國中數學難題解析(3題)：相似與比例

壹、已知三角形ABC的面積為10，且D、E、F分別為邊\(\overline{BC}\)、\(\overline{AC}\)及\(\overline{AB}\)上的點，此三點異於A點，使得\(\overline{BD}=2\)、\(\overline{DC}=3\)，如圖所示。如果\(\triangle BCE\)的面積等於四邊形DCEF的面積，試問\(\triangle BCE\)的面積為何？

(A)4  (B)5  (C)6  (D)\(\frac{5}{3}\sqrt{10}\)

解：

\(\triangle BCE\)的面積等於四邊形DCEF的面積
\(\Rightarrow \triangle BGD\)面積=\(\triangle EFG \Rightarrow \triangle BDE\)面積=\(\triangle EFD\)面積
由於\(\triangle BDE\)與\(\triangle EFD\)有共同的底，即線段\(\overline{DE}\)。由於兩者面積相同，代表\(\overline{DE}\)至點F的距離與至點B的距離相同，因此\(\overline{FB}\)與\(\overline{ED}\)平行。
$$\overline{ED}//\overline{FB}\Rightarrow \frac{\overline{CE}}{\overline{EA}}=\frac{\overline{CD}}{\overline{DB}}=\frac{3}{2}\\ \frac{\triangle BAE}{\triangle BCE}=\frac{2}{3}\Rightarrow \triangle BCE=\frac{3}{5}\times\triangle ABC = \frac{3}{5}\times 10 = 6$$ 故選(C)。

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貳、如上圖，\(\triangle ABC\)中，已知\(\overline{DF}//\overline{AE}\)，E、F三等分\(\overline{BC}\)，且D為\(\overline{AC}\)的中點，求\(\overline{AG}:\overline{GE}\)?
解：
在\(\triangle BFD\)中，由於\(\overline{EG}//\overline{FD}且\overline{BE}=\overline{EF}\)，所以\(\overline{FD}=2\overline{EG}\)；
在\(\triangle CAE\)中，由於\(\overline{DF}//\overline{AE}且\overline{CF}=\overline{EF}\)，所以\(\overline{AE}=2\overline{DF}\)；

因此$$\overline{AE}=2\overline{DF}=2\times 2\overline{EG}=4\overline{EG}\\ \Rightarrow \overline{AE}=\overline{AG}+\overline{GE}=4\overline{GE}\Rightarrow \overline{AG}=3\overline{GE}\\ \Rightarrow \overline{AG}:\overline{GE}=3:1$$

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參、如上圖，梯形ABCD中，\(\overline{AB}//\overline{CD}，\overline{AB}:\overline{CD}\)=3:4，E點是\(\overline{AD}\)的中點，F點與G點三等分\(\overline{BC}\)，則四邊形ABFE與四邊形GEDC的面積比為何？
(A)9:16      (B)16:9    (C)9:13    (D)13:9
解：
連接E、B兩點及E、C兩點，分別得線段\(\overline{EB}\)及\(\overline{EC}\)，如下圖：

由於\(\overline{AB}//\overline{DC}\)且E為\(\overline{AD}\)中點，所以\(\overline{AB}\)至點E的距離與\(\overline{DC}\)至點E的距離相同。因此\(\triangle ABE與\triangle EDC\)的面積比=\(\overline{AB}:\overline{DC}\)=3:4 ---------------(1)
此外，E為\(\overline{AD}\)中點，所以\(\triangle EBC\)的面積是梯形ABCD的一半。

關於這一點，還是稍為解釋一下：
在梯形ABCD中，\(\overline{EP}//\overline{AB}\)，且E為\(\overline{AD}\)中點，如下圖

假設梯形的高為h，則梯形面積為\((\overline{AB}+\overline{CD})\times\frac{h}{2}\)；
由於\(\triangle BEC\)面積=\(\triangle BEP+\triangle CEP\)=\(\overline{EP}\times\frac{h}{4}+\overline{EP}\times\frac{h}{4}\)=\(\overline{EP}\times\frac{h}{2}\)。
\(\overline{EP}\)為梯形的中線，所以\(\overline{EP}=(\overline{AB}+\overline{CD})/2\)，代入上式可得\(\triangle BEC\)面積=\(\overline{EP}\times\frac{h}{2}\)=\(\overline{AB}+\overline{CD})/2 \times\frac{h}{2}\)=梯形面積的一半。
由於\(\triangle EBC\)的面積是梯形ABCD的一半，所以\(\triangle ABE+\triangle EDC\)的面積=\(\triangle EBC\)的面積=梯形ABCD的一半。
令\(\triangle ABE\)面積=3a\(\Rightarrow \triangle ECD \)面積=4a\(\Rightarrow  \triangle BEC\)面積=3a+4a=7a；
又F點與G點三等分\(\overline{BC}\)，所以\(\triangle BEF=\triangle FEG=\triangle GEC\)=\(\triangle BEC\)/3=7a/3

因此四邊形ABFE與四邊形GEDC的面積比=(3a+7a/3):(4a+7a/3)=(16a/3):(19a/3)=16:19，故選(B)。