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2017年9月23日 星期六

106年警專36期甲組數學科詳解


f(x)=m(x2)2+5=mx24mx+4m+54m+5=3m=2f(x)=2x2+8x3a=2,b=8a+b=2+8=6
故選(C)




一根為-1+2i,則另一根為-1-2i因此(x+1)2=4x2+2x+5=0x2+2x+5為其因式。利用長除法可得
因此 4=2(a-2) a=4(x+(a-2))=x+2為其因式,即另一實根為-2
故選(B)




f(0)=3-3c=3c=-1
f(-1)=44b=4b=1
f(3)=2412a=24a=2
a+b+c=2+1+(-1)=2,故選(A)



a=(0.125)0.25=(18)14log2a=log2(18)14=14log2(18)=(22)log2(23)=(22)×(3)=34a=23420>a>211>a>12
故選(C)



2x+2log(2+10x)log(1+410x+4102x)=2x+2log(2+10x)log(1+210x)2=2x+2log(2+10x)2log(1+210x)=2x+2log2+10x1+210x==2(x+log2+10x1+210x)=2(log2+10x1+210x×10x)=2log1+210x1+210x=2log1=2×0=0
故選(A)



n=12100logn=log12100=100log12=100[2log2+log3]=100[2×0.301+0.4771]=100×1.0791=107.91=107+0.91107+log8n=10107×8
故選(C)



S=10n=1n2n1=120+221+322++102912S=121+222+323++929+10210S12S=120+121+122++1291021012S=1(12)1011210210=212910210=212210S=412294
故選(B)



令此三位數為abc,其中abc互異、a不為0,c={0, 2, 4, 6}
c=0時,a有6種選法、b有5種選法,共有6x5=30種
c=2時,a有5種選法、b有5種選法,共有5x5=25種
c=4, c=6 皆與c=2相同,各有25種
所以共有30+25x3=105種三位數,故選(D)




H36=C86=C82,故選(B)




甲機器的不良品比率為50100×4100=150
乙機器的不良品比率為30100×3100=91000
丙機器的不良品比率為20100×2100=1250
不良品來自甲機器的比率為150150+91000+1250=150331000=2033
故選(D)




斜率=rxy×σyσx=0.9×23=35=0.6,故選(B)



{sinθ+cosθ=34sinθcosθ=k4(sinθ+cosθ)2=sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ(34)2=1+2×k4916=1+k2k=78
故選(A)





sin A: sin B: sin C = a: b: c =2:3:4,令a=2k, b=3k, c=4k,利用餘弦定理:
a2=b2+c22bccosA4k2=9k2+16k224cosA
cosA=2124=78sinA=64498=158
故選(B)




若圓心(1,2)至直線的距離等於半徑,表示圓與該直線相切。
圓心與直線2xy=35的距離:|22355|=3
故選(D)



|abcd|=5adbc=5|3a+2ba+3b3c+2dc+3d|=(3a+2b)(c+3d)(a+3b)(3c+2d)=3ac+9ad+2bc+6bd3ac2ad9bc6bd=7ad7bc=7(adbc)=7×5=35
故選(B)




(a+b+c)(a+b-c)=ab (a+b)2c2=aba2+b2c2=ab
利用餘弦定理:c2=a2+b22abcosCcosC=a2+b2c22ab將上式代入,可得cosC=ab2ab=12C=120
故選(D)





由於¯AD為角平分線,所以¯AB:¯AC=¯BD:¯DC=2:3。因此令¯BD=2k¯DC=3k,¯AD=x
由餘弦定理可知:{4k2=4+x24xcos609k2=9+x26xcos60{4k2=4+x22x9k2=9+x23x{36k2=36+9x218x36k2=36+4x212x5x26x=0x(5x6)=0x=65故選(B)



x=5cosθ+1,y=5sinθ+23x+4y=15cosθ+3+20sinθ+8=11+5(3cosθ+4sinθ)=11+25(35cosθ+45sinθ)=11+25(sinαcosθ+cosαsinθ)=11+25sin(α+θ)11+25=36
故選(C)




2x+3y=4在xy平面上為一直線,在三度空間中為一平面並與XY平面垂直,故選(B)



=|a1b1c1a2b2c2a3b3c3|,x=|d1b1c1d2b2c2d3b3c3|,y=|a1d1c1a2d2c2a3d3c3|,z=|a1b1d1a2b2d2a3b3d3|1x=x=1,y=y=2,z=z=32x=|3d12b19c13d22b29c23d32b39c3||3a12b19c13a22b29c23a32b39c3|=3×2×9×x3×2×9×=x=1y=|3a13d19c13a23d29c23a33d39c3||3a12b19c13a22b29c23a32b39c3|=3×3×9×y3×2×9×=3y2=32×2=3z=|3a12b13d13a22b23d23a32b33d3||3a12b19c13a22b29c23a32b39c3|=3×2×3×y3×2×9×=z3=13×3=12(1,3,1)
故選(D)




ABC=12|12362412|=12[6+1246+124]=8|M|=|1425|=|58|=3=8×3=24
故選(C)




在X軸的投影長為a, 在Y軸的投影長為b, 在Z軸的投影長為c, 則{a2+b2=(23)2=23b2+c2=(24)2=24c2+a2=52=252(a2+b2+c2)=72a2+b2+c2=36a2+b2+c2=¯AB=36=6
故選(B)





由拋物線方程式可知:c=3, 焦點F=(0,3),準線方程式為y=-3
由拋物線定義可知: ¯AC=¯AF¯AF=y1+3,同理 ¯BF=y2+3。因此y1+3+y2+3=¯AF+¯FBy1+y2=¯AB6=166=10,故選(A)





由兩焦點距離=5-(-5)=10可知c=10/2=5,又漸近線斜率為-3/4,所以a=4,b=3,貫軸長=2a=8,故選(B)




取出黑球的機率為4/9,期望值為49×5=209
取出白球的機率為5/9,期望值為59×14=709
因此取球獎金為209+709=909=10
故選(B)




資訊不足(未註明選舉人數),無法推算
故選(??)



題目有誤,應該是(cos6°+isin6°)20(cos4°+isin4°)30(cos5°isin5°)12=(cos120°+isin120°)(cos120°+isin120°)cos60°isin60°=cos240°+isin240°cos60°isin60°=123i2123i2=13i13i=(13i)(1+3i)(13i)(1+3i)=223i4=13i2故選\bbox[red,2pt]{(B)}



\bbox[blue,2pt]解:\\ f\left( x \right) =3\sin { x } +4\cos { x } +5=5+5\left( \frac { 3 }{ 5 } \sin { x } +\frac { 4 }{ 5 } \cos { x }  \right)\\ =5+5\left( \cos { y } \sin { x } +\sin { y } \cos { x }  \right)  =5+5\sin { \left( x+y \right)  } \Rightarrow 最大值為5+5=10
故選\bbox[red,2pt]{(C)}



\bbox[blue,2pt]解:
\cos{\frac{7\pi}{4}}=1,\cos{\frac{7\pi}{4}}=-1,故選\bbox[red,2pt]{(D)}



\bbox[blue,2pt]解:
3\pi<{\pi}^2<3\pi+\frac{1}{2}\pi\Rightarrow \frac{-1}{2}\le\sin{\pi^2}<0,故選\bbox[red,2pt]{(C)}



\bbox[blue,2pt]解:
i-1為一虛根,則另一虛根為-i-1,所以x^2+2x+2為其因式,另一為實根。
\frac{b}{a}為其有理根\Rightarrow (ax-b)為f(x)的因式\Rightarrow f(x)=k(ax-b)(x^2+2x+2) 
a,b 為整數,但k為實數,所以(D)不一定成立。
故選\bbox[red,2pt]{(BE)}



\bbox[blue,2pt]解:
(E) 4>2>1\Rightarrow \log _{ 4 }{ 2 } =\frac { 1 }{ 2 } <1
只有(E)錯誤,故選\bbox[red,2pt]{(ABCD)}



\bbox[blue,2pt]解:
(A)  滿足P(A\cap B)=P(A)P(B),則A, B獨立;A,B交集為空集合,不一定獨立。
(D)互斥代表A,B交集為空集合,與選項(A)相同
(E)三事件獨立需為兩兩獨立且P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B)P(C),選項(E)少一條件
故選\bbox[red,2pt]{(BC)}



\bbox[blue,2pt]解:
酒杯相異,杯中飲料相異,則第一杯有5種選擇,第二杯有4種選擇,第三杯月3種選擇,共有5 x 4 x 3= 60 = P^5_3,選項(E)錯誤。
故選\bbox[red,2pt]{(ABCD)}



\bbox[blue,2pt]解:
令迴歸直線方程式為 y=mx+n,該直線通(0,1),所以直線方程式為 y=mx+1
1=\mu_y-m\mu_x\Rightarrow 1=3-2m \Rightarrow m=1\Rightarrow 直線方程式為y=x+1
m=r_{xy}\times\frac{\sigma_y}{\sigma_x}\Rightarrow 1=\frac{4}{5}\times\frac{\sigma_y}{\sigma_x}\Rightarrow \sigma_x<\sigma_y
故選\bbox[red,2pt]{(ACD)}



\bbox[blue,2pt]解:(A)\pi <\theta <\frac { 3\pi  }{ 2 } \Rightarrow \frac { \pi  }{ 2 } <\frac { \theta  }{ 2 } <\frac { 3\pi  }{ 4 } \Rightarrow \sin { \frac { \theta  }{ 2 }  } >0\\ (B)\sin { \theta  } =-\frac { 3 }{ 5 } ,\pi <\theta <\frac { 3\pi  }{ 2 } \Rightarrow \cos { \theta  } =\frac { -4 }{ 5 } \\ (C)\tan { \theta  } =\frac { \sin { \theta  }  }{ \cos { \theta  }  } =\frac { 3 }{ 4 } \\ (D)\sin { 2\theta  } =2\sin { \theta  } \cos { \theta  } =2\times \frac { -3 }{ 5 } \times \frac { -4 }{ 5 } =\frac { 24 }{ 25 } \\ (E)\cos { 2\theta  } =\cos ^{ 2 }{ \theta  } -\sin ^{ 2 }{ \theta  } =\frac { 16 }{ 25 } -\frac { 9 }{ 25 } =\frac { 7 }{ 25 }
故選\bbox[red,2pt]{(BDE)}



\bbox[blue,2pt]解:
(E)若a為零向量,則不一定成立,故選\bbox[red,2pt]{(ABCD)}



\bbox[blue,2pt]解:
(A)三點若在同一直線上,仍無法決定一平面
(E)歪斜表示不在同一平面上
故選\bbox[red,2pt]{(BCD)}



\bbox[blue,2pt]解:
(A) AB不一定等於BA
(C)\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
(E)若B=0, 則B^2\ne B^2+I
故選\bbox[red,2pt]{(BD)}



\bbox[blue,2pt]解:
(E)的圖形如上圖,週期為2\pi,其它圖形的週期為\pi,故選\bbox[red,2pt]{(ABCD)}

-- END --

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