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2017年9月26日 星期二

106年 警專36期乙組數學科詳解





162=256<257<172=2899+257=9+16.XX=25.XXX=5.YYY

故選(C)



x620+y9+45=x625+y9+45=x(51)+y(5+2)=(x+2y)+(x+y)5=5+5{x+2y=5x+y=1(x,y)=(1,2)
故選(B)



3x+4y23x4y24212xy12212xy12xy
故選(A)



f(x)=x3+5x2+10x+10=(x+1)(x2+4x+6)+4=(x+1)[(x+1)(x+3)+3]+4=(x+1)[(x+1)((x+1)+2)+3]+4=(x+1)[(x+1)2+2(x+1)+3]+4=(x+1)3+2(x+1)2+3(x+1)+4(a,b,c,d)=(1,2,3,4)
故選(D)



3x2+3x5=3(x12)2174<0(3x2+3x5)(x2ax+b)0x2ax+b0x2ax+b=(x+1)(x3)a=2,b=3
故選(B)



4x=722x=7(2x)2=72x=72x+38x=82x(2x)3=8777=7
故選(A)


f(b)f(a)=2log5blog5a=2log5ba=2ba=52=15ab=5
故選(D)



an+1=n+1n+2ana100=100101a99=10010199100a98=10010199100989923a1=1001019910098992312=1101
故選(C)



S=20n=1[(2n1)(2n)]=20n=1[4n22n]=420n=1n2220n=1n=42021416220212=11480420=11060
故選(A)



將3與4綁在一起,有兩種{34}或{43}簡寫成A、
將5與6綁在一起,有兩種{56}或{65}簡寫成B、
將7與8綁在一起,有兩種{78}或{87}簡寫成C、
則題意變成1、2、A、B、C五個數字排列,但1與2不相鄰。,
相當於所有可能減去1與2相鄰的排列:
所有可能5!,將1與2綁在一起變成四個數字共有4!x2,所以有5!-4!x2=120-48=72種數字。
由於A、B、C各有2種情形,所以總共有72x2x2x2=576種,故選(B)



Cn2=78n×(n1)2=78n2n156=0(n13)(n+12)=0n=13
故選(D)



(x+y)11=11n=0C11nxny11n(1+1)11=11n=0C11n211=C110+C111++C1110+C1111C111++C1110=211C110C1111=204811=2046
故選(C)



30個正整數取出3個數,共有C303種取法;
30個正整數中有15個偶數及15個奇數,15個偶數取出2個偶數共有C152種可能,15個奇數取出1個奇數共有15種選法;
機率為C15215C303=45116
故選(C)




7排在第六位○○○○○7○共有6!種排法,
7排在第六位且6排在第七位○○○○○76機率為5!,機率為5!/6!=1/6,故選(A)




三角形大角對大邊,由a2=b2+c2+bc可知A為最大角。
由餘弦定理: a2=b2+c22bccosA=b2+c2+bccosA=12
故選(B)




由於A、B、C三點對氣球的仰角都是60度,所以A、B、C在同一圓上,如上圖。

由於BACBOC對同弧,所以BAC=2BAC=60,因此OAB三邊均等長,皆為40,即圓半徑=40。
氣球高度¯OP=×3=403,故選(D)




過P的水平線與圓相切於B點,如上圖。
APB=2θOPB=θsinθ=310,cosθ=110
sin2θ=2sinθcosθ=2×310×110=610=35,故選(C)



(a+tb)=(3t,1+2t)(a+tb)a=(3t,1+2t)(3,1)=9+3t+1+2t=5t+10=0t=2
故選(B)


|9527|=6310=53
故選(A)



\overrightarrow { AB } =\left( 6-2,4-5,5-4 \right) =\left( 4,-1,1 \right) ,\overrightarrow { AC } =\left( 3-2,6-5,4-4 \right) =\left( 1,1,0 \right) \\ \Rightarrow \cos { \angle BAC } =\frac { \overrightarrow { AB } \cdot \overrightarrow { AC }  }{ \left| \overrightarrow { AB }  \right| \left| \overrightarrow { AC }  \right|  } =\frac { 4-1+0 }{ \sqrt { 16+1+1 } \sqrt { 1+1 }  } =\frac { 3 }{ \sqrt { 36 }  } =\frac { 1 }{ 2 } \\ \Rightarrow \angle BAC=60°
故選\bbox[red,2pt]{(C)}



\bbox[blue,2pt]解:\left| \left( \vec { a } \times \vec { b }  \right) \cdot \vec { c }  \right| =\left| \left( \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ -2 & 2 \end{vmatrix},\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 2 & 4 \end{vmatrix},\begin{vmatrix} 4 & 4 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} \right) \cdot \left( 2,6,2 \right)  \right| =\left| \left( 12,0,-24 \right) \cdot \left( 2,6,2 \right)  \right| \\ =\left| 24-48 \right| =24
故選\bbox[red,2pt]{(D)}


\bbox[blue,2pt]解:
令平面方程式為ax+by+cz+d=0,將A、B、C三點代入可得2x+2y+z-2=0。
(0,0,0)至平面距離為\left|\frac{-2}{\sqrt{4+4+1}}\right|=\frac{2}{3},故選\bbox[red,2pt]{(B)}



\bbox[blue,2pt]解:\begin{vmatrix} -2 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 3 \\ -1 & a & 2 \end{vmatrix}=0\Rightarrow -15+5a=0\Rightarrow a=3\Rightarrow \begin{cases} -2x+y-z=3 \\ x+2y+3z=1 \\ -x+3y+2z=b \end{cases}\\ \begin{cases} -2x+y-z=3 \\ x+2y+3z=1 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=y-2 \\ z=1-y \end{cases}\Rightarrow -(y-2)+3y+2(1-y)=b\Rightarrow b=4
故選\bbox[red,2pt]{(A)}



\bbox[blue,2pt]解:\begin{bmatrix} 0.8 & 0.4 \\ 0.2 & 0.6 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} p \\ 1-p \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} p \\ 1-p \end{bmatrix}\Rightarrow 0.8p+0.4(1-p)=p\Rightarrow p=\frac { 2 }{ 3 }
故選\bbox[red,2pt]{(D)}


\bbox[blue,2pt]解:
x^{ 2 }+2x+4y=11\Rightarrow { \left( x+1 \right)  }^{ 2 }=-4(y-3) \Rightarrow 頂點坐標為(-1,3),焦點坐標為(-1, 3-1)=(-1, 2),故選\bbox[red,2pt]{(B)}



\bbox[blue,2pt]解:
由題意可知:兩焦點坐標分別為(0,3)及(0,-3),因此中心坐標為(0, 0),長軸為10,直立式的橢圓,故選\bbox[red,2pt]{(C)}



\bbox[blue,2pt]解:
只有甲命中的機率 = \frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}=\frac{1}{4}
只有乙命中的機率 = \frac{1}{2}\times\frac{1}{3}\times\frac{3}{4}=\frac{1}{8}
只有丙命中的機率 = \frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{12}
三者相加 = \frac{6+3+2}{24}=\frac{11}{24},故選\bbox[red,2pt]{(B)}


\bbox[blue,2pt]解:
二項分布的變異數=np(1-p)=400x0.5x0.5=100,故選\bbox[red,2pt]{(A)}



\bbox[blue,2pt]解:令圓半徑=r\Rightarrow 3\pi =r\times \frac { \pi  }{ 4 } \Rightarrow r=12\Rightarrow 圓面積={ r }^{ 2 }\pi =144\pi \\ \Rightarrow 扇形面積=144\pi \times \frac { \frac { \pi  }{ 4 }  }{ 2\pi  } =144\pi \times \frac { 1 }{ 8 } =18\pi
故選\bbox[red,2pt]{(A)}



\bbox[blue,2pt]解:
(A)最大值為1, (B)最小值為-1 (C)sin(0)=0,有通過原點;故選\bbox[red,2pt]{(D)}



\bbox[blue,2pt]解:(A)a+b=\frac { \sqrt { 5 }  }{ \sqrt { 5 } +2 } +\frac { \sqrt { 5 }  }{ \sqrt { 5 } -2 } =\frac { \sqrt { 5 } \times 2\sqrt { 5 }  }{ \left( \sqrt { 5 } +2 \right) \left( \sqrt { 5 } -2 \right)  } =10\\ (B)ab=\frac { \sqrt { 5 }  }{ \sqrt { 5 } +2 } \cdot \frac { \sqrt { 5 }  }{ \sqrt { 5 } -2 } =\frac { 5 }{ 1 } =5\\ (C)\frac { 1 }{ a } +\frac { 1 }{ b } =\frac { a+b }{ ab } =\frac { 10 }{ 5 } =2\\ (D)a^{ 2 }+b^{ 2 }={ \left( a+b \right)  }^{ 2 }-2ab={ 10 }^{ 2 }-2\cdot 5=100-10=90\\ (E)a^{ 3 }+b^{ 3 }=\left( a+b \right) \left( a^{ 2 }-ab+b^{ 2 } \right) =10\left( 90-5 \right) =850
故選\bbox[red,2pt]{(ADE)}



\bbox[blue,2pt]解:2x^3+x^2-8x-4=0\Rightarrow   x^2(2x+1)-4(2x+1)=0   \Rightarrow   (x^2-4)(2x+1)=0   \\   \Rightarrow   (x+2)(x-2)(2x+1)=0   \Rightarrow   x=2,   -2,   \frac{-1}{2}
故選\bbox[red,2pt]{(BDE)}



\bbox[blue,2pt]解:

故選\bbox[red,2pt]{(ABC)}



\bbox[blue,2pt]解:{ \left( x+\frac { 3 }{ x }  \right)  }^{ 6 }=\sum _{ n=0 }^{ 6 }{ C^{ 6 }_{ n }{ x }^{ n }{ \left( \frac { 3 }{ x }  \right)  }^{ 6-n } } =\sum _{ n=0 }^{ 6 }{ { 3 }^{ 6-n }C^{ 6 }_{ n }{ x }^{ 2n-6 } } \\ \Rightarrow { x }^{ 6 }係數=C^{ 6 }_{ 6 }=1\\ \Rightarrow { x }^{ 5 }係數=0\\ \Rightarrow { x }^{ 4 }係數={ 3 }^{ 6-5 }\times C^{ 6 }_{ 5 }=3\times 6=18\\ \Rightarrow { x }^{ 2 }係數={ 3 }^{ 6-4 }\times C^{ 6 }_{ 4 }=9\times 15=135\\ \Rightarrow 常數項={ 3 }^{ 6-3 }\times C^{ 6 }_{ 3 }=27\times 20=540
故選\bbox[red,2pt]{(BD)}



\bbox[blue,2pt]解:
\sigma_y = |a|\sigma_x\Rightarrow 6=a\cdot 12\Rightarrow a=\frac{1}{2},又\mu_y=a\cdot   \mu_x+b\Rightarrow   50=\frac{1}{2}\cdot  30+b\Rightarrow   b=35
故選\bbox[red,2pt]{(AE)}



\bbox[blue,2pt]解:
\sin{\theta}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5},其餘皆正確,故選\bbox[red,2pt]{(BCDE)}



\bbox[blue,2pt]解:

由聯立不等式可求出四直線之交點,分別為A、B、C、D,再代入x-2y可得
代入A→x-2y=3-8=-5;代入B→x-2y=4-4=0;代入C→x-2y=1;代入D→x-2y=0-4=-4
因此最大值為1, 最小值-5,故選\bbox[red,2pt]{(BC)}



\bbox[blue,2pt]解:令x=10\sin { \theta  } ,y=10\cos { \theta  } \Rightarrow 3x-4y=30\sin { \theta  } -40\cos { \theta  } =50\left( \frac { 3 }{ 5 } \sin { \theta  } -\frac { 4 }{ 5 } \cos { \theta  }  \right) \\ =50\left( \cos { \alpha  } \sin { \theta  } -\sin { \alpha  } \cos { \theta  }  \right) =50\sin { (\theta-\alpha) }  因此最大值為50,  最小值為-50。3x-4y=50\Rightarrow y=\frac { 3 }{ 4 } x-\frac { 25 }{ 2 } \Rightarrow { x }^{ 2 }+{ \left( \frac { 3 }{ 4 } x-\frac { 25 }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }=100\\ \Rightarrow \frac { 25 }{ 16 } { x }^{ 2 }-\frac { 75 }{ 4 } x+\frac { 225 }{ 4 } =0\Rightarrow { \left( x-6 \right)  }^{ 2 }=0\\ \Rightarrow x=6\Rightarrow y=\frac { 3 }{ 4 } \times 6-\frac { 25 }{ 2 } =\frac { 9 }{ 2 } -\frac { 25 }{ 2 } =-8
故選\bbox[red,2pt]{(CDE)}




\bbox[blue,2pt]解:過A,B兩點之直線方程式L:\frac { x }{ -2 } =\frac { y-1 }{ 2 } =\frac { z-2 }{ -2 } 各點均符合L,故選\bbox[red,2pt]{(ABCDE)}




\bbox[blue,2pt]解:\begin{cases} AB=\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 9 & -4 \\ -8 & 7 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 45-48 & -20+42 \\ 63-64 & -28+56 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -3 & 22 \\ -1 & 28 \end{bmatrix} \\ BA=\begin{bmatrix} 9 & -4 \\ -8 & 7 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 45-28 & 54-32 \\ -40+49 & -48+56 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 17 & 22 \\ 9 & 8 \end{bmatrix} \end{cases}\\ \Rightarrow AB\neq BA\Rightarrow (A+B)(A-B)\neq A^2-B^2
故選\bbox[red,2pt]{(BCE)}



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