103學年度國民中學運動成績優良學生
升學輔導甄試學科考試--數學科詳解
說明：單選題共 30 題，請在答案卡上劃記。
1.計算\(3^2-2\times(-4)+(-6)\div 2\)=？
(A) 14 (B) 11 (C) -1 (D) -4
解：$$3^2-2\times(-4)+(-6)\div 2=9+8-3=14$$，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)
解：無論量角器大小，所量出的角度是否變的，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)
(A) 17 (B) 34 (C) 23 (D) 46
解：
假設長為\(a\)，寬為\(a-7\)，由題意知：\(a^2+(a-7)^2=17^2\Rightarrow a^2-7a-120=0\Rightarrow (a-15)(a+8)=0\Rightarrow a=15\)，因此周長=\((15+(15-7))\times 2=46\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 15
解：凸 15 邊形的內角和=\((15-2)\times 180=2340\)，假設有\(a\)個內角是銳角，則銳角和小於\(90a\)且剩下的(15-a)個內角皆小於180度，即
\(\frac{2340-90a}{15-a}<180\Rightarrow a<4\)，因此最多有3個內角是銳角，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)
5. 已知a 、b 、c皆為質數，且\(\frac{184}{a}、\frac{105}{b}、\frac{198}{c}\)，也皆為正整數，則a+b+c的最大值為何？
(A) 37 (B) 41 (C) 43 (D) 47
\(184=2^3\times 23\Rightarrow a\)的最大值為23
\(105=3\times 5\times 7\Rightarrow b\)的最大值為7
\(198=2\times 9\times 11\Rightarrow c\)的最大值為11
因此a+b+c的最大值=23+7+11=41，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)
6. 求\(12^2-11^2+10^2-9^2+8^2-7^2+6^2-5^2+4^2-3^2+2^1-1^2=\)？
(A) 78 (B) 143 (C) 145 (D) 156
故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)
7. \(\triangle ABC\)中，\(\angle C\)的外角為\(\angle 1\)，已知\(\angle 1\)恰與一個內對角之和等於180 度，則\(\triangle ABC\)必為什麼類型三角形？
(A)直角三角形(B)正三角形(C)等腰三角形(D)鈍角三角形
\(\angle C+\angle 1=180^\circ\)又\(\angle 1\)恰與一個內對角之和等於180 度，所以該對角與\(\angle C\)相等，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
(A) 4 個(B) 5 個(C) 6 個(D) 7 個
9. 若\(x=-1\)為方程式\(x^2+ax-8=0\)與\((x-a)^2=b\)的相同解，則\(b\)=？
(A) 16 (B) 25 (C) 36 (D) 49
解：
將\(x=-1\)代入第一式可得\(1-a-8=0\Rightarrow a=-7\)，再將\(x=-1,a=-7\)代入第二式可得\((-1+7)^2=b\Rightarrow b=6^2=36\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
10. 如下圖，已知\(\overline{BH}=8\)，且四邊形ABKL、四邊形BCDE、四邊形EFGH、四邊形HIJK 皆為正方形。試問這四個正方形的面積和為多少？
(A) 64 (B) 128 (C) 192 (D) 256
解：
在直角\(\triangle BKH\)中，\({\overline{BH}}^2={\overline{BK}}^2+{\overline{HK}}^2\) = 四邊形ABKL的面積+四邊形HIJK的面積
在直角\(\triangle BEH\)中，\({\overline{BH}}^2={\overline{BE}}^2+{\overline{EH}}^2\) = 四邊形BCDE的面積+四邊形EFGH的面積
因此這四個正方形的面積和=\(8^2+8^2=128\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)
(A)\(\frac{3x-5}{4}\) (B) \(\frac{-3x+1}{4}\) (C) \(\frac{3x-1}{4}\) (D) \(\frac{-3x+5}{4}\)
解：$$2x-\frac { 5(x+1) }{ 4 } =\frac { 8x-5(x+1) }{ 4 } =\frac { 8x-5x-5 }{ 4 } =\frac { 3x-5 }{ 4 } $$
故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)
解：
2013 年載客量約為2 億四千九百零六萬減去2 億零一百五十八萬 = \(2.4906\times 10^8 - 2.0158\times 10^8 = 0.4748\times 10^8 == 4.748\times 10^7\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
(A) 4 枝(B) 5 枝(C) 6 枝(D) 7 枝
解：假設小民買了彩色筆a枝及鋼珠筆b枝，則35a+28b=210。由於a及b皆為自然數，因此a=2, b=5，則a+b=2+5=7
故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)
14. 如下圖，\(\angle C=\angle D=\angle E=90^\circ\)，且\(F\)是\(\overline{AB}\)的中點，則下列何者正確？
(A) \(\overline{FE}<\overline{FC}<\overline{FD}\) (B) \(\overline{FD}<\overline{FC}<\overline{FE}\) (C) \(\overline{FC}<\overline{FE}<\overline{FD}\) (D) \(\overline{FE}=\overline{FC}=\overline{FD}\)
(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限
點(-3,a)代入直線L，可得a=-6+7=1，因此 直線M方程式為\(y=x-1\)。
該直線不通過第二象限，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)
(A)1：6 (B) 1：9 (C) 6：1 (D) 9：1
故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)
17. 化簡\((x^2-8x+7)+(5x^2+x-12)\)後，下列何者為其因式？
(A) 2x+1 (B) 2x-1 (C) 3x+1 (D) 3x-1
解：$$(x^2-8x+7)+(5x^2+x-12)=6x^2-7x-5=(2x+1)(3x-5)$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)
解：
該角與角A互補，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)
19. 右圖數線上，A、B、C、D 四點所表示的數分別為a 、b 、c 、d ，已知a 與b 互為相反數，且\(\overline{AB}=6\overline{BC}\)，D點為A與C的中點，若將B 點向右平移2 個單位後，可到達C 點，則D點所代表的數d 為何？
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
a 與b 互為相反數\(\Rightarrow\)b=-a
將B 點向右平移2 個單位後，可到達C 點\(\Rightarrow\)c=b+2=-a+2
D點為A與C的中點\(\Rightarrow\)d=(a+c)/2=(a-a+2)/2=1
故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)
解：\(\frac{\left|x-y\right|}{\left|3x+y\right|}=0\Rightarrow \left|x-y\right|=0\Rightarrow x=y\)
因此\(\frac{\left|x+y \right|}{\left|3x-y\right|}=\frac{\left|x+x \right|}{\left|3x-x\right|}= \frac{\left|2x \right|}{\left|2x\right|}=1\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
(A) 36° (B) 72° (C) 108° (D) 144°
解：
故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)
(A) 1/2 (B)7/9 (C) 5/11 (D) 9/13
解：
由於甲+戊=丙+丁+戊，所以甲=丙+丁。
又\(\overline{BF}:\overline{FC}=1:3\)，則丁=3丙，甲=丙+丁=4丙
因此(甲＋丙)面積：(乙＋丁)面積=(4丙+丙):(2戊+3丙)=5丙:(2甲+3丙)=5丙:11丙=5:11
故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
(A) 內心 (B) 重心 (C) 外心 (D) 以上皆非
解：
又I為內心，所以\(\overline{IE}=\overline{IG}= \overline{IG}\)。因此\(\overline{IP}=\overline{IQ}= \overline{IR}\)，也就是I至三頂點距離相等，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
解：$$5\sqrt{2}+\frac{\sqrt{72}}{3}=5\sqrt{2}+\frac{6\sqrt{2}}{3}\approx 7\sqrt{2}=7\times 1.4= 9.8$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)
(A) \(4-\pi\) (B)1 (C)\(\frac{\pi}{4}\) (D) \(1-\frac{\pi}{4}\)
令內切圓半徑=r，見上圖，則\(\overline{AB}=\overline{AD}+\overline{DB}\Rightarrow 5=(3-r)+(4-r)\Rightarrow r=1\)。
灰色面積=正方形減去四分之一圓=\(1-\frac{\pi}{4}\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)
軸的距離為 3，則此P點到x軸的距離可能為何？
(A) 4/3 (B) 2/3 (C) 8 (D)9
解：令f(x)=ax+b，將(0,-1)、(1, 2)代入，可得a=3,b=-1，因此f(x)=3x-1
由題意可知P點座標為(3, m)或(-3,m)，將(3,m)代入f(x)可得m=8；將(-3,m)代入可得m=-10，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)
(A) 1：4 (B) π：4 (C) 1：2 (D) 1：9
解：
由於ABCD 為一菱形(\(\overline{AB}=\overline{BC}\))且\(\angle ABC=60^\circ\)，所以\(\triangle ABC\)為一正三角形；
又\(\overline{AC}=\overline{BC}=\overline{CD}=\overline{AD}\)，所以\(\triangle DAC\)也是正三角形；
此題相當於求一正三角形的外接圓與內切圓的面積比例。本題可利用正三角形的重心與外心為同一點之特性。
令正三角形的頂點至底邊的長度為a，則外接圓的半徑為\(\frac{2a}{3}\)，內切圓的半徑為\(\frac{a}{3}\)，兩者比例為2:1 (重心的特性)，因此面積比為4:1
故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)
又\(\overline{AC}=\overline{BC}=\overline{CD}=\overline{AD}\)，所以\(\triangle DAC\)也是正三角形；
此題相當於求一正三角形的外接圓與內切圓的面積比例。本題可利用正三角形的重心與外心為同一點之特性。
令正三角形的頂點至底邊的長度為a，則外接圓的半徑為\(\frac{2a}{3}\)，內切圓的半徑為\(\frac{a}{3}\)，兩者比例為2:1 (重心的特性)，因此面積比為4:1
故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)
28. . 如下圖，P 為△ABC 內某一點，\(\overline{PA}=，\overline{PB}，\overline{PC}\)將△ABC 分割成甲、乙、丙三個小三角形。若將其剪下，並將\(\overline{AB}=，\overline{BC}，\overline{CA}\)排列在一直線 L 上，則在 L 同側的三個 P 點會共線且與L 平行，試問 P 點必為△ABC 的哪一個心？
(A) 外心 (B) 內心 (C) 重心 (D) 以上皆非
解：
三個 P 點會共線且與L 平行表示三個P點與L的距離相等，也就是P點至三邊的距離等長，其為內心，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)
29. 如右圖，已知 B、C、F、E 四點在同一直線上，\(\overline{AB}=\overline{AC}，\overline{BD}、\overline{CD}\)分別為\(\angle ABC、\angle ACE\)的角平分線，且\( \overline{DF}\)為\(\overline{CD}\)的垂直平分線，若\(\angle 1=20\)度，則\(\angle BAC-\angle BDE\)？
\(\overline{BD}\)為\(\angle ABC\)的角平分線\(\Rightarrow \angle ABD=\angle 1=20^\circ\)
\(\overline{AB}=\overline{AC}\Rightarrow \angle ACB=\angle B=40^\circ\Rightarrow \angle A=180-40-40=100^\circ\)
\(\overline{CD}\)為\(\angle ACE\)的角平分線\(\Rightarrow \angle DCE=\frac{\angle ACE}{2}=\frac{180-40}{2}=70^\circ\)
\( \overline{DF}\)為\(\overline{CD}\)的垂直平分線\(\Rightarrow \angle E=\angle DCE=70^\circ\Rightarrow \angle CDE=180-70-70=40^\circ\)
在\(\triangle BCD中, \angle CDB=180-20-40-70=50^\circ\Rightarrow \angle D=50+40=90^\circ\)
因此\(\angle BAC-\angle BDE=100-90=10^\circ\)
30. 如右圖，已知梯形
ABCD，\(\overline{AB}//\overline{DC}，\overline{AB}=\overline{AD}\)=4公分，若\(\angle A\)=60度，\(\angle ABC\)=150度，，則梯形面積為何？
(A)\(4\sqrt{3}\) 平方公分 (B)\(6\sqrt{3}\) 平方公分 (C)\(8\sqrt{3}\) 平方公分 (D)\(12\sqrt{3}\) 平方公分
解：
過B點，畫一垂線\(\overline{BE}\)，E在直線\(\overline{CD}\)上，如上圖
由於\(\overline{AB}=\overline{AD}\)且\(\angle A\)=60度，所以\(\triangle ABD\)為一正三角形
由於\(\triangle CBD\)之三內角為30-60-90，所以\(\overline{CD}=2\overline{BD}=8\)
由於\(\triangle BDE\)之三內角也為30-60-90，所以\(\overline{BE}= \overline{BD} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=4\times\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\)
梯形面積=\(\frac{(\overline{AB}+\overline{CD})\overline{BE}}{2}=\frac{(4+8)\times2\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}\)
解：
三個 P 點會共線且與L 平行表示三個P點與L的距離相等，也就是P點至三邊的距離等長，其為內心，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)
(A)10度 (B)20度 (C)30度 (D)40度
解：\(\overline{AB}=\overline{AC}\Rightarrow \angle ACB=\angle B=40^\circ\Rightarrow \angle A=180-40-40=100^\circ\)
\(\overline{CD}\)為\(\angle ACE\)的角平分線\(\Rightarrow \angle DCE=\frac{\angle ACE}{2}=\frac{180-40}{2}=70^\circ\)
\( \overline{DF}\)為\(\overline{CD}\)的垂直平分線\(\Rightarrow \angle E=\angle DCE=70^\circ\Rightarrow \angle CDE=180-70-70=40^\circ\)
在\(\triangle BCD中, \angle CDB=180-20-40-70=50^\circ\Rightarrow \angle D=50+40=90^\circ\)
因此\(\angle BAC-\angle BDE=100-90=10^\circ\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)
(A)\(4\sqrt{3}\) 平方公分 (B)\(6\sqrt{3}\) 平方公分 (C)\(8\sqrt{3}\) 平方公分 (D)\(12\sqrt{3}\) 平方公分
解：
由於\(\overline{AB}=\overline{AD}\)且\(\angle A\)=60度，所以\(\triangle ABD\)為一正三角形
由於\(\triangle CBD\)之三內角為30-60-90，所以\(\overline{CD}=2\overline{BD}=8\)
由於\(\triangle BDE\)之三內角也為30-60-90，所以\(\overline{BE}= \overline{BD} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=4\times\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\)
梯形面積=\(\frac{(\overline{AB}+\overline{CD})\overline{BE}}{2}=\frac{(4+8)\times2\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)
-- END --
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