朱式幸福: 106教檢國小數學能力測驗詳解

１０６年度高級中等以下學校及幼兒園教師資格檢定考試
類別：國民小學
科目：數學能力測驗

選擇題

1.市面上有直徑9吋與12吋的披薩，今將這兩種披薩各自切成8等份的扇形，各取出一片，問此兩片披薩的面積比為何？

(A) 1∶1

(B) √9 ∶√12

(D) 9∶16

解：

直徑比=半徑比=9:12=3:4$\Rightarrow 面積比=3^2:4^2=9:16$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

2.某貿易商進口A、B兩貨櫃的柳橙，兩貨櫃都至少可裝8萬顆。A貨櫃的柳橙以100顆裝一箱，剩下79顆；B貨櫃以100顆裝一箱，剩下93顆。到了臺灣，貿易商將全部柳橙重新包裝成50顆裝一盒，問最後剩下幾顆柳橙無法裝成一盒？
(A) 22
(B) 29
(C) 43
(D) 72

解：

A、B兩貨櫃皆以100顆裝箱，重新包裝後，以50顆裝一盒，無零散柳橙。

只剩79+93=172顆零散柳橙，可裝172/50=3盒，餘22顆，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

3.已知甲為一個直徑7公分的球體、乙為一個每邊長7公分的正方體，問甲和乙的體積大小關係為何？
(A) 甲>乙
(B) 甲=乙
(C) 甲<乙
(D) 條件不足，無法比較

解：

球體體積為$\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{7}{2}\right)}^3=\frac{343}{6}\pi$；正方體體積為$7^3=343$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

4.若多項式P為 x 的三次多項式、多項式Q為 x 的二次多項式，則下列敘述何者為真？
(A) P+Q 的和為 x 的五次多項式
(B) P-Q 的差為 x 的一次多項式
(C) P×Q 的積為 x 的六次多項式
(D) P÷Q 的商為 x 的一次多項式

解：

和或差最多為三次式，積為3+2=5次式，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

解：$$\frac { 3x+2 }{ 4 } -\frac { x-3 }{ 3 } =1\Rightarrow \frac { 3(3x+2) }{ 12 } -\frac { 4(x-3) }{ 12 } =\frac { 12 }{ 12 } \\ \Rightarrow 3(3x+2)-4(x-3)=12\Rightarrow 9x+6-4x+12=12$$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

解：$$7-\frac { 5 }{ 2 } x\le 3-x\Rightarrow 7-3\le \frac { 5 }{ 2 } x-x\Rightarrow 4\le \frac { 3 }{ 2 } x\Rightarrow \frac { 8 }{ 3 } \le x$$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

7.有一存錢筒裡只有10元及50元硬幣，共有600元；已知10元硬幣的個數與50元硬幣的個數一樣多，問此存錢筒裡共有幾枚硬幣？
(A) 10
(B) 20
(C) 36
(D) 60

解：

假設10元硬幣的個數與50元硬幣的個數皆為a，則10a+50a=600，即60a=600，a=10；共有10+10=20枚硬幣，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

解：

$\triangle APC與\triangle ACQ$全等，理由如下：
$\overline{AP}=\overline{AB}且\overline{AQ}=\overline{AC}$；又
$\angle PAB=\angle QAC=90 \Rightarrow \angle PAB+\angle BAC=\angle QAC+\angle BAC \Rightarrow \angle PAC=\angle BAQ$
符合SAS條件，所以$\triangle APC與\triangle ACQ$全等，即$\overline{PC}=\overline{QB}$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

解：

1公里=1000公尺=100000公分，比例尺應為1:100000或$\frac{1}{100000}$，因此(A)及(B)皆不正確；選項(D)中，1小格=1公分=2/4=0.5公里，亦不正確，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

10.常用的A4影印紙，從長邊等分切一半後變成A5影印紙，而且A5剛好與A4影印紙成相似圖形。問A4影印紙長邊和短邊的比值是多少？
(A) √2
(B) √3
(C) 2
(D) 3

解：

假設A4紙的長寬比為a:b，則A5的長寬比為b:a/2。兩者相似代表a:b=b:a/2$\Rightarrow b^2=\frac{a^2}{2}\Rightarrow b=\frac{a}{\sqrt{2}}\Rightarrow a:b=1:\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}:1$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

解：

圖形向上代表美金升值(臺幣貶值)，反之代表美金貶值(臺幣升值)。故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

解：

第75百分位數代表位於四分之一位置。全班25人，四分之一介於6之7人間。84分有2人、82分有3人，合計5人，所以第75百分位數得分為81，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

13.將一串數字按下面規律排列：
1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6、⋯
若依此規律繼續排列下去，則第100個數字為何？
(A) 33 (B) 34
(C) 35 (D) 36

解：

將字串每三個一組，可得(1,2,3)(2,3,4)(3,4,5)....(33,34,35)(34,35,36)
第n組的第1項均為n，所以第100個數字位於第34組的第1項，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

14.某人要寄送一根長為1公尺的不可伸縮木桿(木桿的寛度及厚度不計)，某快遞公司只賣邊長各為40、60、100及120公分的正方體紙箱，問他須要買的紙箱邊長最小為多少公分？
(A) 40 (B) 60
(C) 100 (D) 120

解：

令正方體的邊長為a，如上圖。紙箱內最長的地方在對角線，即$\overline{BC}$。
$\overline{AB}=\sqrt{2}a$，又直角$\triangle ABC中，{\overline{AB}}^2+{\overline{AC}}^2={\overline{BC}}^2\Rightarrow \overline{BC}=\sqrt{3}a$
$40\times\sqrt{3}\approx 69$；$60\times\sqrt{3}\approx 103>100$；故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

解：

在直角$\triangle ABC中，{\overline{AC}}^2+{\overline{BC}}^2={\overline{AB}}^2$，也就是說甲=乙+丙；同理，丙=己+庚、乙=丁+戊。因此
甲+乙+丙+丁+戊+己+庚 = 甲+乙+丙+乙+丙 = 甲+甲+甲 = 3甲，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

解：

(A) 12個1/4 (B) 3個1/4 (C) 3個1/4
只有(D)沒有將1/4當成被乘數，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

17.某學童在簡單加法的計算上，已具備「往上數(counting on)」的策略。該學童最不可能使用這種策略來解決下列哪一個文字題的算式填充題？
(A) ( )+3=12
(B) 9+( )=12
(C) 9+3=( )
(D) 12+3=( )

解：

(B)9往上數()個成為12, (C) 9往上數3個變成() (D) 12往上數3變成()；只有(A)最不可能，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

18.教師要進行「無條件進入法」取概數的教學，下列哪一個題目最適合用來布題？
(A) 演唱會有6289個觀眾，每區可以坐1000人，當天可以坐滿幾區？
(B) 演唱會賣掉6289張簽名照，以1000張為單位，大約賣掉幾千張？
(C) 演唱會收到6289張票根，每1000張裝成一盒，最多可以裝滿幾盒？
(D) 演唱會發出6289支螢光棒，每1000支裝成一箱，最少須要準備幾箱？

解：

每1000支裝成一箱，最少須要準備幾箱？表示不到1000的零頭也要裝一箱，符合無條件進入法，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

19.教師問學童「一般家庭用的抽水馬桶一次的沖水量大約是多少？」，有四位學童的回答如下：
甲、6000毫公升
乙、6000立方公分
丙、60公升
丁、6立方公尺
哪些學童的回答是合理的？
(A) 只有甲、乙 (B) 只有甲、丙
(C) 只有乙、丁 (D) 只有丙、丁

解：

1毫公升＝1立方公分，甲跟乙的答案是一樣的，兩跟丁的答案太大，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

解：

放大和縮小均代表邊長的縮放，不是面積的縮放，因此只有甲是對的，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

21.依據97年數學學習領域課程綱要，有關統計圖表的教學，下列哪一種資料最不適合在國小階段進行？
(A) 某班學童各月份出生的人數
(B) 某班各組數學成績的累積相對次數
(C) 棒球投手投完三局後好壞球的球數
(D) 投擲一顆骰子10次出現各點的次數

解：

(A)(C)(D)僅計算次數，只有(B)的累積相對次數較不適合國小，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

解：

該表格並非學生經由「整理」、「紀錄」或「分類」所產生的，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

解：

只有(C)是正確的，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

解：比值的觀念較難，學習時程較晚，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

解：

甲轉了180-135=45度、乙轉了180-45=135度、丙轉了180-135=45度，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

解：

只要將圖形旋轉，就容易看出其特徵，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

27.有關「數的計數(counting)」活動，下列的教學何者不是必需要求的重點？
(A) 一對一的對應
(B) 由左到右點數
(C) 建立標準數詞序列
(D) 最後一個數詞代表總數

解：

計數順序不分方向，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

28.有一數學問題「八邊形的內角和是幾度？」，有三位學童的解題過程說明如下：
甲、我在八邊形上，利用其中一個頂點連接其它頂點，而形成6個三角形，
所以是 180×6
乙、我在圖內畫一點，分別與八個頂點連接，會形成8個三角形，
所以是 180×8
丙、我在圖內畫一點，分別與八個頂點連接，先算 180×8=1440，再減去360，
所以是 1440-360
下列敘述何者為真？
(A) 只有甲正確 (B) 只有乙正確
(C) 只有丙正確 (D) 只有甲、丙正確

解：

乙多算了360度，只有甲、丙正確，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

解：

寫作的X有8個，閱讀的X有6個，所以甲正確；

喜歡寫作的只有3號與9號，他們的閱讀都是X，所以乙正確；

沒有人寫作與閱讀是O，所以丙錯誤；

只有4號、6號、8號、10號，四人是兩個X，並非五個人，所以丁也錯；

故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

30.學生常以「小數是獨立的兩個整數之間加小數點(如：9.18是9和18之間加小數點)」的迷思概念，來計算或比較小數問題。問下列哪一個選項，其錯誤不是源自於此迷思概念？
(A) 3.8×3=9.24
(B) 3.15÷3=1.5
(C) 3.98>3.89>3.08>3.9
(D) 4.87>4.85>4.9>4.08

解：

在(C)中，3.08>3.9，學生認為8>9，並未有此迷思，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

非選擇題
(一) 普通數學計算題或證明題（需寫出演算過程或理由）

試回答下列問題：
(1)觀察每一個正方形內4個數字的規律，請將你所發現的規律，用未知數 x 表示任意正方形內的4個數。【2分】
(2)如果有一個正方形數字組合，其4個數字總和是334，請以 x 列式並求出此4個數。【3分】

解：
(1)左右相鄰的數相差1、上下相鄰的數相差10。假設任意正方形內的左上角為x，其他三個數分別x+1,x+10,x+11。
(2) x+x+1+x+10+x+11 = 334，即4x+22=334， x=78；此個數為78,79,88,89。

2.若某正整數剛好等於它的所有真因數(除了本身以外的因數)之和，則此數稱為「完全數」，例如6就是一個完全數，因為 6=1+2+3。請證明496為一完全數。

解：

$496=2^4\times 31$，因此496的真因數為1,2,4,8,16,31,62,124,248，其和為1+2+4+8 + 16+ 31+62 + 124+248 = 496，所以496為一完全數。

解：

(1)甲圖的面積=四個三角形加一個正方形=$\frac{ab}{2}\times4+c^2=c^2+2ab$

(2)乙圖的面積=兩個正方形加兩個矩形=$a^2+b^2+2ab$，由於甲乙兩圖面積相等，即

$c^2+2ab=a^2+b^2+2ab\Rightarrow c^2=a^2+b^2$

解：
(1)560,000位於級距2，應納稅額=$560000\times 12\%-36400$=67200-36400 = 30800元。
(2)甲老闆應納稅額=$4400000\times 30\%-365000$=1320000-365000=955,000；乙老闆應納稅額=$4400001\times 40\%-805000$=1,760,000.4-805,000=955,000.4；
由於「角」以下捨去，兩人應納稅額相同，所以乙老闆的說法是不正確的。

(二) 數學教材教法問答題