105學年度高中運動績優生甄試--數學科詳解

105 學年度高級中等以上學校運動成績優良學生 升學輔導甄試學科考試 數學科 試題

解：

入射角等於反射角，即$\angle PFA=\angle TFB$，因此 $$\tan{\theta}=\frac{\overline{PA}}{\overline{AF}}=\frac{\overline{TB}}{\overline{FB}}\Rightarrow   \frac{7}{k-4}=\frac{3}{11-k}\Rightarrow   k=8.9$$

故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

---

解：

$6\times  5\times  4$=120，故選$\bbox[red,2pt]{(E)}$

---

解：

頂點(-2, 5)$\Rightarrow y=(x+2)^2+5=x^2+4x+9\Rightarrow t=9$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

---

解： $$\begin{cases} -4,a,b成等差 \\ a,b,32成等比 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} b-4=2a \\ b^{ 2 }=32a \end{cases}\Rightarrow b^{ 2 }=16(b-4)\\ \Rightarrow b^{ 2 }-16b+64=0\Rightarrow b=8\Rightarrow 8-4=2a\Rightarrow a=2\Rightarrow a+b=10$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

---

解：40-(12+10-4)=22，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

---

解：x=5,4,0,-1，共四個解，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

---

解： $${ \left( \frac { 8 }{ 27 }  \right)  }^{ -\frac { 2 }{ 3 }  }\times { \left( 0.25 \right)  }^{ -\frac { 5 }{ 2 }  }={ \left( { \left( \frac { 2 }{ 3 }  \right)  }^{ 3 } \right)  }^{ -\frac { 2 }{ 3 }  }\times { \left( { \left( 0.5 \right)  }^{ 2 } \right)  }^{ -\frac { 5 }{ 2 }  }={ \left( \frac { 2 }{ 3 }  \right)  }^{ -2 }\times { \left( 0.5 \right)  }^{ -5 }\\ ={ \left( \frac { 2 }{ 3 }  \right)  }^{ -2 }\times { \left( \frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ -5 }={ \left( \frac { 3 }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }\times { 2 }^{ 5 }={ 3 }^{ 2 }\times { 2 }^{ 3 }=9\times 8=72$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

---

解：

令f(x)=$ax^2+bx-4$，則f(-1)=3，且f(2)=18，即 $$\begin{cases} a-b-4=3 \\ 4a+2b-4=18 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a-b=7 \\ 2a+b=11 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=6 \\ b=-1 \end{cases}\Rightarrow a+b=5$$

故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

---

解：圓C:$x^2+y^2-4x+6y-12=0\Rightarrow (x-2)^2+(y+3)^2=5^2\Rightarrow$ 圓心=(2,-3), 半徑=5；圓心至直線的距離為$\left|\frac{2+3-9}{\sqrt{1+1}}\right|=2\sqrt{2}$<半徑，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

---

解：假設a=1/2，$y=a^{-x}=2^x$，圖形為(C)與(E)；又$1=\log_{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

---

解： $$\frac { \log _{ 7 }{ 16 }  }{ \log _{ 49 }{ 8 }  } =\frac { \frac { \log { 16 }  }{ \log { 7 }  }  }{ \frac { \log { 8 }  }{ \log { 49 }  }  } =\frac { \frac { 4\log { 2 }  }{ \log { 7 }  }  }{ \frac { 3\log { 2 }  }{ 2\log { 7 }  }  } =\frac { 8 }{ 3 }$$

故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

---

解：每個人的機率都是1/36，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

---

解：令f(x)=$ax^2+bx+c$，則 $$\begin{cases} f\left( 1 \right) =0 \\ f\left( 4 \right) =3 \\ f\left( 5 \right) =8 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a+b+c=0 \\ 16a+4b+c=3 \\ 25a+5b+c=8 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=1 \\ b=-4 \\ c=3 \end{cases}\\ \Rightarrow f\left( 2 \right) =4a+2b+c=4-8+3=-1$$

故選$\bbox[red,2pt]{(E)}$

---

解： $$\frac { \cos { 120° } +\sin { 270° }  }{ \sin { 30° } +\tan { 45° }  } =\frac { -\frac { 1 }{ 2 } -1 }{ \frac { 1 }{ 2 } +1 } =-1$$

故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

---

解：與平均值的距離越大則標準差越大，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

---

解： $$\left( \frac { 1+5-3 }{ 3 } ,\frac { 2+3+4 }{ 3 } ,\frac { 3+1+2 }{ 3 }  \right) =\left( 1,3,2 \right)$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

---

解：

由餘弦定理可知： $$\begin{cases} c^{ 2 }=\frac { { a }^{ 2 } }{ 4 } +{ \overline { AD }  }^{ 2 }-a\overline { AD } \cos { \theta  }  \\ b^{ 2 }=\frac { { a }^{ 2 } }{ 4 } +{ \overline { AD }  }^{ 2 }-a\overline { AD } \cos { \left( 180°-\theta  \right)  }  \end{cases}\Rightarrow \overline { AD } =\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { 2\left( b^{ 2 }+c^{ 2 } \right) -a^{ 2 } } \\ =\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { 2\left( 2^{ 2 }+3^{ 2 } \right) -4^{ 2 } } =\frac { \sqrt { 10 }  }{ 2 } =\sqrt { \frac { 5 }{ 2 }  }$$

故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

---

解：
由於三點共線，所以(5t-1)+(-t-4)=3，即4t=8，t=2，故選$\bbox[red,2pt]{(E)}$

---

解： $$105+\sqrt{55}\approx 105+7.X\approx 112.X  \Rightarrow   \sqrt{112.X}\approx   10.Y$$

故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

---

解： $$\begin{cases} \vec { a } //\vec { b }  \\ \vec { c } \bot \vec { d }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \frac { 3 }{ x } =\frac { 1 }{ y }  \\ \vec { c } \cdot \vec { d } =0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=3y \\ 12=xy \end{cases}\Rightarrow { y }^{ 2 }=4\Rightarrow y=2,x=6\Rightarrow x+y=8$$

故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

---

解：由於橢圓上任一點至兩焦點距離和為2a，假設P點位於A點之正上方，由P至兩焦點的距離需等於2a,所以焦點應為E，其他點的距離皆遠小於2a，故選$\bbox[red,2pt]{(E)}$

---

解： $$\begin{vmatrix} 2016 & 2012 \\ 2014 & 2010 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 2014 & 2010 \end{vmatrix}=2\left( 2010-2014 \right) =-8$$

故選$\bbox[red,2pt]{(E)}$

---

解： $$9x^2-4y^2-36x+8y+68=0\Rightarrow 9(x-2)^2-4(y-1)^2+36=0\\\Rightarrow \frac{(y-1)^2}{9}-\frac{(x-2)^2}{4}=1\Rightarrow 貫軸長=2\times 3=6$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

---

解：將x=1+2i代入，可得$(1+2i)^2-4(1+2i)+a=0\Rightarrow a=7+4i$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

---

解： $$\sin { \theta  } =\frac { 3 }{ 5 } ,90°<\theta <180°\Rightarrow \cos { \theta  } =\frac { -4 }{ 5 } \\ \Rightarrow \sin { 2\theta  } =2\sin { \theta  } \cos { \theta  } =2\times \frac { 3 }{ 5 } \times \frac { -4 }{ 5 } =-\frac { 24 }{ 25 }$$

故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

---

解：去掉丁後，甲、乙、丙、戊呈現出x越大則y越大，即相關係數較大；故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

---

解： $$\begin{cases} \sum _{ k=1 }^{ 5 }{ \left( ak-b \right) =65 }  \\ \sum _{ k=1 }^{ 10 }{ \left( ak+b \right) =125 }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 15a-5b=65 \\ 55a+10b=125 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} 3a-b=15 \\ 11a+2b=25 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=3 \\ b=-4 \end{cases}\Rightarrow a+b=-1$$

故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

---

解： $${ \left( 2x-1 \right)  }^{ 7 }=\sum _{ n=0 }^{ 7 }{ C^{ 7 }_{ n }(2x)^{ n }(-1)^{ 7-n } } \Rightarrow x^3的係數為C^7_32^3(-1)^4=280$$

故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

---

解： $$\begin{cases} \begin{bmatrix} 1 & 0 & n \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{cases} x=n \\ y=1 \end{cases} \\ \begin{bmatrix} 3 & 9 & m \\ 4 & 7 & -1 \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{cases} 3x+9y=m \\ 4x+7y=-1 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 3n+9=m \\ 4n+7=-1 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} m=3 \\ n=-2 \end{cases} \end{cases}\Rightarrow m+n=1$$

故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

---

解：

擲出偶數點或奇數點的機率皆為1/2，所以期望值為5+10=15，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

---

解：

2x+y 經過B點時有最大值 8，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

---

解：

A為圓心，半徑為1的圓；B為圓心，半徑為2的圓；

此題相當於求相切此兩圓的切線有幾條？

由於此兩圓相離，無交集，所以有四條切線，如下圖，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

---

解： $$a_1=3\\a_2=a_1+3\\a_3=a_2+5\\\cdots\\a_{12}=a_{11}+23\\\Rightarrow a_1+a_2+\cdots+a_{12}=3+(a_1+3)+(a_2+3)+\cdots+(a_{11}+23)\\\Rightarrow a_{12}=3+3+5+\cdots+23=3+(23+3)\times11\div2=146$$

故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

---

解： $$\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x & y \\ z & w \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{cases} x+3z=1 \\ y+3w=0 \\ x+2z=0 \\ y+2w=1 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=-2 \\ y=3 \\ z=1 \\ w=-1 \end{cases}$$

故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

---

解：

$\log{6^{50}}=50\log{6}=50(\log{2}+\log{3})=50(0.301+0.4771)=38.9\Rightarrow 6^{50}為39位數$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

---

解：

令P點座標為(3-2y, y)，由$\overline{PA}=\overline{PB}$可知： $$(2-2y)^2+(y-2)^2=(-2y)^2+(y-4)^2 \Rightarrow 8-12y=-8y+16\Rightarrow y=-2 \Rightarrow x=7$$

本題應該是求 x+y = 5，，故選$\bbox[red,2pt]{(E)}$

---

解：

sinx, tanx, secx 遞增，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

---

解：

每班派一人後，剩下6個名額由10個班級分配，共有$H^{10}_{6}=C^{15}_{6}$，故選$\bbox[red,2pt]{(E)}$

---

解：

令P=有人擊出安打的機率= 1-(兩人都沒安打) = 1-$\frac{1}{3}\times\frac{2}{5}=\frac{13}{15}$
令Q=二人皆擊出安打的機率= $\frac{2}{3}\times\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$
因此此題之條件機率為P/Q = $\frac{2}{5} \div \frac{13}{15}=\frac{6}{13}$

故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

---

解：

令經過P點，方向向量為$\vec{a}$的直線為(t+1, -2t+4, -t+3)，該直線與ZX平面交於 y=0，即-2t+4=0，可得t=2, 交點座標為(3,0,1)，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

---

-- END --