103學年度高中運動績優生甄試--數學科詳解

103學年度高級中等以上學校運動成績優良學生
升學輔導甄試學科考試--數學科詳解

說明：單選題共 40 題。
1.設$x,y$為實數，若$23^x=27，207^y=81$，則$\frac{3}{x}-\frac{4}{y}$=
（A）-3（B）3（C）0（D）- 2（E）2 。


解： $$\begin{cases} 23^{ x }=27 \\ 207^{ y }=81 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x\log { 23 } =3\log { 3 }  \\ y\left( \log { 23 } +\log { 9 }  \right) =4\log { 3 }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=\frac { 3\log { 3 }  }{ \log { 23 }  }  \\ y=\frac { 4\log { 3 }  }{ \log { 23 } +2\log { 3 }  }  \end{cases}\\ \Rightarrow \frac { 3 }{ x } -\frac { 4 }{ y } =\frac { \log { 23 }  }{ \log { 3 }  } -\frac { \log { 23 } +2\log { 3 }  }{ \log { 3 }  } =\frac { -2\log { 3 }  }{ \log { 3 }  } =-2$$

故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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2. 已知$0^\circ<\theta<45^\circ$，且$\sin{\theta}+\cos{\theta}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，則$\sin{\theta}\cos{\theta}=$

(A)1/2  (B)1/4  (C) 1/8 (D) 3/8

解： $${ \left( \sin { \theta  } +\cos { \theta  }  \right)  }^{ 2 }=1+2\sin { \theta  } \cos { \theta  } \Rightarrow { \left( \frac { \sqrt { 5 }  }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }=1+2\sin { \theta  } \cos { \theta  } \\ \Rightarrow \sin { \theta  } \cos { \theta  } =\frac { \frac { 5 }{ 4 } -1 }{ 2 } =\frac { 1 }{ 8 }$$

故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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3. 若將$\frac{1}{7}$化成小數，試問小數點後第 2014 位的數字是（A）1（B）2（C）4（D）5（E）8 。

解：
$\frac{1}{7}$ = 0.142857142857.... 142857循環
2014/6 = 335餘4，所以小數點後第 2014 位的數字是142857的第四個，故選$\bbox[red,2pt]{(E)}$

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4.   $\bbox[red,2pt]{送分}$

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5. 已知標準差$\sigma =\sqrt { \frac { 1 }{ n } \sum _{ i=1 }^{ n }{ { \left( x_{ i }-\mu  \right)  }^{ 2 } }  }$，，試求2,10,10,14,4,8這 6 個數的標準差為（A）1（B）2（C）3（D）4（E）5 。

解：
此6個數的平均值$\mu=(2+10+10+14+4+4+8)/6=8$
此6個數與平均值$\mu$的距離分別為:   6,2,2,6,4,0，其平方值的和為36+4+4+36+16+0=96
平方值的平均值為96/6=16，所以標準差=$\sqrt{16}$=4，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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6. 試求$\sin{47^\circ}\sin{17^\circ}+\cos{47^\circ}\cos{17^\circ}$=（A）sin64（B）cos64（C）sin30（D）cos30（E）sin32 。

解：
可利用$\cos{(\alpha-\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}$，因此本題   =$\cos {(47-17)}=\cos{30}$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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7. 設$\alpha,\beta$是$x^2+6x+1=0$之二根，則${\left(\sqrt{\alpha}+\sqrt{\beta}\right)}^2$=（A）-4 （B）4（C）0（D）8（E）-8 。

解：
由題意可知：$\alpha+\beta=-6,\alpha\times\beta=1$，因此這二根均為負數，即$\sqrt{\alpha}及\sqrt{\beta}$均為虛數。
${\left(\sqrt{\alpha}+\sqrt{\beta}\right)}^2=\alpha+\beta-2\alpha\times\beta$=-6-2(兩虛數相乘需加負號)=-8，故選$\bbox[red,2pt]{(E)}$

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8.   $\bbox[red,2pt]{送分}$

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9. 若$\left(2+\sqrt{2}\right)x+\left(1-\sqrt{2}\right)y=1-4\sqrt{2}$，$x,y$為有理數，則$x^2+y^2$=？

（A）2（B）4（C）6（D）8  （E）10。  

解： $$\left( 2+\sqrt { 2 }  \right) x+\left( 1-\sqrt { 2 }  \right) y=\left( 2x+y \right) +\left( x-y \right) \sqrt { 2 } =1-4\sqrt { 2 } \\ \Rightarrow \begin{cases} 2x+y=1 \\ x-y=-4 \end{cases}\Rightarrow x=-1,y=3\Rightarrow x^2+y^2=1+9=10$$

故選$\bbox[red,2pt]{(E)}$

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10. 已知a為實數，$\sqrt{-1}=i$，設$i$為$x^2+ax-i=0$的一根，則$a$=

(A) -2 (B) -1 (C) 0 (D) 1    (E)   2

解：
將$i$代入，可得$-1+ai+1-i=0\Rightarrow   a=1$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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11. 求${ \left( \cos { 18° } +i\sin { 18° }  \right)  }^{ 10 }$=
 (A)-1    (B)   0   (C)   i   (D)  -i   (E)   1

解： $${ \left( \cos { 18° } +i\sin { 18° }  \right)  }^{ 10 }=\cos { 180° } +i\sin { 180° } =-1$$

故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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12. 設$t$為實數，$\overrightarrow{a}=(1,0), \overrightarrow{b}=(-2,3)$，試求$\left|t\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|$之最小值為（A）1（B）2（C）3（D）4（E）5 。

解： $$\left| t\overrightarrow { a } +\overrightarrow { b }  \right| =\left| \left( t,0 \right) +\left( -2,3 \right)  \right| =\left| \left( -2+t,3 \right)  \right| =\sqrt { { \left( -2+t \right)  }^{ 2 }+9 } \ge \sqrt { 9 } =3$$

故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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13 設$A(-1,2),B(2,1),C(-3,4)$，試求$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{AC}$方向上的正射影長為（A）2（B）$\sqrt{2}$（C）$2\sqrt{2}$（D）$3\sqrt{2}$（E）$4\sqrt{2}$

解：令$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}=(3,-1),\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC} =(-2, 2)$。
正射影長為$\frac{|\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{v}|} =\frac{|-6-2|}{|(-2,2)|}=\frac{8}{2\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$

故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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14. 若$90^\circ<\theta<180^\circ且\cos{\theta}=-\frac{3}{5}$，試求$\sin{2\theta}$=
(A)$\frac{24}{25}$  (B)$-\frac{24}{25}$ (C)$\frac{12}{25}$ (D)$\frac{13}{25}$ (E)$-\frac{13}{25}$

解：

$90^\circ<\theta<180^\circ且\cos{\theta}=-\frac{3}{5}\Rightarrow \sin{\theta}=\frac{4}{5}$，
因此$\sin{2\theta}=2\sin{\theta}\cos{\theta}=2\times\frac{4}{5}\times\frac{-3}{5}=-\frac{24}{25}$
故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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15. 已知$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & -1 \end{bmatrix}$，試求$A^2+A$=

$(A)\begin{bmatrix} -4 & 2 \\ -3 & 6 \end{bmatrix}(B)\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}(C)\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}(D)\begin{bmatrix} -4 & -3 \\ 23 & -6 \end{bmatrix}(E)\begin{bmatrix} -4 & 2 \\ -3 & -6 \end{bmatrix}$

解： $$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & -1 \end{bmatrix}\Rightarrow A^{ 2 }+A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & -1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & -1 \end{bmatrix}\\ =\begin{bmatrix} 1-6 & 2-2 \\ -3+3 & -6+1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & -1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -5 & 0 \\ 0 & -5 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & -1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -4 & 2 \\ -3 & -6 \end{bmatrix}$$

故選$\bbox[red,2pt]{(E)}$

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16. 求直線$L: 3x-4y=5$被圓$C: x^2+y^2-2x+6y-6=0$所截出的線段長為

 (A)2 (B) $\sqrt{2}$ (C) $2\sqrt{2}$ (D) $2\sqrt{3}$  (E)$4\sqrt{3}$

解：

圓$C: x^2+y^2-2x+6y-6=0\Rightarrow (x-1)^2+(y+3)^2=4^2\Rightarrow$圓心O(1,-3)，半徑r=4
圓心至直線L的距離=$\left|\frac{3+12-5}{\sqrt{3^2+4^2}}\right|=2$，因此截線長度=$\overline{AB}=2\times\sqrt{4^2-2^2} = 4\sqrt{3}$

故選$\bbox[red,2pt]{(E)}$

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17. 投擲兩粒公正的骰子1 次，則出現點數和為7 的機率為

 (A) 4/36 (B) 5/36 (C) 6/36 (D) 7/36  (E) 8/36

解：
擲兩粒公正的骰子1 次共有36種情形，其中(1,6),(2,5),(3,4),(4,3), (5,2), (6,1)為點數和為7，共有6種情形，因此機率為6/36

故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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18. 已知方程式$x+y+z+u=8$ ，試求此方程式的非負整數解有幾組解? （A）55（B）165（C）220（D）330（E）495。

解：

$H^4_8=C^{11}_8=165$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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19. 甲、乙、丙等6 人排成一列，且甲、乙、丙三人需分離，排列方式有幾種? （A）36（B）72（C）144（D）168（E）240 。

解：
甲○乙○丙○共有3!x3!=6x6=36種排法
○甲○乙○丙也有36種排法
甲○○乙○丙也有36種排法
甲○乙○○丙也有36種排法
共有36x4=144種排法

故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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20. 求$1^2+2^2+3^2+4^2+\cdots+29^2+30^2=$ （A）4650（B）4960（C）9455（D）9920（E）216225。

解： $$1^{ 2 }+2^{ 2 }+\cdots +30^{ 2 }=\sum _{ k=1 }^{ 30 }{ k^{ 2 } } =\frac { 30\times 31\times 61 }{ 6 } =9455$$

故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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21. 設x 為正實數，解方程式$3^{2x-1}-84\times 3^{x-3}+1=0$（A）x=1 （B）x=2 （C）x=3（D）x=6（E）x=9 。

解：
令$y=3^x$則原式為$\frac{1}{3}y^2-\frac{84}{27}y+1=0\Rightarrow 3y^2-28y+9=0 \Rightarrow y=9\Rightarrow x=2$

故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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22. 求$\tan{0^\circ}$=（A）0（B）1（C）-1（D）2（E）-2。

解：

$\tan{0^\circ}=\frac{\sin{0^\circ}}{\cos{0^\circ}}=\frac{0}{1}=0$
故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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23.   求函數$y=\sin { \theta  } -\sqrt { 3 } \cos { \theta  }$的最大值為

（A）1（B）2（C）3（D）4（E）5 。

解： $$\sin { \theta  } -\sqrt { 3 } \cos { \theta  } =2\left( \frac { 1 }{ 2 } \sin { \theta  } -\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } \cos { \theta  }  \right) =4\left( \cos { \alpha  } \sin { \theta  } -\sin { \alpha  } \cos { \theta  }  \right) \\ =2\sin { \left( \theta -\alpha  \right)  } \Rightarrow -2\le \sin { \theta  } -\sqrt { 3 } \cos { \theta  } \le 2$$

故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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24. 求$4\left( \cos { 40° } +i\sin { 40° }  \right) \times 3\left( \cos { 50° } +i\sin { 50° }  \right)$=（A）6（B）12（C）18（D）12i （E）6i 。

解： $$4\left( \cos { 40° } +i\sin { 40° }  \right) \times 3\left( \cos { 50° } +i\sin { 50° }  \right) \\ =12\left( \cos { 40° } \cos { 50° } +i\cos { 40° } \sin { 50° } +i\sin { 40° } \cos { 50° } -\sin { 40° } \sin { 50° }  \right) \\ =12\left( \cos { 40° } \cos { 50° } +i\cos { 40° } \sin { 50° } +i\sin { 40° } \cos { 50° } -\cos { 50° } \cos { 40° }  \right) \\ =12\left( i\cos { 40° } \sin { 50° } +i\sin { 40° } \cos { 50° }  \right) =12i\sin { \left( 40°+50° \right)  } =12i$$

故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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25. 解不等式$2\log _{ \frac { 1 }{ 3 }  }{ \left( x-1 \right)  } <\log _{ \frac { 1 }{ 3 }  }{ \left( x+1 \right)  }$的解為

(A)  x>3 (B)x<3   (C)$\frac{1}{3}<x<3$   (D)  $x<\frac{1}{3}$  (E) $x>\frac{1}{3}$

解： $$2\log _{ \frac { 1 }{ 3 }  }{ \left( x-1 \right)  } <\log _{ \frac { 1 }{ 3 }  }{ \left( x+1 \right)  } \Rightarrow \frac { 2\log { \left( x-1 \right)  }  }{ -\log { 3 }  } <\frac { \log { \left( x+1 \right)  }  }{ -\log { 3 }  } \Rightarrow \frac { \log { \left( x+1 \right)  }  }{ \log { 3 }  } -\frac { 2\log { \left( x-1 \right)  }  }{ \log { 3 }  } <0\\ \Rightarrow \frac { \log { \left( x+1 \right)  } -2\log { \left( x-1 \right)  }  }{ \log { 3 }  } <0\Rightarrow \log { \left( x+1 \right)  } <2\log { \left( x-1 \right)  } \Rightarrow x+1<{ \left( x-1 \right)  }^{ 2 }\Rightarrow x^{ 2 }-3x>0\\ \Rightarrow x\left( x-3 \right) >0\Rightarrow x>3或x<0(不合,\because x-1>0)$$

故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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26.   求$\left( \log _{ 2 }{ 3 } +\log _{ 4 }{ 9 }  \right) \left( \log _{ 3 }{ 4 } +\log _{ 9 }{ 8 }  \right)$=

(A)0    (B) 1    (C)  3    (D)7   (E) 10

解： $$\left( \log _{ 2 }{ 3 } +\log _{ 4 }{ 9 }  \right) \left( \log _{ 3 }{ 4 } +\log _{ 9 }{ 8 }  \right) =\left( \log _{ 2 }{ 3 } +\log _{ 2 }{ 3 }  \right) \left( 2\log _{ 3 }{ 2 } +\frac { 3 }{ 2 } \log _{ 3 }{ 2 }  \right) \\ =2\log _{ 2 }{ 3 } \times \frac { 7 }{ 2 } \log _{ 3 }{ 2 } =7$$

故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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27. 求$(x^5-3x^3+2x^2-4x-5)\div (x-2)$的餘式為

(A)-13 (B) -3 (C) 3 (D) 5 (E) 9。

解：

將x=2代入可得$2^5-3\times 2^3+2\times 2^2-4\times 2-5 = 32-24+8-8-5$=3
故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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28. 設$x$為正實數，求$x+\frac{1}{x}$之最小值為

(A) 1 (B) 2(C) 3 (D) $\sqrt{2}$ (E)  $\sqrt{3}$ 

解： $$\frac { x+\frac { 1 }{ x }  }{ 2 } \ge \sqrt { x\cdot \frac { 1 }{ x }  } \Rightarrow x+\frac { 1 }{ x } \ge 2$$

故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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29. 設$x$為正實數，且2x+3y=13，求$x^2+y^2$之最小值

(A)$\sqrt{5}$  (B)$\sqrt{13}$  (C)5 (D)9  (E) 13

解：

利用柯西不等式，即$(x^2+y^2)(2^2+3^2)\ge(2x+3y)^2\Rightarrow (x^2+y^2)\times 13\ge 13^2$
$Rightarrow x^2+y^2\ge 13$

故選$\bbox[red,2pt]{(E)}$

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30.  求$2^{2014}$的個位數為（A）0（B）2（C）4（D）6（E）8 。

解：

$2^1,2^2,2^3,2^4,2^5$的個位數分別為2,4,8,6,2，每四個一個循環。
2014/4 = 503 餘 2，因此餘數為一組中的第二個，即4

故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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31.  $\bbox[red,2pt]{送分}$

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32.  滿足$3<\left|x+\frac{1}{2}\right|<10$的整數$x$有多少個?（A）11（B）12（C）13（D）14（E）15 。

解：

x=3,4,5,..., 9 共7個、x=-4,-5,...,-10共7個，合計14個，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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33.  已知$C^n_m=\frac{n!}{m!(n-m)!},n\ge m$，求$C^{10}_1+C^{10}_2+C^{10}_3+\dots +C^{10}_{10}$=（A）1022（B）1023（C）1024（D）1025（E）1026。

解： $$f\left( x,y \right) ={ \left( x+y \right)  }^{ 10 }=\sum _{ n=0 }^{ 10 }{ C^{ 10 }_{ n }x^{ n }y^{ 10-n } } \Rightarrow f\left( 1,1 \right) =2^{ 10 }=C^{ 10 }_{ 0 }+C^{ 10 }_{ 1 }+C^{ 10 }_{ 2 }\cdots +C^{ 10 }_{ 10 }\\ \Rightarrow C^{ 10 }_{ 1 }+C^{ 10 }_{ 2 }\cdots +C^{ 10 }_{ 10 }=2^{ 10 }-C^{ 10 }_{ 0 }=1024-1=1023$$

故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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34.  在1 和99 之間插入n 個數，使其成為一等差數列，則n 至少要多少時，才會使整個數列的和超過10000? （A）199（B）299（C）399（D）499（E）599 。

解：

在1 和99 之間插入n 個數表示此數列有n+2個數，其中$a_1=1,a_{n+2}=99$，數列總和為$\frac{(1+99)(n+2)}{2}=50(n+2)$。依題意$50(n+2)>10000\Rightarrow n+2>200\Rightarrow n>198$

故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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35.  若四點A(1,6,2), B(3,5,1), C(4,5,0), D(k,4,2) 共平面，則k= （A）1（B）2（C）3（D）4（E）5 。

解：

$\overrightarrow{AB}=(2,-1,-1), \overrightarrow{AC}=(3,-1,-2)\Rightarrow \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC} = (1,1,1)$
因此該平面方程式可寫成$(x-1)+(y-6)+(z-2)=0$，將D點代入可得 k-1-2=0，即k=3，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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36.  設a,b 為正整數，且整係數多項式$f\left( x \right) =x^{ 4 }+ax^{ 3 }-2x^{ 2 }+bx+2$有一次因式，則a+b=（A）1（B）2（C）3（D）4（E）5 。

解：

由題意可知，其一次因式為x+k，其中k=1,-1,2,-2，有四種可能
x=k=1代入可得 1+a-2+b+2=0，則a+b=-1，不符正整數的要求
x=k=-1代入可得 1-a-2-b+2=0，則a+b=1，不符正整數的要求
x=k=2代入可得 16+8a-8+2b+2=0，則8a+2b=-10，不符正整數的要求
x=k=-2代入可得 16-8a-8-2b+2=0，則8a+2b=10，即4a+b=5, 由於a,b 為正整數，所以a=1,b=1, a+b=2

故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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37.  解$\log _{ \frac { 1 }{ 4 }  }{ x } +2\left( \log _{ 16 }{ x^{ 2 } }  \right) -\frac { 3 }{ 2 } =0，x=$（A）$2^{-1}$（B）$2^{0}$（C）$2^{1}$（D）$2^{2}$（E）$2^{3}$ 。

解： $$\log _{ \frac { 1 }{ 4 }  }{ x } +2\left( \log _{ 16 }{ x^{ 2 } }  \right) -\frac { 3 }{ 2 } =0\Rightarrow \frac { -1 }{ 2 } \log _{ 2 }{ x } +\log _{ 2 }{ x } -\frac { 3 }{ 2 } =0\\ \Rightarrow \frac { 1 }{ 2 } \log _{ 2 }{ x } =\frac { 3 }{ 2 } \Rightarrow \log _{ 2 }{ x } =3\Rightarrow x={ 2 }^{ 3 }$$

故選$\bbox[red,2pt]{(E)}$

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38.  設$a,b$為實數，滿足$\left| a-b-2 \right| +{ \left( a+2b-5 \right)  }^{ 2 }=0$，求$a+b$=（A）1（B）2（C）3（D）4（E）5 。

解： $$\left| a-b-2 \right| +{ \left( a+2b-5 \right)  }^{ 2 }=0\Rightarrow \begin{cases} a-b-2=0 \\ a+2b-5=0 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} a=3 \\ b=1 \end{cases}\Rightarrow a+b=4$$

故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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39.  試求多項式$f\left( x \right) ={ \left( 3x^{ 4 }-5x^{ 2 }+6x-3 \right)  }^{ 2 }$除以$x-1$的餘式為（A）1（B）2（C）3（D）4（E）5 。

解：

以f(1)=$(3-5+6-3)^2=1$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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40.  設$i=\sqrt{-1}$，求$i+i^2+i^3+\dots+i^{97}+i^{98}+i^{100}$=（A）-1（B）0（C）1（D）i（E）-i 。

解：

$i+i^2+i^3+i^4=0$，每四個一組的和為0，1~100剛好分成25組，所以總和為0

故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$
題目怪怪，竟然漏印$i^{99}$

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-- END --