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2016年6月27日 星期一

92學年四技二專統測--數學(B)詳解

試題來源:技專校院入學測驗中心
:$$f(-2)=0\Rightarrow 16-8-8-2a+2=0\Rightarrow a=1,故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$


:$$2^2-4\times 3\times k=0\Rightarrow 4-12k=0\Rightarrow k=\frac{1}{3},故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$



y=3x+2斜率為3,則y=ax+3的斜率為\(\frac{-1}{3}\),故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。


:$$\frac{1}{3^x}=9^y\Rightarrow 3^{-x}=3^{2y}\Rightarrow -x=2y,故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

:$$\log_{10}{15}=\log_{10}{3}+\log_{10}{5}=\log_{10}{3}+1-\log_{10}{2}=b+1-a,故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$


:$$2-\frac { 3 }{ 2 } +\frac { 9 }{ 8 } -\frac { 27 }{ 32 } +\cdots =\frac { 2 }{ 1-\left( \frac { -3 }{ 4 }  \right)  } =\frac { 2 }{ \frac { 7 }{ 4 }  } =\frac { 8 }{ 7 } ,故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$




: 擲二粒骰子,共有36種情況,其中(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),出現相同點數有六種情況,機率為6/36=1/6,其他機率為5/6。
期望值=\(220\times\frac{1}{6}-50\times\frac{5}{6}=-5\),故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。



:甲投進、乙沒投進,機率為\(\frac{1}{4}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{12}\)
甲沒投進、乙投進,機率為\(\frac{3}{4}\times\frac{2}{3}=\frac{1}{2}\)
甲投進、乙也投進,機率為\(\frac{1}{4}\times\frac{2}{3}=\frac{1}{6}\)
三者機率相加=\(\frac{9}{12}=\frac{3}{4}\),故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。




4男3女:\(4!\times 3!\)=144
3女4男:\(3!\times 4!\)=144
1男3女3男:\(4\times 3!\times 3!\)=144
2男3女2男:\(12\times 3!\times 2!\)=144
3男3女1男:\(4!\times 3!\times 1\)=144
共有\(144\times 5=720\),故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。





:\(C_2^4\times  C_6^8=168\),故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。

:$$x^{ 2 }+y^{ 2 }+2ax-1=0\Rightarrow { (x+a) }^{ 2 }+y^{ 2 }=1+a^{ 2 }\Rightarrow 圓心(-a,0),半徑\sqrt { 1+a^{ 2 } } \\ 圓心至直線距離=半徑長\Rightarrow \frac { a+3 }{ \sqrt { 2 }  } =\sqrt { 1+a^{ 2 } } \Rightarrow a^{ 2 }-6a-7=0\\ \Rightarrow \left( a-7 \right) \left( a+1 \right) =0\Rightarrow a=7(a>0),故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$



各交點分別為A、B、C、D四點,如上圖。
B點代入有最大值: 40,故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。





:$$\left( \sin { 700° } ,\cos { 700° }  \right) =\left( \sin { 700°-360°\times 2 } ,\cos { 700° } -360°\times 2 \right) =\left( \sin { \left( -20° \right)  } ,\cos { \left( -20° \right)  }  \right) \\ =\left( -\sin { 20° } ,\cos { 20° }  \right) =(負,正),故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$



$$35^\circ\Rightarrow  c>b>a\Rightarrow  \sin{35^\circ}(\frac{a}{c})<\cos{35^\circ}(\frac{b}{c})且\tan{35^\circ}(\frac{a}{b})> \sin{35^\circ}\\,故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$


:$$2\sin ^{ 2 }{ x } +\cos { x } =2\left( 1-\cos ^{ 2 }{ x }  \right) +\cos { x } =-2\cos ^{ 2 }{ x } +\cos { x } +2\\=-2{ \left( \cos { x } -\frac { 1 }{ 4 }  \right)  }^{ 2 }+\frac { 17 }{ 8 } \\ \Rightarrow \begin{cases} 當\cos { x } =\frac { 1 }{ 4 } 時,有最大值\frac { 17 }{ 8 }  \\ 當\cos { x } =-1時,有最小值-2\times { \left( -\frac { 5 }{ 4 }  \right)  }^{ 2 }+\frac { 17 }{ 8 } =-1 \end{cases}\\
,故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$


:$$\begin{cases} f\left( 1 \right) =3 \\ f\left( -1 \right) =1 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} m+n+2=3 \\ -m+n+6=1 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} m=3 \\ n=-2 \end{cases}\Rightarrow f\left( 2 \right) =8m+4n-4+4\\ =8m+4n=24-8=16,故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$


:$$6^{ x }\cdot 8^{ y }=2^{ 8 }\cdot 3^{ 5 }\Rightarrow 2^{ x }\cdot 3^{ x }\cdot 2^{ 3y }=2^{ 8 }\cdot 3^{ 5 }\Rightarrow \begin{cases} x=5 \\ x+3y=8 \end{cases}\\\Rightarrow \begin{cases} x=5 \\ y=1 \end{cases}\Rightarrow x+y=6,故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$


:直線通過第1,2,4象限,代表其x截距及y截距皆為正值,因此,b>0且a<0\(\Rightarrow  ab<0且a-b<0\),P在第三象限,故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。


:f(2)=1且g(2)=-1\(\Rightarrow\)f(2)-2g(2)=1+2=3,故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。



:此題相當於求x+y+z=30的非負整數解,共有\(H_{30}^3=C_{30}^{32}=C_2^{32}\),故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。


:$$\begin{cases} 5-3=2(x-5) \\ -2-4=2(y+2) \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=6 \\ y=-5 \end{cases}\Rightarrow x+y=1,故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$


:$$\frac { 1+\frac { 1 }{ 4 } \log _{ 10 }{ 81 } -\frac { 1 }{ 3 } \log _{ 10 }{ 125 }  }{ \frac { 1 }{ 4 } \log _{ 10 }{ 16 } +\frac { 1 }{ 3 } \log _{ 10 }{ 27 }  } =\frac { 1+\frac { 1 }{ 4 } \log _{ 10 }{ { 3 }^{ 4 } } -\frac { 1 }{ 3 } \log _{ 10 }{ 5^{ 3 } }  }{ \frac { 1 }{ 4 } \log _{ 10 }{ 2^{ 4 } } +\frac { 1 }{ 3 } \log _{ 10 }{ 3^{ 3 } }  } \\ =\frac { 1+\log _{ 10 }{ 3 } -\log _{ 10 }{ 5 }  }{ \log _{ 10 }{ 2 } +\log _{ 10 }{ 3 }  } =\frac { 1+\log _{ 10 }{ 3 } -(1-\log _{ 10 }{ 2 } ) }{ \log _{ 10 }{ 2 } +\log _{ 10 }{ 3 }  } =1,故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

:$${ x }^{ 2 }+y^{ 2 }+2x-4y-4=0\Rightarrow { \left( x+1 \right)  }^{ 2 }+{ \left( y-2 \right)  }^{ 2 }={ 3 }^{ 2 }\Rightarrow 圓心(-1,2),半徑3\\ 圓心至x-y=5的距離為\frac { 8 }{ \sqrt { 2 }  } =4\sqrt { 2 } >半徑\\ \Rightarrow 圓至直線最短距離=圓心至直線距離-半徑=4\sqrt { 2 } -3,故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

:$$\begin{cases} { a }_{ 1 }=-20 \\ { a }_{ 7 }=-11 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} { a }_{ 1 }=-20 \\ { a }_{ 1 }+6d=-11 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} { a }_{ 1 }=-20 \\ d=\frac { 3 }{ 2 }  \end{cases}\\ { a }_{ n }>0\Rightarrow { a }_{ 1 }+(n-1)d>0\Rightarrow -20+(n-1)\times \frac { 3 }{ 2 } >0\Rightarrow n-1>20\times \frac { 2 }{ 3 } =\frac { 40 }{ 3 } \\ \Rightarrow n>\frac { 43 }{ 3 } =14\frac { 1 }{ 3 } ,故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$





假設平行2x+3y=1的直線為2x+3y=k,點(1,2)經過,即2+6=k,因此該方程式為2x+3y=8,相當於\(\frac{1}{4}x+\frac{3}{8}y=1\Rightarrow a-b=\frac{-1}{8}\),故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。


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