106 學年度高級中等以上學校運動成績優良學生 升學輔導甄試學科考試 數學科 試題
解：$$111^3-111^2\times 33+111\times 363-11^3 = 111^3-3\times 111^2\times 11+3\times 111\times 11^2-11^3 \\ = \left(111-11\right)^3=\left(100\right)^3=10^6$$
解：
每排座位數為等差數列，公差為k；\(a_{12}+a_{13}=100\Rightarrow a_1+11k+a_1+12k=100\)，因此\(2a_1+23k=100\)。
F區共有\((2a_1+23k)\times 24\div 2=100\times 12=1200\)個座位
故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)
利用長除法可得$$ f(x)=(x-2)(2x^2-1)-1=(x-2)[(x-2)(2x+4)+7)-1 \\= (x-2)^2(2x+4)+7(x-2)-1
= (x-2)^2(2(x-2)+8)+7(x-2)-1\\=2(x-2)^3+8(x-2)^2+7(x-2)-1\Rightarrow c=7$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(E)}\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)
解：$$\sin { \frac { 7\pi }{ 6 } } =-\sin { \frac { \pi }{ 6 } } =-\frac { 1 }{ 2 } $$
故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)
假設單程距離為a，則平均速率=\(\frac{a+a}{\frac{a}{15}+\frac{a}{10}}=\frac{2}{\frac{5}{30}}=12\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)
解：
原數據的平均數為\(\frac{\mu+236}{100}\)；原數據的標準差為\(\frac{\sigma}{100}\)；
故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)
所圍三角形為滿足三不等式之交集，即x-y-4<0, x+2y-4<0及3x+y-3>0
故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
解：利用正弦定理: $$\frac{\overline{DC}}{\sin{\angle CAD}}=\frac{\overline{AB}}{\sin{\angle ACB}}\Rightarrow \frac{2}{\frac{1}{2}}=\frac{\overline{AB}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\Rightarrow \overline{AB}=2\sqrt{2}$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(E)}\)
解：
若圖形的交會點數為2，即有兩相異實根，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
解：
相關係數大於0代表x越大則y越大，因此r2>r4>0；r5=0；反之若x越大則y越小，代表係數小於0，因此0>r3>r1
故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)
直線與圓相切代表圓心至直線的距離=圓半徑，即(1,3)至直線的距離=5。因此$$\left| \frac { 3+12+k }{ \sqrt { 3^{ 2 }+4^{ 2 } } } \right| =5\Rightarrow \left| 15+k \right| =25\Rightarrow k=10,-30$$由於k為正實數，所以k=-30不合
故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)
解：假設會打籃球也會踢足球共有a人，因此300-(160+130-a)=50，可得a=40
故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)
解：$$\begin{cases} ax+by=7 \\ cx+dy=-1 \end{cases}\Rightarrow \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 7 \\ -1 \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix} -4 & 3 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -4 & 3 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 7 \\ -1 \end{bmatrix}\\ \Rightarrow \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -4 & 3 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 7 \\ -1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -31 \\ 23 \end{bmatrix}\Rightarrow \alpha +\beta =-31+23=-8$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(E)}\)
解：
故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
解：$$f\left( x \right) =g\left( x \right) \left( x^{ 2 }-9 \right) +3x-1\Rightarrow xf\left( x \right) =xg\left( x \right) \left( x^{ 2 }-9 \right) +3x^{ 2 }-x\\ =xg\left( x \right) \left( x+3 \right) \left( x-3 \right) +\left( 3x-10 \right) \left( x+3 \right) +30$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(E)}\)
解：
由拋物線方程式可知(1,0)為焦點坐標，P為頂點(0,0)至焦點的距離最近，即1
故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)
解：$$\sum _{ n=0 }^{ 10 }{ { 2 }^{ n } } =\frac { 1-{ 2 }^{ 11 } }{ 1-2 } ={ 2 }^{ 11 }-1=2048-1=2047$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)
解：$$\frac { \log _{ 3 }{ 6 } -\log _{ 3 }{ 2 } }{ 6-2 } =\frac { \log _{ 3 }{ \frac { 6 }{ 2 } } }{ 4 } =\frac { \log _{ 3 }{ 3 } }{ 4 } =\frac { 1 }{ 4 } $$
故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)
解：$$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=3\Rightarrow \begin{vmatrix} a & b \\ 1-a & 1-b \end{vmatrix}=3\Rightarrow a(1-b)-b(1-a)=3\\ \Rightarrow a-ab-b+ab=3\Rightarrow a-b=3$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
解：
P1 = P{(5,6)}, P2={(5,6),(6,5)}, P3={(6,6)}，P2出現的次數較多，所以機會較大，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)
\(\frac{5!}{3!2!}=10\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(E)}\)
解：
由橢圓方程式可知: a=4, b=3因此c=\(\sqrt{7}\)，三角形周長=2a+2c =\(8+2\sqrt{7}\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)
解：
由於f(-3)=f(1)代表f(x)與x=(-3+1)/2=-1對稱，因此極值發生在x=-1
故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)
解：$${ \left( 2x+y \right) }^{ 10 }=\sum _{ n=0 }^{ 10 }{ C^{ 10 }_{ n }{ \left( 2x \right) }^{ n } } { y }^{ 10-n }\Rightarrow x^{ 3 }y^{ 7 }的係數=C^{ 10 }_{ 3 }2^{ 3 }=\frac { 10! }{ 7!3! } \times 8=960$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
解：$$a_n=a_1+3(n-1)=4+3(n-1)=3n+1=2017\Rightarrow n=672$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)
解：$$\overline{BD}=\sin{\theta}, \overline{OD}=\cos{\theta}\Rightarrow \tan{\angle BCA}= \frac{\overline{BD}}{\overline{CD}}\\ = \frac{\sin{\theta}}{\overline{CO}+\overline{OD}}= \frac{\sin{\theta}}{1+\cos{\theta}}$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)
解：$$\frac { 1-3i }{ a+bi } =1+i\Rightarrow 1-3i=\left( a+bi \right) \left( 1+i \right) =(a-b)+(a+b)i\Rightarrow \begin{cases} a-b=1 \\ a+b=-3 \end{cases}$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(E)}\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)
解：\(\overrightarrow{PQ}=(2-1,1-(-1),-1-1)=(1,2,-2)\)，由於\(\overline{PQ}//平面E的法向量\)，也就是\(\frac{1}{1}=\frac{a}{2}=\frac{b}{-2}\Rightarrow a=2,b=-2\)，又Q在E上，即 2+a-b+c=0，所以2+2+2+c=0, c=-6，a+b+c=2-2-6=-6
故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)
解：
故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
解：
2枚皆為10元的機率為\(\frac{C^2_2}{C^5_2}=\frac{1}{10}\)，期望值為\(20\times \frac{1}{10}=2\)
1枚10元1枚5元的機率為\(\frac{C^2_1C^3_1}{C^5_2}=\frac{6}{10}\)，期望值為\(15\times \frac{6}{10}=9\)
2枚皆為5元的機率為\(\frac{C^3_2}{C^5_2}=\frac{3}{10}\)，期望值為\(10\times \frac{3}{10}=3\)
期望值=2+9+3=14，故選\(\bbox[red,2pt]{(E)}\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(E)}\)
解：
故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)
解：$$g\left( x \right) =f\left( x-\frac { \pi }{ 2 } \right) =\sin { \left( x-\frac { \pi }{ 2 } \right) } =-\sin { \left( \frac { \pi }{ 2 } -x \right) } =-\cos { x } $$
故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)
解：$$\widehat { p } =\frac { 320 }{ 400 } =\frac { 4 }{ 5 } \\ \Rightarrow 2\sqrt { \frac { \widehat { p } \left( 1-\widehat { p } \right) }{ n } } =2\sqrt { \frac { \frac { 4 }{ 5 } \left( 1-\frac { 4 }{ 5 } \right) }{ 400 } } =2\sqrt { \frac { 1 }{ 2500 } } =2\times \frac { 1 }{ 50 } =4\%$$
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