105 學年度高級中等以上學校運動成績優良學生 升學輔導甄試學科考試 數學科 試題
解：
故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)
解：
\(6\times 5\times 4\)=120，故選\(\bbox[red,2pt]{(E)}\)
解：
頂點(-2, 5)\(\Rightarrow y=(x+2)^2+5=x^2+4x+9\Rightarrow t=9\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)
解：$$\begin{cases} -4,a,b成等差 \\ a,b,32成等比 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} b-4=2a \\ b^{ 2 }=32a \end{cases}\Rightarrow b^{ 2 }=16(b-4)\\ \Rightarrow b^{ 2 }-16b+64=0\Rightarrow b=8\Rightarrow 8-4=2a\Rightarrow a=2\Rightarrow a+b=10$$故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)
解：40-(12+10-4)=22，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
解：x=5,4,0,-1，共四個解，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)
解：$${ \left( \frac { 8 }{ 27 } \right) }^{ -\frac { 2 }{ 3 } }\times { \left( 0.25 \right) }^{ -\frac { 5 }{ 2 } }={ \left( { \left( \frac { 2 }{ 3 } \right) }^{ 3 } \right) }^{ -\frac { 2 }{ 3 } }\times { \left( { \left( 0.5 \right) }^{ 2 } \right) }^{ -\frac { 5 }{ 2 } }={ \left( \frac { 2 }{ 3 } \right) }^{ -2 }\times { \left( 0.5 \right) }^{ -5 }\\ ={ \left( \frac { 2 }{ 3 } \right) }^{ -2 }\times { \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ -5 }={ \left( \frac { 3 }{ 2 } \right) }^{ 2 }\times { 2 }^{ 5 }={ 3 }^{ 2 }\times { 2 }^{ 3 }=9\times 8=72$$故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)
解：
令f(x)=\(ax^2+bx-4\)，則f(-1)=3，且f(2)=18，即$$\begin{cases} a-b-4=3 \\ 4a+2b-4=18 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a-b=7 \\ 2a+b=11 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=6 \\ b=-1 \end{cases}\Rightarrow a+b=5$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)
解：圓C:\(x^2+y^2-4x+6y-12=0\Rightarrow (x-2)^2+(y+3)^2=5^2\Rightarrow\) 圓心=(2,-3), 半徑=5；圓心至直線的距離為\(\left|\frac{2+3-9}{\sqrt{1+1}}\right|=2\sqrt{2}\)<半徑，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
解：假設a=1/2，\(y=a^{-x}=2^x\)，圖形為(C)與(E)；又\(1=\log_{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
解：$$\frac { \log _{ 7 }{ 16 } }{ \log _{ 49 }{ 8 } } =\frac { \frac { \log { 16 } }{ \log { 7 } } }{ \frac { \log { 8 } }{ \log { 49 } } } =\frac { \frac { 4\log { 2 } }{ \log { 7 } } }{ \frac { 3\log { 2 } }{ 2\log { 7 } } } =\frac { 8 }{ 3 } $$
故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)
解：每個人的機率都是1/36，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)
解：令f(x)=\(ax^2+bx+c\)，則$$\begin{cases} f\left( 1 \right) =0 \\ f\left( 4 \right) =3 \\ f\left( 5 \right) =8 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a+b+c=0 \\ 16a+4b+c=3 \\ 25a+5b+c=8 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=1 \\ b=-4 \\ c=3 \end{cases}\\ \Rightarrow f\left( 2 \right) =4a+2b+c=4-8+3=-1$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(E)}\)
解：$$\frac { \cos { 120° } +\sin { 270° } }{ \sin { 30° } +\tan { 45° } } =\frac { -\frac { 1 }{ 2 } -1 }{ \frac { 1 }{ 2 } +1 } =-1$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
解：與平均值的距離越大則標準差越大，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)
解：
故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)
解：
由於三點共線，所以(5t-1)+(-t-4)=3，即4t=8，t=2，故選\(\bbox[red,2pt]{(E)}\)
解：$$105+\sqrt{55}\approx 105+7.X\approx 112.X \Rightarrow \sqrt{112.X}\approx 10.Y$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
解：$$\begin{cases} \vec { a } //\vec { b } \\ \vec { c } \bot \vec { d } \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \frac { 3 }{ x } =\frac { 1 }{ y } \\ \vec { c } \cdot \vec { d } =0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=3y \\ 12=xy \end{cases}\Rightarrow { y }^{ 2 }=4\Rightarrow y=2,x=6\Rightarrow x+y=8$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)
解：由於橢圓上任一點至兩焦點距離和為2a，假設P點位於A點之正上方，由P至兩焦點的距離需等於2a,所以焦點應為E，其他點的距離皆遠小於2a，故選\(\bbox[red,2pt]{(E)}\)
解：$$\begin{vmatrix} 2016 & 2012 \\ 2014 & 2010 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 2014 & 2010 \end{vmatrix}=2\left( 2010-2014 \right) =-8$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(E)}\)
解：$$9x^2-4y^2-36x+8y+68=0\Rightarrow 9(x-2)^2-4(y-1)^2+36=0\\\Rightarrow \frac{(y-1)^2}{9}-\frac{(x-2)^2}{4}=1\Rightarrow 貫軸長=2\times 3=6$$，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)
解：將x=1+2i代入，可得\((1+2i)^2-4(1+2i)+a=0\Rightarrow a=7+4i\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)
解：$$\sin { \theta } =\frac { 3 }{ 5 } ,90°<\theta <180°\Rightarrow \cos { \theta } =\frac { -4 }{ 5 } \\ \Rightarrow \sin { 2\theta } =2\sin { \theta } \cos { \theta } =2\times \frac { 3 }{ 5 } \times \frac { -4 }{ 5 } =-\frac { 24 }{ 25 } $$
故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
解：去掉丁後，甲、乙、丙、戊呈現出x越大則y越大，即相關係數較大；故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)
解：$$\begin{cases} \sum _{ k=1 }^{ 5 }{ \left( ak-b \right) =65 } \\ \sum _{ k=1 }^{ 10 }{ \left( ak+b \right) =125 } \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 15a-5b=65 \\ 55a+10b=125 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} 3a-b=15 \\ 11a+2b=25 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=3 \\ b=-4 \end{cases}\Rightarrow a+b=-1$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)
解：$${ \left( 2x-1 \right) }^{ 7 }=\sum _{ n=0 }^{ 7 }{ C^{ 7 }_{ n }(2x)^{ n }(-1)^{ 7-n } } \Rightarrow x^3的係數為C^7_32^3(-1)^4=280$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)
解：$$\begin{cases} \begin{bmatrix} 1 & 0 & n \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{cases} x=n \\ y=1 \end{cases} \\ \begin{bmatrix} 3 & 9 & m \\ 4 & 7 & -1 \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{cases} 3x+9y=m \\ 4x+7y=-1 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 3n+9=m \\ 4n+7=-1 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} m=3 \\ n=-2 \end{cases} \end{cases}\Rightarrow m+n=1$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)
解：
擲出偶數點或奇數點的機率皆為1/2，所以期望值為5+10=15，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
解：
2x+y 經過B點時有最大值 8，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)
解：
A為圓心，半徑為1的圓；B為圓心，半徑為2的圓；
此題相當於求相切此兩圓的切線有幾條？
由於此兩圓相離，無交集，所以有四條切線，如下圖，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)
解：$$a_1=3\\a_2=a_1+3\\a_3=a_2+5\\\cdots\\a_{12}=a_{11}+23\\\Rightarrow a_1+a_2+\cdots+a_{12}=3+(a_1+3)+(a_2+3)+\cdots+(a_{11}+23)\\\Rightarrow a_{12}=3+3+5+\cdots+23=3+(23+3)\times11\div2=146$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)
解：$$\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x & y \\ z & w \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{cases} x+3z=1 \\ y+3w=0 \\ x+2z=0 \\ y+2w=1 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=-2 \\ y=3 \\ z=1 \\ w=-1 \end{cases}$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)
解：
\(\log{6^{50}}=50\log{6}=50(\log{2}+\log{3})=50(0.301+0.4771)=38.9\Rightarrow 6^{50}為39位數\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)
解：
令P點座標為(3-2y, y)，由\(\overline{PA}=\overline{PB}\)可知：$$(2-2y)^2+(y-2)^2=(-2y)^2+(y-4)^2 \Rightarrow 8-12y=-8y+16\Rightarrow y=-2 \Rightarrow x=7$$
本題應該是求 x+y = 5，，故選\(\bbox[red,2pt]{(E)}\)
解：
sinx, tanx, secx 遞增，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
解：
每班派一人後，剩下6個名額由10個班級分配，共有\(H^{10}_{6}=C^{15}_{6}\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(E)}\)
解：
令P=有人擊出安打的機率= 1-(兩人都沒安打) = 1-\(\frac{1}{3}\times\frac{2}{5}=\frac{13}{15}\)
令Q=二人皆擊出安打的機率= \(\frac{2}{3}\times\frac{3}{5}=\frac{2}{5}\)
因此此題之條件機率為P/Q = \(\frac{2}{5} \div \frac{13}{15}=\frac{6}{13}\)
令Q=二人皆擊出安打的機率= \(\frac{2}{3}\times\frac{3}{5}=\frac{2}{5}\)
因此此題之條件機率為P/Q = \(\frac{2}{5} \div \frac{13}{15}=\frac{6}{13}\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
解：
令經過P點，方向向量為\(\vec{a}\)的直線為(t+1, -2t+4, -t+3)，該直線與ZX平面交於 y=0，即-2t+4=0，可得t=2, 交點座標為(3,0,1)，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)
-- END --
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