{ 2 }  \right) \Rightarrow c^{ 2 }+2c-8=0\\ \Rightarrow (c+4)(c-2)=0\Rightarrow c=2，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解： $$\overline { AC } =8,\overline { AB } =\sqrt { { \left( 8-\frac { 11 }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { 5\sqrt { 3 }  }{ 2 }  \right)  }^{ 2 } } =\sqrt { \frac { 25 }{ 4 } +\frac { 75 }{ 4 }  } =\frac { 10 }{ 2 } =5\\ \overline { BC } =\sqrt { { \left( \frac { 11 }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { 5\sqrt { 3 }  }{ 2 }  \right)  }^{ 2 } } =\sqrt { \frac { 121 }{ 4 } +\frac { 75 }{ 4 }  } =\frac { 14 }{ 2 } =7\\ { \overline { BC }  }^{ 2 }={ \overline { AB }  }^{ 2 }+{ \overline { AC }  }^{ 2 }-2\overline { AB } \overline { AC } \cos { \angle BAC } \Rightarrow 49=25+64-80\cos { \angle BAC } \\ \Rightarrow \cos { \angle BAC } =\frac { 1 }{ 2 } \Rightarrow \angle BAC=60°，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解：四頂點分別為A(0,0)、B(a,0)、C(a,b)、D(0,b)，且a>0,b>0, a+2b=6
ABCD面積=$a\times b=(6-2b)b=6b-2b^2=-2(b^2-3b+\frac{9}{4})+\frac{9}{2}=-2{(b-\frac{3}{2})}^2+\frac{9}{2}$
當$b=\frac{3}{2}, 面積有最大值\frac{9}{2}\Rightarrow$ 周長=2(a+b)=2(6-b)=12-3=9，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解： $$\tan { \theta  } =\frac { 3 }{ 4 } \Rightarrow \cos { \theta  } =\frac { 4 }{ 5 } \Rightarrow \cos { 2\theta  } =2\cos ^{ 2 }{ \theta  } -1\\ =2\times \frac { 16 }{ 25 } -1=\frac { 7 }{ 25 } ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解： $${ \left( \sqrt { 3 } +i \right)  }^{ 10 }={ \left[ 2\left( \frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } +\frac { 1 }{ 2 } i \right)  \right]  }^{ 10 }={ \left[ 2\left( \cos { \frac { \pi  }{ 6 }  } +i\sin { \frac { \pi  }{ 6 }  }  \right)  \right]  }^{ 10 }\\ ={ 2 }^{ 10 }\left( \cos { \frac { 10\pi  }{ 6 }  } +i\sin { \frac { 10\pi  }{ 6 }  }  \right) ={ 2 }^{ 10 }\left( \cos { \frac { \pi  }{ 3 }  } -i\sin { \frac { \pi  }{ 3 }  }  \right) \\ ={ 2 }^{ 10 }\left( \frac { 1 }{ 2 } -\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } i \right) ={ 2 }^{ 9 }\left( 1-\sqrt { 3 } i \right) ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解：該圖形為橢圓，兩焦點為(1,1), (7,1), 2a=10$\Rightarrow 中心坐標=(\frac{1+7}{2},\frac{1+1}{2})=(4,1)，a=5$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解： $$\int _{ \sqrt { 3 }  }^{ \sqrt { 8 }  }{ \frac { x }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+1 }  } dx } =\left. \left( \sqrt { { x }^{ 2 }+1 }  \right)  \right| _{ \sqrt { 3 }  }^{ \sqrt { 8 }  }=3-2=1，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解：由拋物線方程式可知c=1, 因此焦點=(1,2+1)=(1,3)。(5,6)至(1,3)距離=$\sqrt{4^2+3^2}=5$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：2x-3y+6=0的斜率為$\frac{2}{3}\Rightarrow$直線L的斜率為$\frac{-3}{2}\Rightarrow$ 方程式為$y=\frac{-3}{2}x+b$且經過(1,5)$\Rightarrow 5=\frac{-3}{2}+b\Rightarrow b=\frac{13}{2}$。因此L: $y=\frac{-3}{2}x+\frac{13}{2}$, 當y=0時，x=$\frac{13}{2}\times\frac{2}{3}=\frac{13}{3}$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：

f(x)=sin|x|的圖形如上, x=0時，f'(x)不存在；當x=$-\pi$時，其斜率為正；當x=$\pi$時，其斜率為負；又$f(x)=\sin{x}\Rightarrow f'(x)=\cos{x}$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：

圖形右上角深藍區域為不等式所圍區域，x=3,y=2時，x+y=5為最小值，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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