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2017年9月18日 星期一

105年 警專35期甲組數學科詳解


解:

{|y+3|=2|x+1|=0{y=1,5x=1(x,y)=(1,1),(1,5){|y+3|=1|x+1|=2{y=2,4x=1,3(x,y)=(1,2),(1,4),(3,2),(3,4){|y+3|=0|x+1|=4{y=3x=3,5(x,y)=(3,3),(5,3)共有8組解,故選(A)




解: 依題意 f(x)=3(x2)2+7=3x2+12x5 a=12,b=-5,因此a+b=7,故選(D)




解:
令f(x)=P(x)(x-1)(x+1)+Q(x),其中Q(x)為餘式,
x2=1f(x)=x105+2x3=x104×x+2x3=x+2x3=3x3
因此Q(x)=3x-3,故選(C)




解:
13x52(x+13)(x52)0(3x+1)(2x5)06x213x50a=13,b=5a+b=18故選(B)




解:
{3x+24y=173x+4y3=10{93x4y=173x+1644y=10{3x=94y=64x=2,y=3故選(D)




解:
4log93+log921log97=4log93+log93+log97log97=5log93=5×12=52,故選(A)



解:
20k=1[k(k+3)]=20k=1[k2+3k]=20×21×416+3×21×20÷2=2870+630=3500,故選(C)




解:
前10項的和=(a1+a10)×10÷2=(2+2+(3)×9)×5=23×5=115,故選(B)



解:
令1元硬幣有a個、5元硬幣有b個、10元硬幣有c個、50元硬幣有d個,此題相當於求
a+5b+10c+50d=100-1-5-10-50=34,其中a, b, c, d皆為大於等於零之整數。
又d一定等於0,即a+5b+10c=34
當c=3時, b=0
當c=2時, b=2,1,0
當c=1時, b=4,3,2,1,0
當c=0時, b=6,5,4,3,2,1,0
共有1+3+5+7=16組解,故選(A)


解:
此題相當於甲+乙+丙=8,其中甲、乙、丙皆為大於等於0之整數,因此共有H38=C108=45,故選(D)



解:
(2x21x)9=9n=0C9n(2x2)n(1x)9n=9n=0C9n2nx2n(1)9nxn9=9n=0C9n2n(1)9nx3n9 當n=3時,x次方為零,其係數為C9323(1)6=84×8=672,故選(C)




解:
A={2, 3, 5} B={2, 4, 6} , 積事件=交集,即 AB={2},故選(A)



解:標準差=
E(X2)(EX)2=2008(328)2=2516=3,故選(C)




解:
sinθ=35cosθ+tanθ=45+34=3120,故選(C)



解:


ABE三內角分別為3606090,因此¯AE=¯AB×32=332¯EB=¯AB×12=32
在直角AEC中,¯AC2=¯AE2+¯CE2=(332)2+(6+32)2=274+2254
= 64 ¯AC=63=37,故選(D)




(A)7 (B)9 (C)11 (D)13
解:
(x+3)2+(y4)2=4{x=2cosθ3y=2sinθ+4x2+y2=(2cosθ3)2+(2sinθ+4)2=4cos2θ12cosθ+9+4sin2θ+16sinθ+16=2912cosθ+16sinθ=294(3cosθ+4sinθ)=2920(35cosθ+45sinθ)=2920(sinαcosθ+cosαsinθ)=2920sin(α+θ)最小值為29-20=9,故選(B)


17.   設t為實數,而a=(3,5)b=(1,2),試問|a+tb|的最小值為多少?(A)15(B)13(C)12(D)1;
解:|atb|=|(3,5)t(1,2)|=|(3t,52t)|=(3t)2+(52t)2=5t226t+34t=1355×1692526×135+34=341695=15故選(A)


18.   已知|a|=2|b|=5,且ab的夾角為60,試問|ab|的值為多少?(A)13(B)15(C)17(C)19
解:|ab|2=|a|2+|b|22ab=|a|2+|b|22|a||b|cos60°=4+252×2×5×12=2910=19|ab|=19故選(D)



解:
5×76×6=35-36=-1,故選(B)



20.   已知a=(1,2,3)b=(3,4,5),試問由ab所張成的平行四邊形面積為多少?(A)6(B)26(C)36(D)46
解:A=|2345|2+|3153|2+|1234|2=4+16+4=26故選(B)



解:
利用柯西不等式:(x2+(2y)2+(3z)2)(12+22+32)(1x+2y2+3z3)2(x2+2y2+3z2)(1+2+3)(x+2y+3z)24×6(x+2y+3z)224x+2y+3z26x+2y+3z故選(B)




解:
兩平行線的向量u=(2,3,4)
L1上取一點A=(2,-1,-5)、L2上取一點B=(-1,-3,4),則AB=(3,2,9)
v=u×AB=(-19,-30,-13),因此平面方程式可為19x+30y+13z=k
以A點代入,可得38-30-65=k,k=-57,故選(D)



解:
2|1324|+|1702||3524|=|2648|+|4222|=|2866|故選(A)




解:A=0k(k2)3=0k22k3=0(k-3)(k+1)=0 k=3(k=-1不合, k為正實數),故選(C)



解:
拋物線方程式為(x2)2=4(y1)(2,1)=1準線為 y=1-1=0,故選(A)




解:
k=12k13k=13k=12k13k1=13×1123=13×3=1故選(B)。



解:

出現1次的機率為 16×56×56×3=75216
出現2次的機率為 16×16×56×3=15216
出現3次的機率為 16×16×16×3=1216
期望值為75216+15216×2+1216×3=108216=12,故選(D)



解:
二紅二白共有C42=6種排法,每一種都是二白二紅,機率皆為(13)2×(23)2,所以機率為 6×19×49=2481=827,故選(C)



解:
x=π4f(x)=2cos(0)+3=5,故選(C)




解:
lim故選(B)

貳、多重選擇題


解:
(B) 若a=c 且b=d,則a-c=0=b-d,0沒有大於0,所以不正確
(C)3>1且-1>-3,-3沒有大於-3,所以不正確
(D)-1>-3, 1沒有大於9,所以不正確
故選(AE)



解:
(B) 若f(x)=2(x-1)+5,則f(x)除以(2x-2)的餘式為5
(D)f(x)的餘式為1次多項式,不是常數
故選(ACE)



解:
六個相異球取出兩個,共有C^6_2=15種取法
(A)(白, 白), (白,黑)x6,(黑黑)x3,共有10種取去,機率為10/15=2/3
(B)(紅,白)x2, (紅,黑)x3,共有5種取去,機率為5/15=1/3
(C)全部減去(兩球至少有一球是白=(白,白), (白,紅)x2, (白,黑)x6)=1-9/15=2/5
(D)(白,紅)x2, (白,黑)x6,共有8種取去,機率為8/15
(E)(白,白),共有1種取去,機率為1/15
故選(BD)



解:(A)P\left( A' \right) =1-P(A)=\frac { 7 }{ 10 } \quad \\ (B)P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\Rightarrow \frac { 3 }{ 5 } =\frac { 3 }{ 10 } +\frac { 2 }{ 5 } -P(A\cap B)\\ \Rightarrow P(A\cap B)=\frac { 3 }{ 10 } +\frac { 2 }{ 5 } -\frac { 3 }{ 5 } =\frac { 1 }{ 10 } \\ (C)P(A'\cap B')=1-P(A\cup B)=1-\frac { 3 }{ 5 } =\frac { 2 }{ 5 } \\ (D)P(A'\cup B)=1-P(A)+P(A\cap B)=1-\frac { 3 }{ 10 } +\frac { 1 }{ 10 } =\frac { 4 }{ 5 } \\ (E)P(A\cup B')=1-P(B)+P(A\cap B)=1-\frac { 2 }{ 5 } +\frac { 1 }{ 10 } =\frac { 7 }{ 10 } 故選(ACDE)




解:(A)C^{ 7 }_{ 2 }=\frac { 7! }{ 2!5! } =C^{ 7 }_{ 5 }\quad (B)C^{ 1 }_{ 1 }-C^{ 2 }_{ 1 }+C^{ 3 }_{ 1 }-C^{ 4 }_{ 1 }+C^{ 5 }_{ 1 }-C^{ 6 }_{ 1 }=1-2+3-4+5-6=-3\\ (C)C^{ 1 }_{ 1 }+C^{ 2 }_{ 1 }+C^{ 3 }_{ 1 }+C^{ 4 }_{ 1 }+C^{ 5 }_{ 1 }+C^{ 6 }_{ 1 }=1+2+3+4+5+6=21\\ (D)C^{ 6 }_{ 0 }-C^{ 6 }_{ 1 }+C^{ 6 }_{ 2 }-C^{ 6 }_{ 3 }+C^{ 6 }_{ 4 }-C^{ 6 }_{ 5 }+C^{ 6 }_{ 6 }={ \left( 1-1 \right) }^{ 6 }=0\\ (E)C^{ 6 }_{ 0 }+C^{ 6 }_{ 1 }+C^{ 6 }_{ 2 }+C^{ 6 }_{ 3 }+C^{ 6 }_{ 4 }+C^{ 6 }_{ 5 }+C^{ 6 }_{ 6 }={ \left( 1+1 \right) }^{ 6 }=64故選(ABD)





解:
圓C: (x-1)^2+(y+2)^2=3^2\Rightarrow 圓心(1,-2),半徑=3。
圓心到直線的距離小於等於3即表示直線和圓心有交點。(A)\left| \frac { 3-8+40 }{ 5 }  \right| =6>3\quad (B)\left| \frac { 3-8+30 }{ 5 }  \right| =5>3\\ (C)\left| \frac { 3-8+20 }{ 5 }  \right| =3=3\quad (D)\left| \frac { 3-8+10 }{ 5 }  \right| =1<3\\ (E)\left| \frac { 3-8 }{ 5 }  \right| =1<3故選(CDE)




解:(A)\sqrt { 3^{ 2 }+4^{ 2 }+5^{ 2 } } =5\sqrt { 2 } \quad (B)z座標=5\\ (C)y座標=4\quad (D)\sqrt { 4^{ 2 }+5^{ 2 } } =\sqrt { 41 } \\ (E)\sqrt { 3^{ 2 }+4^{ 2 } } =5故選(BE)





解:\begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix}=5\Rightarrow ad-bc=5\\ (A)\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc=5\quad (B)\begin{vmatrix} b & d \\ a & c \end{vmatrix}=bc-ad=-5\\ (C)\begin{vmatrix} 3a & 3c \\ b & d \end{vmatrix}=3\begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix}=15\quad (D)\begin{vmatrix} a+2b & c+2d \\ b & d \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix}=5\\ (E)\begin{vmatrix} a+2b & c+2d \\ b & d \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix}=5故選(BD)






(A)X=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix},Y=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\Rightarrow XY=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},YX=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}\Rightarrow XY\neq YX\\ (D)X=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix},Y=\begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}\Rightarrow X+Y=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\neq X^{ 2 }+2XY+Y^{ 2 }\\ (E)X=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix},Y=\begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}\Rightarrow X\neq ,Y\neq 0,但XY=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix},故選(BC)






解:
sin(2x+3)的最小值為-1, 最大值為1,所以f(x)的最小值為-1+4=3、最大值為1+4=5
sin(x)的週期為2\pi \Rightarrow sin(2x)的週期為\pi,故選(AC)


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