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2018年2月1日 星期四

103學年度高中運動績優生甄試--數學科詳解


103學年度高級中等以上學校運動成績優良學生
升學輔導甄試學科考試--數學科詳解


說明:單選題共 40 題。
1.設\(x,y\)為實數,若\(23^x=27,207^y=81\),則\(\frac{3}{x}-\frac{4}{y}\)=
(A)-3(B)3(C)0(D)- 2(E)2 。


:$$\begin{cases} 23^{ x }=27 \\ 207^{ y }=81 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x\log { 23 } =3\log { 3 }  \\ y\left( \log { 23 } +\log { 9 }  \right) =4\log { 3 }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=\frac { 3\log { 3 }  }{ \log { 23 }  }  \\ y=\frac { 4\log { 3 }  }{ \log { 23 } +2\log { 3 }  }  \end{cases}\\ \Rightarrow \frac { 3 }{ x } -\frac { 4 }{ y } =\frac { \log { 23 }  }{ \log { 3 }  } -\frac { \log { 23 } +2\log { 3 }  }{ \log { 3 }  } =\frac { -2\log { 3 }  }{ \log { 3 }  } =-2$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)

2. 已知\(0^\circ<\theta<45^\circ\),且\(\sin{\theta}+\cos{\theta}=\frac{\sqrt{5}}{2}\),則\(\sin{\theta}\cos{\theta}=\)
(A)1/2  (B)1/4  (C) 1/8 (D) 3/8

:$${ \left( \sin { \theta  } +\cos { \theta  }  \right)  }^{ 2 }=1+2\sin { \theta  } \cos { \theta  } \Rightarrow { \left( \frac { \sqrt { 5 }  }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }=1+2\sin { \theta  } \cos { \theta  } \\ \Rightarrow \sin { \theta  } \cos { \theta  } =\frac { \frac { 5 }{ 4 } -1 }{ 2 } =\frac { 1 }{ 8 } $$
故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)


3. 若將\(\frac{1}{7}\)化成小數,試問小數點後第 2014 位的數字是(A)1(B)2(C)4(D)5(E)8 。


\(\frac{1}{7}\) = 0.142857142857.... 142857循環
2014/6 = 335餘4,所以小數點後第 2014 位的數字是142857的第四個,故選\(\bbox[red,2pt]{(E)}\)


4.   \(\bbox[red,2pt]{送分}\)

5. 已知標準差\(\sigma =\sqrt { \frac { 1 }{ n } \sum _{ i=1 }^{ n }{ { \left( x_{ i }-\mu  \right)  }^{ 2 } }  } \),,試求2,10,10,14,4,8這 6 個數的標準差為(A)1(B)2(C)3(D)4(E)5 。


此6個數的平均值\(\mu=(2+10+10+14+4+4+8)/6=8\)
此6個數與平均值\(\mu\)的距離分別為:   6,2,2,6,4,0,其平方值的和為36+4+4+36+16+0=96
平方值的平均值為96/6=16,所以標準差=\(\sqrt{16}\)=4,故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)


6. 試求\(\sin{47^\circ}\sin{17^\circ}+\cos{47^\circ}\cos{17^\circ}\)=(A)sin64(B)cos64(C)sin30(D)cos30(E)sin32 。


可利用\(\cos{(\alpha-\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}\),因此本題   =\(\cos {(47-17)}=\cos{30}\),故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)


7. 設\(\alpha,\beta\)是\(x^2+6x+1=0\)之二根,則\({\left(\sqrt{\alpha}+\sqrt{\beta}\right)}^2\)=(A)-4 (B)4(C)0(D)8(E)-8 。


由題意可知:\(\alpha+\beta=-6,\alpha\times\beta=1\),因此這二根均為負數,即\(\sqrt{\alpha}及\sqrt{\beta}\)均為虛數。
\({\left(\sqrt{\alpha}+\sqrt{\beta}\right)}^2=\alpha+\beta-2\alpha\times\beta\)=-6-2(兩虛數相乘需加負號)=-8,故選\(\bbox[red,2pt]{(E)}\)


8.   \(\bbox[red,2pt]{送分}\)


9. 若\(\left(2+\sqrt{2}\right)x+\left(1-\sqrt{2}\right)y=1-4\sqrt{2}\),\(x,y\)為有理數,則\(x^2+y^2\)=?
(A)2(B)4(C)6(D)8  (E)10。  
:$$\left( 2+\sqrt { 2 }  \right) x+\left( 1-\sqrt { 2 }  \right) y=\left( 2x+y \right) +\left( x-y \right) \sqrt { 2 } =1-4\sqrt { 2 } \\ \Rightarrow \begin{cases} 2x+y=1 \\ x-y=-4 \end{cases}\Rightarrow x=-1,y=3\Rightarrow x^2+y^2=1+9=10$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(E)}\)


10. 已知a為實數,\(\sqrt{-1}=i\),設\(i\)為\(x^2+ax-i=0\)的一根,則\(a\)=
(A) -2 (B) -1 (C) 0 (D) 1    (E)   2


將\(i\)代入,可得\(-1+ai+1-i=0\Rightarrow   a=1\),故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)


11. 求\({ \left( \cos { 18° } +i\sin { 18° }  \right)  }^{ 10 }\)=
 (A)-1    (B)   0   (C)   i   (D)  -i   (E)   1

:$${ \left( \cos { 18° } +i\sin { 18° }  \right)  }^{ 10 }=\cos { 180° } +i\sin { 180° } =-1$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)


12. 設\(t\)為實數,\(\overrightarrow{a}=(1,0), \overrightarrow{b}=(-2,3)\),試求\(\left|t\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|\)之最小值為(A)1(B)2(C)3(D)4(E)5 。
:$$\left| t\overrightarrow { a } +\overrightarrow { b }  \right| =\left| \left( t,0 \right) +\left( -2,3 \right)  \right| =\left| \left( -2+t,3 \right)  \right| =\sqrt { { \left( -2+t \right)  }^{ 2 }+9 } \ge \sqrt { 9 } =3$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)


13 設\(A(-1,2),B(2,1),C(-3,4)\),試求\(\overrightarrow{AB}\)在\(\overrightarrow{AC}\)方向上的正射影長為(A)2(B)\(\sqrt{2}\)(C)\(2\sqrt{2}\)(D)\(3\sqrt{2}\)(E)\(4\sqrt{2}\)

:令\(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}=(3,-1),\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC} =(-2, 2)\)。
正射影長為\(\frac{|\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{v}|} =\frac{|-6-2|}{|(-2,2)|}=\frac{8}{2\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)

14. 若\(90^\circ<\theta<180^\circ且\cos{\theta}=-\frac{3}{5}\),試求\(\sin{2\theta}\)=
(A)\(\frac{24}{25}\)  (B)\(-\frac{24}{25}\) (C)\(\frac{12}{25}\) (D)\(\frac{13}{25}\) (E)\(-\frac{13}{25}\)

\(90^\circ<\theta<180^\circ且\cos{\theta}=-\frac{3}{5}\Rightarrow \sin{\theta}=\frac{4}{5}\)
因此\(\sin{2\theta}=2\sin{\theta}\cos{\theta}=2\times\frac{4}{5}\times\frac{-3}{5}=-\frac{24}{25}\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)


15. 已知\(A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & -1 \end{bmatrix}\),試求\(A^2+A\)=

\((A)\begin{bmatrix} -4 & 2 \\ -3 & 6 \end{bmatrix}(B)\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}(C)\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}(D)\begin{bmatrix} -4 & -3 \\ 23 & -6 \end{bmatrix}(E)\begin{bmatrix} -4 & 2 \\ -3 & -6 \end{bmatrix}\)

:$$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & -1 \end{bmatrix}\Rightarrow A^{ 2 }+A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & -1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & -1 \end{bmatrix}\\ =\begin{bmatrix} 1-6 & 2-2 \\ -3+3 & -6+1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & -1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -5 & 0 \\ 0 & -5 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & -1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -4 & 2 \\ -3 & -6 \end{bmatrix}$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(E)}\)


16. 求直線\(L: 3x-4y=5\)被圓\(C: x^2+y^2-2x+6y-6=0\)所截出的線段長為
 (A)2 (B) \(\sqrt{2}\) (C) \(2\sqrt{2}\) (D) \(2\sqrt{3}\)  (E)\(4\sqrt{3}\)


圓\(C: x^2+y^2-2x+6y-6=0\Rightarrow (x-1)^2+(y+3)^2=4^2\Rightarrow\)圓心O(1,-3),半徑r=4
圓心至直線L的距離=\(\left|\frac{3+12-5}{\sqrt{3^2+4^2}}\right|=2\),因此截線長度=\(\overline{AB}=2\times\sqrt{4^2-2^2} = 4\sqrt{3}\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(E)}\)


17. 投擲兩粒公正的骰子1 次,則出現點數和為7 的機率為
 (A) 4/36 (B) 5/36 (C) 6/36 (D) 7/36  (E) 8/36


擲兩粒公正的骰子1 次共有36種情形,其中(1,6),(2,5),(3,4),(4,3), (5,2), (6,1)為點數和為7,共有6種情形,因此機率為6/36
故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)


18. 已知方程式\(x+y+z+u=8\) ,試求此方程式的非負整數解有幾組解? (A)55(B)165(C)220(D)330(E)495。


\(H^4_8=C^{11}_8=165\),故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)

19. 甲、乙、丙等6 人排成一列,且甲、乙、丙三人需分離,排列方式有幾種? (A)36(B)72(C)144(D)168(E)240 。


甲○乙○丙○共有3!x3!=6x6=36種排法
○甲○乙○丙也有36種排法
甲○○乙○丙也有36種排法
甲○乙○○丙也有36種排法
共有36x4=144種排法
故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)


20. 求\(1^2+2^2+3^2+4^2+\cdots+29^2+30^2=\) (A)4650(B)4960(C)9455(D)9920(E)216225。

:$$1^{ 2 }+2^{ 2 }+\cdots +30^{ 2 }=\sum _{ k=1 }^{ 30 }{ k^{ 2 } } =\frac { 30\times 31\times 61 }{ 6 } =9455$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)


21. 設x 為正實數,解方程式\(3^{2x-1}-84\times 3^{x-3}+1=0\)(A)x=1 (B)x=2 (C)x=3(D)x=6(E)x=9 。


令\(y=3^x\)則原式為\(\frac{1}{3}y^2-\frac{84}{27}y+1=0\Rightarrow 3y^2-28y+9=0 \Rightarrow y=9\Rightarrow x=2\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)


22. 求\(\tan{0^\circ}\)=(A)0(B)1(C)-1(D)2(E)-2。


\(\tan{0^\circ}=\frac{\sin{0^\circ}}{\cos{0^\circ}}=\frac{0}{1}=0\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)


23.   求函數\(y=\sin { \theta  } -\sqrt { 3 } \cos { \theta  } \)的最大值為
(A)1(B)2(C)3(D)4(E)5 。

:$$\sin { \theta  } -\sqrt { 3 } \cos { \theta  } =2\left( \frac { 1 }{ 2 } \sin { \theta  } -\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } \cos { \theta  }  \right) =4\left( \cos { \alpha  } \sin { \theta  } -\sin { \alpha  } \cos { \theta  }  \right) \\ =2\sin { \left( \theta -\alpha  \right)  } \Rightarrow -2\le \sin { \theta  } -\sqrt { 3 } \cos { \theta  } \le 2$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)


24. 求\(4\left( \cos { 40° } +i\sin { 40° }  \right) \times 3\left( \cos { 50° } +i\sin { 50° }  \right) \)=(A)6(B)12(C)18(D)12i (E)6i 。

:$$4\left( \cos { 40° } +i\sin { 40° }  \right) \times 3\left( \cos { 50° } +i\sin { 50° }  \right) \\ =12\left( \cos { 40° } \cos { 50° } +i\cos { 40° } \sin { 50° } +i\sin { 40° } \cos { 50° } -\sin { 40° } \sin { 50° }  \right) \\ =12\left( \cos { 40° } \cos { 50° } +i\cos { 40° } \sin { 50° } +i\sin { 40° } \cos { 50° } -\cos { 50° } \cos { 40° }  \right) \\ =12\left( i\cos { 40° } \sin { 50° } +i\sin { 40° } \cos { 50° }  \right) =12i\sin { \left( 40°+50° \right)  } =12i$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)


25. 解不等式\(2\log _{ \frac { 1 }{ 3 }  }{ \left( x-1 \right)  } <\log _{ \frac { 1 }{ 3 }  }{ \left( x+1 \right)  } \)的解為
(A)  x>3 (B)x<3   (C)\(\frac{1}{3}<x<3\)   (D)  \(x<\frac{1}{3}\)  (E) \(x>\frac{1}{3}\)

:$$2\log _{ \frac { 1 }{ 3 }  }{ \left( x-1 \right)  } <\log _{ \frac { 1 }{ 3 }  }{ \left( x+1 \right)  } \Rightarrow \frac { 2\log { \left( x-1 \right)  }  }{ -\log { 3 }  } <\frac { \log { \left( x+1 \right)  }  }{ -\log { 3 }  } \Rightarrow \frac { \log { \left( x+1 \right)  }  }{ \log { 3 }  } -\frac { 2\log { \left( x-1 \right)  }  }{ \log { 3 }  } <0\\ \Rightarrow \frac { \log { \left( x+1 \right)  } -2\log { \left( x-1 \right)  }  }{ \log { 3 }  } <0\Rightarrow \log { \left( x+1 \right)  } <2\log { \left( x-1 \right)  } \Rightarrow x+1<{ \left( x-1 \right)  }^{ 2 }\Rightarrow x^{ 2 }-3x>0\\ \Rightarrow x\left( x-3 \right) >0\Rightarrow x>3或x<0(不合,\because x-1>0)$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)

26.   求\(\left( \log _{ 2 }{ 3 } +\log _{ 4 }{ 9 }  \right) \left( \log _{ 3 }{ 4 } +\log _{ 9 }{ 8 }  \right) \)=
(A)0    (B) 1    (C)  3    (D)7   (E) 10
:$$\left( \log _{ 2 }{ 3 } +\log _{ 4 }{ 9 }  \right) \left( \log _{ 3 }{ 4 } +\log _{ 9 }{ 8 }  \right) =\left( \log _{ 2 }{ 3 } +\log _{ 2 }{ 3 }  \right) \left( 2\log _{ 3 }{ 2 } +\frac { 3 }{ 2 } \log _{ 3 }{ 2 }  \right) \\ =2\log _{ 2 }{ 3 } \times \frac { 7 }{ 2 } \log _{ 3 }{ 2 } =7$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)


27. 求\((x^5-3x^3+2x^2-4x-5)\div (x-2)\)的餘式為

(A)-13 (B) -3 (C) 3 (D) 5 (E) 9。


將x=2代入可得\(2^5-3\times 2^3+2\times 2^2-4\times 2-5 = 32-24+8-8-5\)=3
故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)

28. 設\(x\)為正實數,求\(x+\frac{1}{x}\)之最小值為

(A) 1 (B) 2(C) 3 (D) \(\sqrt{2}\) (E)  \(\sqrt{3}\) 

:$$\frac { x+\frac { 1 }{ x }  }{ 2 } \ge \sqrt { x\cdot \frac { 1 }{ x }  } \Rightarrow x+\frac { 1 }{ x } \ge 2$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)

29. 設\(x\)為正實數,且2x+3y=13,求\(x^2+y^2\)之最小值

(A)\(\sqrt{5}\)  (B)\(\sqrt{13}\)  (C)5 (D)9  (E) 13

利用柯西不等式,即\((x^2+y^2)(2^2+3^2)\ge(2x+3y)^2\Rightarrow (x^2+y^2)\times 13\ge 13^2\)
\(Rightarrow x^2+y^2\ge 13\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(E)}\)


30.  求\(2^{2014}\)的個位數為(A)0(B)2(C)4(D)6(E)8 。


\(2^1,2^2,2^3,2^4,2^5\)的個位數分別為2,4,8,6,2,每四個一個循環。
2014/4 = 503 餘 2,因此餘數為一組中的第二個,即4
故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)

31.  \(\bbox[red,2pt]{送分}\)

32.  滿足\(3<\left|x+\frac{1}{2}\right|<10\)的整數\(x\)有多少個?(A)11(B)12(C)13(D)14(E)15 。


x=3,4,5,..., 9 共7個、x=-4,-5,...,-10共7個,合計14個,故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)

33.  已知\(C^n_m=\frac{n!}{m!(n-m)!},n\ge m\),求\(C^{10}_1+C^{10}_2+C^{10}_3+\dots +C^{10}_{10}\)=(A)1022(B)1023(C)1024(D)1025(E)1026。

:$$f\left( x,y \right) ={ \left( x+y \right)  }^{ 10 }=\sum _{ n=0 }^{ 10 }{ C^{ 10 }_{ n }x^{ n }y^{ 10-n } } \Rightarrow f\left( 1,1 \right) =2^{ 10 }=C^{ 10 }_{ 0 }+C^{ 10 }_{ 1 }+C^{ 10 }_{ 2 }\cdots +C^{ 10 }_{ 10 }\\ \Rightarrow C^{ 10 }_{ 1 }+C^{ 10 }_{ 2 }\cdots +C^{ 10 }_{ 10 }=2^{ 10 }-C^{ 10 }_{ 0 }=1024-1=1023$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)

34.  在1 和99 之間插入n 個數,使其成為一等差數列,則n 至少要多少時,才會使整個數列的和超過10000? (A)199(B)299(C)399(D)499(E)599 。


在1 和99 之間插入n 個數表示此數列有n+2個數,其中\(a_1=1,a_{n+2}=99\),數列總和為\(\frac{(1+99)(n+2)}{2}=50(n+2)\)。依題意\(50(n+2)>10000\Rightarrow n+2>200\Rightarrow n>198\)

故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)

35.  若四點A(1,6,2), B(3,5,1), C(4,5,0), D(k,4,2) 共平面,則k= (A)1(B)2(C)3(D)4(E)5 。
\(\overrightarrow{AB}=(2,-1,-1), \overrightarrow{AC}=(3,-1,-2)\Rightarrow \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC} = (1,1,1)\)
因此該平面方程式可寫成\((x-1)+(y-6)+(z-2)=0\),將D點代入可得 k-1-2=0,即k=3,故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)

36.  設a,b 為正整數,且整係數多項式\(f\left( x \right) =x^{ 4 }+ax^{ 3 }-2x^{ 2 }+bx+2\)有一次因式,則a+b=(A)1(B)2(C)3(D)4(E)5 。


由題意可知,其一次因式為x+k,其中k=1,-1,2,-2,有四種可能
x=k=1代入可得 1+a-2+b+2=0,則a+b=-1,不符正整數的要求
x=k=-1代入可得 1-a-2-b+2=0,則a+b=1,不符正整數的要求
x=k=2代入可得 16+8a-8+2b+2=0,則8a+2b=-10,不符正整數的要求
x=k=-2代入可得 16-8a-8-2b+2=0,則8a+2b=10,即4a+b=5, 由於a,b 為正整數,所以a=1,b=1, a+b=2
故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)

37.  解\(\log _{ \frac { 1 }{ 4 }  }{ x } +2\left( \log _{ 16 }{ x^{ 2 } }  \right) -\frac { 3 }{ 2 } =0,x=\)(A)\(2^{-1}\)(B)\(2^{0}\)(C)\(2^{1}\)(D)\(2^{2}\)(E)\(2^{3}\) 。

:$$\log _{ \frac { 1 }{ 4 }  }{ x } +2\left( \log _{ 16 }{ x^{ 2 } }  \right) -\frac { 3 }{ 2 } =0\Rightarrow \frac { -1 }{ 2 } \log _{ 2 }{ x } +\log _{ 2 }{ x } -\frac { 3 }{ 2 } =0\\ \Rightarrow \frac { 1 }{ 2 } \log _{ 2 }{ x } =\frac { 3 }{ 2 } \Rightarrow \log _{ 2 }{ x } =3\Rightarrow x={ 2 }^{ 3 }$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(E)}\)

38.  設\(a,b\)為實數,滿足\(\left| a-b-2 \right| +{ \left( a+2b-5 \right)  }^{ 2 }=0\),求\(a+b\)=(A)1(B)2(C)3(D)4(E)5 。

:$$\left| a-b-2 \right| +{ \left( a+2b-5 \right)  }^{ 2 }=0\Rightarrow \begin{cases} a-b-2=0 \\ a+2b-5=0 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} a=3 \\ b=1 \end{cases}\Rightarrow a+b=4$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)

39.  試求多項式\(f\left( x \right) ={ \left( 3x^{ 4 }-5x^{ 2 }+6x-3 \right)  }^{ 2 }\)除以\(x-1\)的餘式為(A)1(B)2(C)3(D)4(E)5 。


以f(1)=\((3-5+6-3)^2=1\),故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)

40.  設\(i=\sqrt{-1}\),求\(i+i^2+i^3+\dots+i^{97}+i^{98}+i^{100}\)=(A)-1(B)0(C)1(D)i(E)-i 。


\(i+i^2+i^3+i^4=0\),每四個一組的和為0,1~100剛好分成25組,所以總和為0
故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)
題目怪怪,竟然漏印\(i^{99}\)


-- END --

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