解:
{|y+3|=2|x+1|=0⇒{y=−1,−5x=−1⇒(x,y)=(−1,−1),(−1,−5){|y+3|=1|x+1|=2⇒{y=−2,−4x=1,−3⇒(x,y)=(1,−2),(1,−4),(−3,−2),(−3,−4){|y+3|=0|x+1|=4⇒{y=−3x=3,−5⇒(x,y)=(3,−3),(−5,−3)共有8組解,故選(A)。
解: 依題意 f(x)=−3(x−2)2+7=−3x2+12x−5⇒ a=12,b=-5,因此a+b=7,故選(D)。
解:
令f(x)=P(x)(x-1)(x+1)+Q(x),其中Q(x)為餘式,
取x2=1⇒f(x)=x105+2x−3=x104×x+2x−3=x+2x−3=3x−3,因此Q(x)=3x-3,故選(C)。
解:
−13≤x≤52⇒(x+13)(x−52)≤0⇒(3x+1)(2x−5)≤0⇒6x2−13x−5≤0⇒a=−13,b=−5⇒a+b=−18故選(B)。
解:
{3x+2−4y=173x+4y−3=10⇒{9⋅3x−4y=173x+1644y=10⇒{3x=94y=64⇒x=2,y=3故選(D)。
解:
4log93+log921−log97=4log93+log93+log97−log97=5log93=5×12=52,故選(A)。
解:
20∑k=1[k(k+3)]=20∑k=1[k2+3k]=20×21×416+3×21×20÷2=2870+630=3500,故選(C)。
解:
前10項的和=(a1+a10)×10÷2=(2+2+(−3)×9)×5=−23×5=−115,故選(B)。
解:
令1元硬幣有a個、5元硬幣有b個、10元硬幣有c個、50元硬幣有d個,此題相當於求
a+5b+10c+50d=100-1-5-10-50=34,其中a, b, c, d皆為大於等於零之整數。
又d一定等於0,即a+5b+10c=34
當c=3時, b=0
當c=2時, b=2,1,0
當c=1時, b=4,3,2,1,0
當c=0時, b=6,5,4,3,2,1,0
共有1+3+5+7=16組解,故選(A)。
解:
此題相當於甲+乙+丙=8,其中甲、乙、丙皆為大於等於0之整數,因此共有H38=C108=45,故選(D)。
解:
(2x2−1x)9=9∑n=0C9n(2x2)n(−1x)9−n=9∑n=0C9n⋅2n⋅x2n⋅(−1)9−n⋅xn−9=9∑n=0C9n⋅2n⋅(−1)9−n⋅x3n−9 當n=3時,x次方為零,其係數為C93⋅23⋅(−1)6=84×8=672,故選(C)。
解:
A={2, 3, 5} B={2, 4, 6} , 積事件=交集,即 A∩B={2},故選(A)。
解:標準差=
√E(X2)−(EX)2=√2008−(328)2=√25−16=3,故選(C)。
解:
sinθ=35⇒cosθ+tanθ=45+34=3120,故選(C)。
解:
△ABE三內角分別為360∘−60∘−90∘,因此¯AE=¯AB×√32=3√32及¯EB=¯AB×12=32。
在直角△AEC中,¯AC2=¯AE2+¯CE2=(3√32)2+(6+32)2=274+2254
= 64 ⇒¯AC=√63=3√7,故選(D)。
(A)7 (B)9 (C)11 (D)13
解:
(x+3)2+(y−4)2=4⇒{x=2cosθ−3y=2sinθ+4⇒x2+y2=(2cosθ−3)2+(2sinθ+4)2=4cos2θ−12cosθ+9+4sin2θ+16sinθ+16=29−12cosθ+16sinθ=29−4(3cosθ+4sinθ)=29−20(35cosθ+45sinθ)=29−20(sinαcosθ+cosαsinθ)=29−20sin(α+θ)最小值為29-20=9,故選(B)。
17. 設t為實數,而→a=(3,5),→b=(1,2),試問|→a+t→b|的最小值為多少?(A)1√5(B)1√3(C)1√2(D)1;
18. 已知|→a|=2,|→b|=5,且→a與→b的夾角為60∘,試問|→a−→b|的值為多少?(A)√13(B)√15(C)√17(C)√19
解:|→a−→b|2=|→a|2+|→b|2−2→a⋅→b=|→a|2+|→b|2−2|→a||→b|cos60°=4+25−2×2×5×12=29−10=19⇒|→a−→b|=√19故選(D)。解:
5×7−6×6=35-36=-1,故選(B)。
20. 已知→a=(1,2,3),→b=(3,4,5),試問由→a與→b所張成的平行四邊形面積為多少?(A)√6(B)2√6(C)3√6(D)4√6
解:A=√|2345|2+|3153|2+|1234|2=√4+16+4=2√6故選(B)。解:
利用柯西不等式:(x2+(√2y)2+(√3z)2)(12+√22+√32)≥(1⋅x+√2y⋅√2+√3z⋅√3)2⇒(x2+2y2+3z2)(1+2+3)≥(x+2y+3z)2⇒4×6≥(x+2y+3z)2⇒√24≥x+2y+3z⇒2√6≥x+2y+3z故選(B)。
解:
兩平行線的向量→u=(2,−3,4)
L1上取一點A=(2,-1,-5)、L2上取一點B=(-1,-3,4),則→AB=(−3,−2,9)
令→v=→u×→AB=(-19,-30,-13),因此平面方程式可為19x+30y+13z=k
以A點代入,可得38-30-65=k,k=-57,故選(D)。
解:
2|1324|+|−1702|−|35−24|=|2648|+|−422−2|=|−2866|故選(A)。
解:A=0⇒k(k−2)−3=0⇒k2−2k−3=0⇒(k-3)(k+1)=0 ⇒ k=3(k=-1不合, k為正實數),故選(C)。
解:
拋物線方程式為(x−2)2=4(y−1)⇒頂點為(2,1),焦距=1⇒準線為 y=1-1=0,故選(A)。
解:
∞∑k=12k−13k=13∞∑k=12k−13k−1=13×11−23=13×3=1故選(B)。
解:
出現1次的機率為 16×56×56×3=75216;
出現2次的機率為 16×16×56×3=15216;
出現3次的機率為 16×16×16×3=1216;
期望值為75216+15216×2+1216×3=108216=12,故選(D)。
解:
二紅二白共有C42=6種排法,每一種都是二白二紅,機率皆為(13)2×(23)2,所以機率為 6×19×49=2481=827,故選(C)。
解:
x=−π4⇒f(x)=2cos(0)+3=5,故選(C)。
解:
lim故選(B)。
貳、多重選擇題
解:
(B) 若a=c 且b=d,則a-c=0=b-d,0沒有大於0,所以不正確
(C)3>1且-1>-3,-3沒有大於-3,所以不正確
(D)-1>-3, 1沒有大於9,所以不正確
故選(AE)。
解:
(B) 若f(x)=2(x-1)+5,則f(x)除以(2x-2)的餘式為5
(D)f(x)的餘式為1次多項式,不是常數
故選(ACE)。
解:
六個相異球取出兩個,共有C^6_2=15種取法
(A)(白, 白), (白,黑)x6,(黑黑)x3,共有10種取去,機率為10/15=2/3
(B)(紅,白)x2, (紅,黑)x3,共有5種取去,機率為5/15=1/3
(C)全部減去(兩球至少有一球是白=(白,白), (白,紅)x2, (白,黑)x6)=1-9/15=2/5
(D)(白,紅)x2, (白,黑)x6,共有8種取去,機率為8/15
(E)(白,白),共有1種取去,機率為1/15
故選(BD)。
解:(A)P\left( A' \right) =1-P(A)=\frac { 7 }{ 10 } \quad \\ (B)P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\Rightarrow \frac { 3 }{ 5 } =\frac { 3 }{ 10 } +\frac { 2 }{ 5 } -P(A\cap B)\\ \Rightarrow P(A\cap B)=\frac { 3 }{ 10 } +\frac { 2 }{ 5 } -\frac { 3 }{ 5 } =\frac { 1 }{ 10 } \\ (C)P(A'\cap B')=1-P(A\cup B)=1-\frac { 3 }{ 5 } =\frac { 2 }{ 5 } \\ (D)P(A'\cup B)=1-P(A)+P(A\cap B)=1-\frac { 3 }{ 10 } +\frac { 1 }{ 10 } =\frac { 4 }{ 5 } \\ (E)P(A\cup B')=1-P(B)+P(A\cap B)=1-\frac { 2 }{ 5 } +\frac { 1 }{ 10 } =\frac { 7 }{ 10 } 故選(ACDE)。
解:(A)C^{ 7 }_{ 2 }=\frac { 7! }{ 2!5! } =C^{ 7 }_{ 5 }\quad (B)C^{ 1 }_{ 1 }-C^{ 2 }_{ 1 }+C^{ 3 }_{ 1 }-C^{ 4 }_{ 1 }+C^{ 5 }_{ 1 }-C^{ 6 }_{ 1 }=1-2+3-4+5-6=-3\\ (C)C^{ 1 }_{ 1 }+C^{ 2 }_{ 1 }+C^{ 3 }_{ 1 }+C^{ 4 }_{ 1 }+C^{ 5 }_{ 1 }+C^{ 6 }_{ 1 }=1+2+3+4+5+6=21\\ (D)C^{ 6 }_{ 0 }-C^{ 6 }_{ 1 }+C^{ 6 }_{ 2 }-C^{ 6 }_{ 3 }+C^{ 6 }_{ 4 }-C^{ 6 }_{ 5 }+C^{ 6 }_{ 6 }={ \left( 1-1 \right) }^{ 6 }=0\\ (E)C^{ 6 }_{ 0 }+C^{ 6 }_{ 1 }+C^{ 6 }_{ 2 }+C^{ 6 }_{ 3 }+C^{ 6 }_{ 4 }+C^{ 6 }_{ 5 }+C^{ 6 }_{ 6 }={ \left( 1+1 \right) }^{ 6 }=64故選(ABD)。
解:
圓C: (x-1)^2+(y+2)^2=3^2\Rightarrow 圓心(1,-2),半徑=3。
圓心到直線的距離小於等於3即表示直線和圓心有交點。(A)\left| \frac { 3-8+40 }{ 5 } \right| =6>3\quad (B)\left| \frac { 3-8+30 }{ 5 } \right| =5>3\\ (C)\left| \frac { 3-8+20 }{ 5 } \right| =3=3\quad (D)\left| \frac { 3-8+10 }{ 5 } \right| =1<3\\ (E)\left| \frac { 3-8 }{ 5 } \right| =1<3故選(CDE)。
解:(A)\sqrt { 3^{ 2 }+4^{ 2 }+5^{ 2 } } =5\sqrt { 2 } \quad (B)z座標=5\\ (C)y座標=4\quad (D)\sqrt { 4^{ 2 }+5^{ 2 } } =\sqrt { 41 } \\ (E)\sqrt { 3^{ 2 }+4^{ 2 } } =5故選(BE)。
解:\begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix}=5\Rightarrow ad-bc=5\\ (A)\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc=5\quad (B)\begin{vmatrix} b & d \\ a & c \end{vmatrix}=bc-ad=-5\\ (C)\begin{vmatrix} 3a & 3c \\ b & d \end{vmatrix}=3\begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix}=15\quad (D)\begin{vmatrix} a+2b & c+2d \\ b & d \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix}=5\\ (E)\begin{vmatrix} a+2b & c+2d \\ b & d \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix}=5故選(BD)。
解:
(A)X=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix},Y=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\Rightarrow XY=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},YX=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}\Rightarrow XY\neq YX\\ (D)X=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix},Y=\begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}\Rightarrow X+Y=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\neq X^{ 2 }+2XY+Y^{ 2 }\\ (E)X=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix},Y=\begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}\Rightarrow X\neq ,Y\neq 0,但XY=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix},故選(BC)。
解:
sin(2x+3)的最小值為-1, 最大值為1,所以f(x)的最小值為-1+4=3、最大值為1+4=5
sin(x)的週期為2\pi \Rightarrow sin(2x)的週期為\pi,故選(AC)。
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