103學年度高級中等以上學校運動成績優良學生
升學輔導甄試學科考試--數學科詳解
說明：單選題共 40 題。
1.設\(x,y\)為實數，若\(23^x=27，207^y=81\)，則\(\frac{3}{x}-\frac{4}{y}\)=
（A）-3（B）3（C）0（D）- 2（E）2 。
解：$$\begin{cases} 23^{ x }=27 \\ 207^{ y }=81 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x\log { 23 } =3\log { 3 } \\ y\left( \log { 23 } +\log { 9 } \right) =4\log { 3 } \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=\frac { 3\log { 3 } }{ \log { 23 } } \\ y=\frac { 4\log { 3 } }{ \log { 23 } +2\log { 3 } } \end{cases}\\ \Rightarrow \frac { 3 }{ x } -\frac { 4 }{ y } =\frac { \log { 23 } }{ \log { 3 } } -\frac { \log { 23 } +2\log { 3 } }{ \log { 3 } } =\frac { -2\log { 3 } }{ \log { 3 } } =-2$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)
(A)1/2 (B)1/4 (C) 1/8 (D) 3/8
解：$${ \left( \sin { \theta } +\cos { \theta } \right) }^{ 2 }=1+2\sin { \theta } \cos { \theta } \Rightarrow { \left( \frac { \sqrt { 5 } }{ 2 } \right) }^{ 2 }=1+2\sin { \theta } \cos { \theta } \\ \Rightarrow \sin { \theta } \cos { \theta } =\frac { \frac { 5 }{ 4 } -1 }{ 2 } =\frac { 1 }{ 8 } $$
故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
解：
\(\frac{1}{7}\) = 0.142857142857.... 142857循環
2014/6 = 335餘4，所以小數點後第 2014 位的數字是142857的第四個，故選\(\bbox[red,2pt]{(E)}\)
5. 已知標準差\(\sigma =\sqrt { \frac { 1 }{ n } \sum _{ i=1 }^{ n }{ { \left( x_{ i }-\mu \right) }^{ 2 } } } \)，，試求2,10,10,14,4,8這 6 個數的標準差為（A）1（B）2（C）3（D）4（E）5 。
此6個數的平均值\(\mu=(2+10+10+14+4+4+8)/6=8\)
此6個數與平均值\(\mu\)的距離分別為: 6,2,2,6,4,0，其平方值的和為36+4+4+36+16+0=96
平方值的平均值為96/6=16，所以標準差=\(\sqrt{16}\)=4，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)
6. 試求\(\sin{47^\circ}\sin{17^\circ}+\cos{47^\circ}\cos{17^\circ}\)=（A）sin64（B）cos64（C）sin30（D）cos30（E）sin32 。
可利用\(\cos{(\alpha-\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}\)，因此本題 =\(\cos {(47-17)}=\cos{30}\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)
7. 設\(\alpha,\beta\)是\(x^2+6x+1=0\)之二根，則\({\left(\sqrt{\alpha}+\sqrt{\beta}\right)}^2\)=（A）-4 （B）4（C）0（D）8（E）-8 。
由題意可知：\(\alpha+\beta=-6,\alpha\times\beta=1\)，因此這二根均為負數，即\(\sqrt{\alpha}及\sqrt{\beta}\)均為虛數。
\({\left(\sqrt{\alpha}+\sqrt{\beta}\right)}^2=\alpha+\beta-2\alpha\times\beta\)=-6-2(兩虛數相乘需加負號)=-8，故選\(\bbox[red,2pt]{(E)}\)
9. 若\(\left(2+\sqrt{2}\right)x+\left(1-\sqrt{2}\right)y=1-4\sqrt{2}\)，\(x,y\)為有理數，則\(x^2+y^2\)=？
（A）2（B）4（C）6（D）8 （E）10。
解：$$\left( 2+\sqrt { 2 } \right) x+\left( 1-\sqrt { 2 } \right) y=\left( 2x+y \right) +\left( x-y \right) \sqrt { 2 } =1-4\sqrt { 2 } \\ \Rightarrow \begin{cases} 2x+y=1 \\ x-y=-4 \end{cases}\Rightarrow x=-1,y=3\Rightarrow x^2+y^2=1+9=10$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(E)}\)
10. 已知a為實數，\(\sqrt{-1}=i\)，設\(i\)為\(x^2+ax-i=0\)的一根，則\(a\)=
(A) -2 (B) -1 (C) 0 (D) 1 (E) 2
將\(i\)代入，可得\(-1+ai+1-i=0\Rightarrow a=1\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)
(A)-1 (B) 0 (C) i (D) -i (E) 1
解：$${ \left( \cos { 18° } +i\sin { 18° } \right) }^{ 10 }=\cos { 180° } +i\sin { 180° } =-1$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)
解：$$\left| t\overrightarrow { a } +\overrightarrow { b } \right| =\left| \left( t,0 \right) +\left( -2,3 \right) \right| =\left| \left( -2+t,3 \right) \right| =\sqrt { { \left( -2+t \right) }^{ 2 }+9 } \ge \sqrt { 9 } =3$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
正射影長為\(\frac{|\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{v}|} =\frac{|-6-2|}{|(-2,2)|}=\frac{8}{2\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
14. 若\(90^\circ<\theta<180^\circ且\cos{\theta}=-\frac{3}{5}\)，試求\(\sin{2\theta}\)=
(A)\(\frac{24}{25}\) (B)\(-\frac{24}{25}\) (C)\(\frac{12}{25}\) (D)\(\frac{13}{25}\) (E)\(-\frac{13}{25}\)
解：
\(90^\circ<\theta<180^\circ且\cos{\theta}=-\frac{3}{5}\Rightarrow \sin{\theta}=\frac{4}{5}\)，因此\(\sin{2\theta}=2\sin{\theta}\cos{\theta}=2\times\frac{4}{5}\times\frac{-3}{5}=-\frac{24}{25}\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)
\((A)\begin{bmatrix} -4 & 2 \\ -3 & 6 \end{bmatrix}(B)\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}(C)\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}(D)\begin{bmatrix} -4 & -3 \\ 23 & -6 \end{bmatrix}(E)\begin{bmatrix} -4 & 2 \\ -3 & -6 \end{bmatrix}\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(E)}\)
(A)2 (B) \(\sqrt{2}\) (C) \(2\sqrt{2}\) (D) \(2\sqrt{3}\) (E)\(4\sqrt{3}\)
解：
圓\(C: x^2+y^2-2x+6y-6=0\Rightarrow (x-1)^2+(y+3)^2=4^2\Rightarrow\)圓心O(1,-3)，半徑r=4
圓心至直線L的距離=\(\left|\frac{3+12-5}{\sqrt{3^2+4^2}}\right|=2\)，因此截線長度=\(\overline{AB}=2\times\sqrt{4^2-2^2} = 4\sqrt{3}\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(E)}\)
17. 投擲兩粒公正的骰子1 次，則出現點數和為7 的機率為
(A) 4/36 (B) 5/36 (C) 6/36 (D) 7/36 (E) 8/36
解：
擲兩粒公正的骰子1 次共有36種情形，其中(1,6),(2,5),(3,4),(4,3), (5,2), (6,1)為點數和為7，共有6種情形，因此機率為6/36
故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
\(H^4_8=C^{11}_8=165\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)
19. 甲、乙、丙等6 人排成一列，且甲、乙、丙三人需分離，排列方式有幾種? （A）36（B）72（C）144（D）168（E）240 。
甲○乙○丙○共有3!x3!=6x6=36種排法
○甲○乙○丙也有36種排法
甲○○乙○丙也有36種排法
甲○乙○○丙也有36種排法
共有36x4=144種排法
故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
令\(y=3^x\)則原式為\(\frac{1}{3}y^2-\frac{84}{27}y+1=0\Rightarrow 3y^2-28y+9=0 \Rightarrow y=9\Rightarrow x=2\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)
（A）1（B）2（C）3（D）4（E）5 。
解：$$\sin { \theta } -\sqrt { 3 } \cos { \theta } =2\left( \frac { 1 }{ 2 } \sin { \theta } -\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \cos { \theta } \right) =4\left( \cos { \alpha } \sin { \theta } -\sin { \alpha } \cos { \theta } \right) \\ =2\sin { \left( \theta -\alpha \right) } \Rightarrow -2\le \sin { \theta } -\sqrt { 3 } \cos { \theta } \le 2$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)
(A) x>3 (B)x<3 (C)\(\frac{1}{3}<x<3\) (D) \(x<\frac{1}{3}\) (E) \(x>\frac{1}{3}\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)
(A)0 (B) 1 (C) 3 (D)7 (E) 10
解：$$\left( \log _{ 2 }{ 3 } +\log _{ 4 }{ 9 } \right) \left( \log _{ 3 }{ 4 } +\log _{ 9 }{ 8 } \right) =\left( \log _{ 2 }{ 3 } +\log _{ 2 }{ 3 } \right) \left( 2\log _{ 3 }{ 2 } +\frac { 3 }{ 2 } \log _{ 3 }{ 2 } \right) \\ =2\log _{ 2 }{ 3 } \times \frac { 7 }{ 2 } \log _{ 3 }{ 2 } =7$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)
(A)-13 (B) -3 (C) 3 (D) 5 (E) 9。
解：
將x=2代入可得\(2^5-3\times 2^3+2\times 2^2-4\times 2-5 = 32-24+8-8-5\)=3
故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
28. 設\(x\)為正實數，求\(x+\frac{1}{x}\)之最小值為
(A) 1 (B) 2(C) 3 (D) \(\sqrt{2}\) (E) \(\sqrt{3}\)
解：$$\frac { x+\frac { 1 }{ x } }{ 2 } \ge \sqrt { x\cdot \frac { 1 }{ x } } \Rightarrow x+\frac { 1 }{ x } \ge 2$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)
(A)\(\sqrt{5}\) (B)\(\sqrt{13}\) (C)5 (D)9 (E) 13
解：\(Rightarrow x^2+y^2\ge 13\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(E)}\)
2014/4 = 503 餘 2，因此餘數為一組中的第二個，即4
故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
31. \(\bbox[red,2pt]{送分}\)
32. 滿足\(3<\left|x+\frac{1}{2}\right|<10\)的整數\(x\)有多少個?（A）11（B）12（C）13（D）14（E）15 。
x=3,4,5,..., 9 共7個、x=-4,-5,...,-10共7個，合計14個，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)
33. 已知\(C^n_m=\frac{n!}{m!(n-m)!},n\ge m\)，求\(C^{10}_1+C^{10}_2+C^{10}_3+\dots +C^{10}_{10}\)=（A）1022（B）1023（C）1024（D）1025（E）1026。
故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)
34. 在1 和99 之間插入n 個數，使其成為一等差數列，則n 至少要多少時，才會使整個數列的和超過10000? （A）199（B）299（C）399（D）499（E）599 。
故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)
35. 若四點A(1,6,2), B(3,5,1), C(4,5,0), D(k,4,2) 共平面，則k= （A）1（B）2（C）3（D）4（E）5 。
解：
因此該平面方程式可寫成\((x-1)+(y-6)+(z-2)=0\)，將D點代入可得 k-1-2=0，即k=3，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
36. 設a,b 為正整數，且整係數多項式\(f\left( x \right) =x^{ 4 }+ax^{ 3 }-2x^{ 2 }+bx+2\)有一次因式，則a+b=（A）1（B）2（C）3（D）4（E）5 。
x=k=1代入可得 1+a-2+b+2=0，則a+b=-1，不符正整數的要求
x=k=-1代入可得 1-a-2-b+2=0，則a+b=1，不符正整數的要求
x=k=2代入可得 16+8a-8+2b+2=0，則8a+2b=-10，不符正整數的要求
x=k=-2代入可得 16-8a-8-2b+2=0，則8a+2b=10，即4a+b=5, 由於a,b 為正整數，所以a=1,b=1, a+b=2
故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)
37. 解\(\log _{ \frac { 1 }{ 4 } }{ x } +2\left( \log _{ 16 }{ x^{ 2 } } \right) -\frac { 3 }{ 2 } =0，x=\)（A）\(2^{-1}\)（B）\(2^{0}\)（C）\(2^{1}\)（D）\(2^{2}\)（E）\(2^{3}\) 。
故選\(\bbox[red,2pt]{(E)}\)
38. 設\(a,b\)為實數，滿足\(\left| a-b-2 \right| +{ \left( a+2b-5 \right) }^{ 2 }=0\)，求\(a+b\)=（A）1（B）2（C）3（D）4（E）5 。
故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)
39. 試求多項式\(f\left( x \right) ={ \left( 3x^{ 4 }-5x^{ 2 }+6x-3 \right) }^{ 2 }\)除以\(x-1\)的餘式為（A）1（B）2（C）3（D）4（E）5 。
40. 設\(i=\sqrt{-1}\)，求\(i+i^2+i^3+\dots+i^{97}+i^{98}+i^{100}\)=（A）-1（B）0（C）1（D）i（E）-i 。
故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)
題目怪怪，竟然漏印\(i^{99}\)
題目怪怪，竟然漏印\(i^{99}\)
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