解:
若a=0,則(B)(C)(D)都是0,也都是有理數,故選(A)
解:
√11−√72=√11−6√2=3−√2,因此a=1, b=2-√2b+1a−b=2−√2+1√2−1=2−√2+√2+1=3
故選(C)
解:(A)a+b2=15a+15b30(B)a+2b3=10a+20b30(C)2a+b3=20a+10b30(D)2a+3b5=12a+18b30(B)−(A)=5b−5a30>0⇒(B)>(A)(B)−(C)=10b−10a30>0⇒(B)>(C)(B)−(D)=2b−2a30>0⇒(B)>(D)
故選(B)
解:
令f(x)=ax+b, 由f(0)=2000可知b=2000;又f(5)=5a+2000=2015可知a=3,所以f(x)=3x+2000
(A) f(1)=3+2000=2003
(B) f(2)=6+2000=2006
(C) f(3)=9+2000=2009
(D) f(4)=12+2000=2012
故選(D)
解:
f(x)=−2(x+1)2+7,也就是x=-1時有極大值7。但-1不在1與3之間,因此範圍內的最大值就在f(1)或f(3)。f(1)=-2-4+5=-1、f(3)=-18-12+5=-25,故選(A)
解:
f(2)=64a-16b+4c+4-√3、f(-2)=64a-16b+4c-4-√3,因此f(2)-f(-2)=4-(-4)=8,故選(C)
解:{77x=16308y=32⇒{xlog277=4ylog2308=5⇒{x=4log277y=5log2308⇒4x−5y=log277−log2308=log277308=log214=−2
故選(B)
解:log336+log√3√5+log925−1log1003=(log322+log332)+log35+log35−log3100log33=2log32+2+2log35−2log310=2+2(log3(2×5÷10))=2+2×0=2
故選(D)
解:
log18−100=−100log18=−100(2log3+log2)=−100(0.4771×2+0.301)=−125.52,所以在第126位之後不為0,故選(B)
解:{a1+5d=16a1+11d=112⇒{a1=1772d=−172⇒a24=a1+23d=1772−2372=−672=−112
故選(C)
解:S10=a1+a2+⋯+a10=a1+a1r+a1r2+⋯+a1r9=1+r+r2+⋯+r9=1−r101−r=1−2103=−341
故選(D)
解:a30=a29+2×29=a28+2×28+2×29=a1+2×1+2×2+⋯+2×28+2×29=1+2(1+2+⋯+29)=1+30×29=871
故選(A)
解:
3的倍數有1000/3=333個、5的倍數有1000/5=200個、15的倍數有1000/15=66個
3的倍數或5的倍數有333+200-66=467個。
既不是3的倍數也不是是5的倍數共有1000-467=533個,故選(C)
解:
先求a+2b=9共整數解?(a,b)={(9,0), (7,1), (5,2), (3,3), (1, 4)}
(9,0)代表9個1及0個2,共有1種排列
(7,1)代表7個1及1個2,共有8!7!1!=8種排列
(5,2)代表5個1及2個2,共有7!5!2!=21種排列
(3,3)代表3個1及3個2,共有6!3!3!=20種排列
(1,4)代表1個1及4個2,共有5!1!4!=5種排列
總共有1+8+21+20+5 = 55種排列,故選(A)
解:
大於等於9,有可能是9,10,11,12,即
9=6+3=3+6=5+4=4+5,共4種
10=6+4=4+6=5+5,共3種
11=6+5=5+6,共2種
12=6+6,只有1種
共有4+3+2+1=10種情形,每一種情形的機率都是16×16=136,所以機率為10×136=518,故選(D)
解:
取到甲袋的紅球機率為:13×16=118
取到乙袋的紅球機率為:13×36=318
取到丙袋的紅球機率為:13×46=418
因此取到紅球的機率為三者相加:1+3+418=818=49
故選(B)
解:
三年來人口變為3√1.5×0.9×2.5=3√3.375=1.5倍,平均成長1.5-1=0.5倍,故選(A)
解:
五張卡片任取3張,共有C53=10種情形,也就是每一種情形的機率皆是1/10
10種情形分別是(2,4,6), (2,4,8), (2,4,10), (2,6,8), (2, 6, 10), (2, 8, 10), (4,6,8), (4,6,10),(4,8.10), (6,810),三數總和分別是12, 14, 16, 16, 18, 20, 18, 20, 22, 24。因此期望值為此10數值之總和=180再除以10=18,故選(C)
解:sin2°+sin4°+sin6°+⋯sin360°=(sin2°+sin4°+⋯+sin178°)+sin180°+(sin182°+sin184°+⋯+sin358°)+sin360°=(sin2°+sin4°+⋯+sin178°)+0+(−sin2°−sin4°−⋯−sin178°)+0=0
故選(B)
解:
sin60∘=¯BD¯AB⇒¯BD=8×√32=4√3
三角形面積=¯ACׯBD÷2=10×4√4÷2=20√3
故選(D)
解:
令C座標為(a,b),則{(−4+7+a)/3=1(3+6+b)/3=3⇒{a=0b=0
故選(A)
解:
圓C: (x−5)2+(y+k)2=6k+25+k2=(k+3)2+16⇒最小半徑為4
故選(D)
解:
利用柯西不等式: (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2⇒9×25≥(ac+bd)2
⇒15≥(ac+bd)≥−15,故選(B)
解:|→a+→b|=√37⇒|→a+→b|2=37⇒|→a|2+2→a⋅→b+|→b|2=37⇒16+2→a⋅→b+9=37⇒→a⋅→b=6因此|→a+2→b|2=|→a|2+4→a⋅→b+4|→b|2=16+4×6+4×9=76⇒|→a+2→b|=√76=2√19
故選(C)
解:→a⋅→b×b|b|2=(0+18+32)×(0,3,4)0+32+42=5025(0,3,4)=(0,6,8)故選(B)
解:
只需要看X軸座標
(A)PA=3-1=2,PB=11-3=8, 不符2PA=3PB
(B)PA=5-1=4, PB=11-5=6,也不符
(C)PA=7-1=6, PB=11-7=4,符合2PA=3PB
(D)PA=9-1=8, PB=11-9=2,也不符
故選(C)
解:
平面E1: 2x+4y-4z=2,與E2的距離為5−2√22+42+42=36=12,故選(A)
解:
平面E之法向量為(1,-3,-2),直線L的向量為(1,1/3,1/2),兩者既不垂直也不平行,故選(D)
解:A2−7A=[2015][2015]−7[2015]=[40725]−[140735]=[−1000−10]
故選(C)
解:lim
故選\bbox[red,2pt]{(B)}
解:
(A)及(B)皆可化成分數形式,(C)及(D)皆不行化成分數
\left( E \right) \log { \sqrt [ 3 ]{ 2 } } +\log { \sqrt [ 3 ]{ 5 } } =\frac { 1 }{ 3 } \left( \log { 2 } +\log { 5 } \right) =\frac { 1 }{ 3 } \log { 10 } =\frac { 1 }{ 3 }
故選\bbox[red,2pt]{(ABE)}
解:
將30拆成四個正整數的乘積,即30=1x2x3x5,因此四根分別為1、2、3、5。
(A) 四根之和=1+2+3+5=11
(B) 四根之積=30
(C) -a =四根之和=11⇒a=-11
(D) b=任二根相乘之和=1x2+1x3+1x5+2x3+2x5+3x5 =2+3+5+6+10+15=41
(E) -c=任三根相乘之和=1x2x3+1x2x5+1x3x5+2x3x5 =6+10+15+30=61⇒c=-61
故選\bbox[red,2pt]{(BD)}
解:\left( A \right) f\left( 2015 \right) -f\left( 2005 \right) =2^{ 2015 }-2^{ 2005 }=2^{ 2005 }\left( 2^{ 10 }-1 \right) \\ \qquad f\left( 104 \right) -f\left( 94 \right) =2^{ 104 }-2^{ 94 }=2^{ 94 }\left( 2^{ 10 }-1 \right) \\ \qquad \Rightarrow f\left( 2015 \right) -f\left( 2005 \right) \neq f\left( 104 \right) -f\left( 94 \right) \\ \left( B \right) \frac { f\left( 2015 \right) }{ f\left( 2005 \right) } =\frac { 2^{ 2015 } }{ 2^{ 2005 } } =2^{ 10 }=\frac { 2^{ 104 } }{ 2^{ 94 } } =\frac { f\left( 104 \right) }{ f\left( 94 \right) } \\ \left( C \right) g\left( 2015 \right) -g\left( 2005 \right) =\log _{ 2 }{ 2015 } -\log _{ 2 }{ 2005 } =\log _{ 2 }{ \frac { 2015 }{ 2005 } } \\ \qquad g\left( 104 \right) -g\left( 94 \right) =\log _{ 2 }{ 104 } -\log _{ 2 }{ 94 } =\log _{ 2 }{ \frac { 104 }{ 94 } } \\ \qquad \Rightarrow g\left( 2015 \right) -g\left( 2005 \right) \neq g\left( 104 \right) -g\left( 94 \right) \\ \left( D \right) \frac { g\left( 2015 \right) }{ g\left( 2005 \right) } =\frac { \log _{ 2 }{ 2015 } }{ \log _{ 2 }{ 2005 } } \neq \frac { \log _{ 2 }{ 104 } }{ \log _{ 2 }{ 94 } } =\frac { g\left( 104 \right) }{ g\left( 94 \right) } \\ \left( E \right) x_{ 2 }>x_{ 1 }\Rightarrow \frac { g\left( x_{ 2 } \right) -g\left( x_{ 1 } \right) }{ x_{ 2 }-x_{ 1 } } =\frac { \log _{ 2 }{ x_{ 2 } } -\log _{ 2 }{ x_{ 1 } } }{ x_{ 2 }-x_{ 1 } } >0
故選\bbox[red,2pt]{(BE)}
解:{ \left( { a }_{ n+1 } \right) }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 10 } { \left( { a }_{ n } \right) }^{ 2 }\Rightarrow { a }_{ n+1 }=\frac { 1 }{ \sqrt { 10 } } a_{ n }\\ \Rightarrow \left< a_{ n } \right> 為公比為\frac { 1 }{ \sqrt { 10 } } 的等比數列\\ b_{ n }=\log { a_{ n } } =\log { \left( \frac { 1 }{ \sqrt { 10 } } a_{ n-1 } \right) } =\log { \frac { 1 }{ \sqrt { 10 } } } +\log { a_{ n-1 } } =-\frac { 1 }{ 2 } +b_{ n-1 }\\ \Rightarrow \left< b_{ n } \right> 為公差為-\frac { 1 }{ 2 } 的等差數列
故選\bbox[red,2pt]{(BC)}
解:
令f\left( x,y \right) { =\left( x+y \right) }^{ 10 }=\sum _{ k=0 }^{ 10 }{ C^{ n }_{ k }x^{ k }y^{ 10-k } } ,則
(A) f\left( 1,1 \right) =2^{ 10 }= C^{10 }_{ 0 }+C^{10 }_{ 1 }+\cdots+C^{10 }_{ 10 }
\Rightarrow C^{10 }_{ 1 }+\cdots+C^{10 }_{ 10 }=2^{10}-C^{10 }_{ 0 }=1023...(1)
(B) f\left( 1,-1 \right) =0=C^{10 }_{ 0 }-C^{10 }_{ 1 }+C^{10 }_{ 2 }-\cdots+C^{10 }_{ 10 }
\Rightarrow C^{10 }_{ 1 }-C^{10 }_{ 2 }+C^{10}_3-\cdots-C^{10}_{10}=1...(2)
[式(1)+式(2)]/2 ⇒C^{10 }_{ 1 }+C^{10 }_{ 3}+\cdots+C^{10 }_{ 9 }=(1023+1)\div 2=512
(C) [式(1)-式(2)]/2 ⇒C^{10 }_{ 2 }+C^{10 }_{ 4}+\cdots+C^{10 }_{10 }=(1023-1)\div 2=511
(D)f\left( 1,-1 \right) =0=C^{10 }_{ 0 }-C^{10 }_{ 1 }+C^{10 }_{ 2 }-\cdots+C^{10 }_{ 10 }
(E)C^{ 2 }_{ 2 }+C^{ 3 }_{ 2 }+C^{ 4 }_{ 2 }+\cdots +C^{ 10 }_{ 2 }=\frac { 1\times 0 }{ 2 } +\frac { 2\times 1 }{ 2 } +\frac { 3\times 2 }{ 2 } +\cdots +\frac { 10\times 9 }{ 2 } \\ =\sum _{ k=1 }^{ 10 }{ \frac { k(k-1) }{ 2 } } =\frac { 1 }{ 2 } \sum _{ k=1 }^{ 10 }{ \left( k^{ 2 }-k \right) } =\frac { 1 }{ 2 } \left[ \frac { 10\times 11\times 21 }{ 6 } -\frac { 11\times 10 }{ 2 } \right] \\ =\frac { 1 }{ 2 } \left[ 385-55 \right] =\frac { 1 }{ 2 } \times 330=165
故選\bbox[red,2pt]{(BDE)}
解:
(A) (6+3+5+1+8+4+7+6+5)/9 =45/9=5
(B) \sqrt{(1^1+2^2+0+4^2+3^2+1^2+2^2+1^1+0)\div 9}=\sqrt{\frac{36}{9}}=2
(C)(5+470)/100 = 4.75
(D) 2/100 = 0.02
(E) 依大小順序為 4.71, 4.73, 4.74, 4.75, 4.75, 4.76, 4.76 4.77, 4.78,第5個數為4.75
故選\bbox[red,2pt]{(ACDE)}
解:
圓C: (x-1)^2+(y-2)^2=5^2\Rightarrow 圓心為(1,2),半徑為5。
圓與直線相交兩異點,代表圓心至直線的距離小於半徑,即\left| \frac { 3-8+k }{ \sqrt { 3^{ 2 }+4^{ 2 } } } \right| =\frac { \left| k-5 \right| }{ 5 } <5\Rightarrow \left| k-5 \right| <25\Rightarrow -20<k<30
故選\bbox[red,2pt]{(BCDE)}
解:\begin{cases} \overline { PQ } =\sqrt { 6^{ 2 }+3^{ 2 }+2^{ 2 } } =7 \\ \overline { QR } =\sqrt { 9^{ 2 }+1^{ 2 }+4^{ 2 } } =7\sqrt { 2 } \\ \overline { PR } =\sqrt { 3^{ 2 }+2^{ 2 }+6^{ 2 } } =7 \end{cases}
由邊長可知該三角形為等腰直角,故選\bbox[red,2pt]{(BD)}
解:
(A)P(A\cap B)=0
(B)P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-0=\frac{5}{6}
(C)P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=0
(D)P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=0
(E)P(B|A)=0
故選\bbox[red,2pt]{(BE)}
解:
(A) \sin{\theta}=-\frac{3}{5}
(B) \tan{\theta}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}=\frac{3}{4}
(C) \cot{\theta}=\frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}=\frac{4}{3}
(D)\sec{\theta}=\frac{1}{\cos{\theta}}=\frac{-5}{4}
(E)\csc{\theta}=\frac{1}{\sin{\theta}}=\frac{-5}{3}
故選\bbox[red,2pt]{(CD)}
-- END --
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