104學年度高級中等以上學校運動成績優良學生
升學輔導甄試學科考試--數學科詳解
單選題，每題2.5分，共40題，總分100分
1.設\(\sqrt{11+6\sqrt{2}}=a+b\)，其中\(a\)是正整數且\(0\le b<1\)，則a= (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6
解：$$\sqrt { 11+6\sqrt { 2 } } =3+\sqrt { 2 } \Rightarrow a=4$$，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
解：$${ (0.0625) }^{ -0.75 }+{ (0.25) }^{ -2.5 }={ \left( \frac { 625 }{ 10000 } \right) }^{ -\frac { 3 }{ 4 } }+{ \left( \frac { 1 }{ 4 } \right) }^{ -\frac { 5 }{ 2 } }={ \left( { \left( \frac { 25 }{ 100 } \right) }^{ 2 } \right) }^{ -\frac { 3 }{ 4 } }+{ \left( { \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ 2 } \right) }^{ -\frac { 5 }{ 2 } }\\ ={ \left( \frac { 1 }{ 4 } \right) }^{ -\frac { 3 }{ 2 } }+{ \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ -5 }={ \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ -3 }+{ \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ -5 }={ 2 }^{ 3 }+{ 2 }^{ 5 }=8+32=40$$，故選\(\bbox[red,2pt]{(E)}\)
(A) -7 (B) \(-\frac{35}{9}\) (C) \(-\frac{7}{3}\) (D) \(-\frac{11}{27}\) (E) 5
解：$$f\left( -\frac { 2 }{ 3 } \right) =27\times \frac { -8 }{ 27 } +12\times \frac { 4 }{ 9 } +5\times \frac { -2 }{ 3 } -1=-8+\frac { 16 }{ 3 } -\frac { 10 }{ 3 } -1\\ =-8+\frac { 6 }{ 3 } -1=-8+2-1=-7$$
，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)
(A) 6 (B) 5 (C) 4 (D) 3 (E) 2
解：$$\begin{cases} 1=\log _{ a }{ 2 } \\ b=\log _{ a }{ 8 } \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=2 \\ { a }^{ b }=8 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=2 \\ b=3 \end{cases}\Rightarrow a+b=5$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)
5. 某次考試中，由40題選擇題所組成的試卷，每題均有五個選項且其中只有一個是正確的。假如某考生每題皆完全任意地猜選一個選項，則此考生40題全部猜對的機率為
(A) \(\frac{1}{5^{40}}\) (B)\(\frac{1}{{40}^{5}}\) (C) \(\frac{5!}{40!}\) (D)\(\frac{40}{5!}\) (E) 0
解：猜對一題的機率為1/5，因此40題皆猜對的機率為\(\frac{1}{5^{40}}\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)
6. 已知\(<a_n>\)為等差數列，且\(a_2+a_3+a_{10}+a_{11}=48\)，則\(a_6+a_7=\)
(A) 6 (B) 12 (C) 18 (D) 24 (E) 條件不足，無法作答
解：$$a_{ 2 }+a_{ 3 }+a_{ 10 }+a_{ 11 }=48\Rightarrow \left( a_{ 1 }+d \right) +\left( a_{ 1 }+2d \right) +\left( a_{ 1 }+9d \right) +\left( a_{ 1 }+10d \right) =4a_{ 1 }+22d=48\\ \Rightarrow 2a_{ 1 }+11d=24\Rightarrow \left( a_{ 1 }+5d \right) +\left( a_{ 1 }+6d \right) =24\Rightarrow a_6+a_7=24$$
，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)
7. 從羽球選手10人中(男生有6人、女生有4人)選出3男2女參加比賽，規定3位男生要安排在第一、三、五順位；且2位女生要安排在第二、四順位。則教練對此參賽選手的順位安排方法有幾種？ (A) 2880 (B) 1920 (C) 1440 (D) 960 (E) 720
解：
第1順位有6種選擇(男生有6人)、第2順位有4種選擇(女生有4人)、第3順位有5種選擇(男生剩下5人)、第4順位有3種選擇(女生剩下3人)、第5順位有4種選擇(男生剩下6人)，所以共有 \(6\times 4\times 5\times 3\times 4=1440\)安排方法，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
解：除了15%為送機的友人，其他100%-15%=85%的人要出國，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)
9. 設高三甲班的期末考數學科的成績普遍偏低，因此，老師給全班40人每人皆加了5分。請問全班數學新成績與原始成績的統計量，下列哪一個是不變的？
(A) 算術平均數 (B) 幾何平均數 (C) 中位數 (D) 眾數 (E) 標準差
解：
標準差計算各數與平均值的距離，全班都加5分並不會改變其值，故選\(\bbox[red,2pt]{(E)}\)
10. 以下是個五個散佈圖，哪一個散布圖中\(x\)、\(y\)的相關係數是最小的？
解：
x越大則y越大，其相關係數為正值、x越大則y越小，其相關係數為負值。
因此要選x越大則y越小的圖形，只有(C)與(D)符合條；但(C)比(D)在趨勢上更明顯，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
解：
直線\(L_1:x-2y+3=0\)的斜率為\(\frac{1}{2}\)、\(L_2:y=mx+k\)的斜率為\(m\)，由於兩者垂直，所以斜率相乘為-1，即\(\frac{1}{2}\times m=-1\Rightarrow m=-2\)。
\(L_2\)通過點(4, 1)，即\(1=4m+k\Rightarrow 1=-8+k\Rightarrow k=9\Rightarrow m+k=-2+9=7\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)
(A) \(120^\circ\) (B) \(75^\circ\) (C) \(60^\circ\) (D) \(45^\circ\) (E) \(30^\circ\)
解：
利用餘弦定理：$${ \overline { BC } }^{ 2 }={ \overline { AB } }^{ 2 }+{ \overline { CA } }^{ 2 }-2\overline { AB } \times \overline { CA } \times \cos { \angle A } \Rightarrow 49=9+64-48\cos { \angle A } \\ \Rightarrow \cos { \angle A } =\frac { 24 }{ 48 } =\frac { 1 }{ 2 } \Rightarrow \angle A=60°$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
(A) \(12\pi\) (B) \(11\pi\) (C) \(10\pi\) (D) \(9\pi\) (E) \(8\pi\)
解：$$x^{ 2 }+y^{ 2 }-2\sqrt { 2 } x+6y-1=0\Rightarrow \left( x^{ 2 }-2\sqrt { 2 } x+{ \left( \sqrt { 2 } \right) }^{ 2 } \right) +\left( y^{ 2 }+6y+{ 3 }^{ 2 } \right) -1={ \left( \sqrt { 2 } \right) }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 }\\ \Rightarrow { \left( x-\sqrt { 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( x+3 \right) }^{ 2 }=2+9+1=12={ \left( 2\sqrt { 3 } \right) }^{ 2 }\Rightarrow 半徑=2\sqrt { 3 } \\ \Rightarrow 面積=12\pi$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)
14. 設有二向量\(\overrightarrow{u}=(1,-2)\)、\(\overrightarrow{v}=(1,3)\)，則\(\overrightarrow{u}\)和\(\overrightarrow{v}\)的夾角=
(A) \(60^\circ\) (B) \(75^\circ\) (C) \(120^\circ\) (D) \(135^\circ\) (E) \(150^\circ\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)
(A)\(10\sqrt{2}\) (B)\(10\sqrt{3}\) (C)\(10\sqrt{5}\) (D)\(5\sqrt{5}\) (E)\(5\sqrt{10}\)
解：
經過ABCD與圓心O點的平面如下圖
解：$$\begin{cases} \frac { -1+1 }{ 2 } =\frac { 4-4 }{ b } =\frac { 2-a }{ 1 } \\ \frac { -5+1 }{ 2 } =\frac { -2-4 }{ b } =\frac { 0-a }{ 1 } \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 2-a=0 \\ -2=\frac { -6 }{ b } =-a \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=2 \\ b=3 \end{cases}\Rightarrow a+b=5$$
，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)
17. 設\(A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}\)，若\(A^{ 2 }=\begin{bmatrix} x & y \\ z & w \end{bmatrix}\)，則實數\(y\)值= (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1 (E) 0
解：$$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x & y \\ z & w \end{bmatrix}\Rightarrow y=1\times 2+2\times \left( -1 \right) =0$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(E)}\)
(A) (-7,1) (B) (-7,2) (C) (-6, 1) (D) (-6, 2) (E) (1, -8)
解：$$y^{ 2 }-4x-2y-27=0\Rightarrow \left( y^{ 2 }-2y+1 \right) -4x-27=1\Rightarrow { \left( y-1 \right) }^{ 2 }=4\left( x+7 \right) $$頂點坐標為(-7, 1)，因此焦點坐標為(-7+1, 1)=(-6,1)
故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
19. 等比數列\(<a_n>\)，若\(a_2=18\)且\(a_3=-27\)，其公比= (A)\(-\frac{3}{2}\) (B)\(-\frac{3}{4}\) (C)\(\frac{3}{4}\) (D) (A)\(\frac{2}{3}\) (E)\(\frac{4}{3}\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)
解：$$\left| ax+2 \right| \le b\Rightarrow -b\le ax+2\le b\Rightarrow -b-2\le ax\le b-2\\ \Rightarrow \begin{cases} \frac { -b-2 }{ a } \le x\le \frac { b-2 }{ a } & ifa>0 \\ \frac { -b-2 }{ a } \ge x\ge \frac { b-2 }{ a } & ifa<0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \begin{cases} \frac { b-2 }{ a } =5 \\ \frac { -b-2 }{ a } =-3 \end{cases} \\ \begin{cases} \frac { b-2 }{ a } =-3 \\ \frac { -b-2 }{ a } =5 \end{cases} \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=-2(不合),b=-8 \\ a=-2,b=8 \end{cases}\\ \Rightarrow a+b=-2+8=6$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(E)}\)
(A) -12 (B) -10 (C) -8 (D) 10 (E) 12
解：$$x+y+i=-10+xyi\Rightarrow \begin{cases} x+y=-10 \\ xy=1 \end{cases}\Rightarrow x<0, y<0\\ \Rightarrow { \left( \sqrt { x } -\sqrt { y } \right) }^{ 2 }=x+y-2\sqrt { xy } =-10+2=-8$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
解：利用長除法
因此a=4, b=2, 所以a+b=6，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)
解：$$f\left( x \right) =\begin{cases} p\left( x \right) \left( x^{ 2 }-5x+4 \right) +\left( x+2 \right) \\ q\left( x \right) \left( x^{ 2 }-5x+6 \right) +\left( 3x+4 \right) \\ r\left( x \right) \left( x^{ 2 }-4x+3 \right) +\left( ax+b \right) \end{cases}=\begin{cases} p\left( x \right) \left( x-4 \right) \left( x-1 \right) +\left( x+2 \right) \\ q\left( x \right) \left( x-3 \right) \left( x-2 \right) +\left( 3x+4 \right) \\ r\left( x \right) \left( x-3 \right) \left( x-1 \right) +\left( ax+b \right) \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} f\left( 3 \right) =3\times 3+4=3a+b \\ f\left( 1 \right) =1+2=a+b \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 3a+b=13 \\ a+b=3 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=5 \\ b=-2 \end{cases}$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)
解：$$\frac { 1-3i }{ 1+i } =\frac { \left( 1-3i \right) \left( 1-i \right) }{ \left( 1+i \right) \left( 1-i \right) } =\frac { -2-4i }{ 2 } =-1-2i=a+bi\\ \Rightarrow a=-1,b=-2\Rightarrow a+b=-3$$，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
解：本題相當於求兩曲線\(y=\frac{1}{3^x}\)及\(y=\log_{2}{x}\)有幾個交點
故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)
(A) 150 (B) 120 (C) 60 (D)32 (E) 15
解：
每人先各分1本書，則此題相當於求 x+y+z=4的非負整數解有幾組？
即\(H^3_4=C^6_4=15\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(E)}\)
(A) 16 (B) 12 (C)8 (D)4 (E)2
解：
\(EX=\mu=160/10=16\Rightarrow (EX)^2=16^2=256, EX^2=2720/10=272\)
標準差=\(\sqrt{272-256}=\sqrt{16}=4\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)
標準差=\(\sqrt{272-256}=\sqrt{16}=4\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)
28. 設台灣民眾手機廠牌持有率分別為：甲30%、乙20%、丙15%、丁10%、不持有手機佔25%。若你此時在街頭看到一位民眾正在使用手機的條件下，則他正在使用甲牌門號的機率是多少？
(A) 40% (B)30% (C) 25% (D) 22.5% (E) 機率變化萬千，無法預測
解：
使用手機的比率為1-25%=75%，因此答案為30%/75%=40%，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)
29. 設\(\triangle ABC\)的三邊長分別\(\overline{AB}=9，\overline{BC}=3，\overline{AC}=8\)，則\( \triangle ABC\)的面積=？
(A)\(\sqrt{35}\) (B)\(\sqrt{70}\) (C)\(2\sqrt{35}\) (D)\(6\sqrt{6}\) (E)\(3\sqrt{6}\)
解：
令s=(9+3+8)/2=10，則\( \triangle ABC\)的面積=\(\sqrt{s(s-9)(s-3)(s-8)}=\sqrt{140}=2\sqrt{35}\)
30. 若\(90^\circ<x<180^\circ\)且\(\sin{x}=\frac{4}{5}\)，則\(\cos{\frac{x}{2}}=\)
(A)\(\sqrt{\frac{1}{5}}\) (B)\(\sqrt{\frac{2}{5}}\) (C)\(\sqrt{\frac{3}{5}}\) (D)\(\sqrt{\frac{3}{10}}\) (E)\(\sqrt{\frac{7}{10}}\)
解：$$90°<x<180°,\sin { x } =\frac { 4 }{ 5 } \Rightarrow \cos { x } =-\frac { 3 }{ 5 } =2\cos ^{ 2 }{ \frac { x }{ 2 } } -1\\ \Rightarrow \cos ^{ 2 }{ \frac { x }{ 2 } } =\frac { 1 }{ 5 } \Rightarrow \cos { \frac { x }{ 2 } } =\sqrt { \frac { 1 }{ 5 } } \left( \because 45°<\frac { x }{ 2 } <90°,\therefore \cos { \frac { x }{ 2 } } >0 \right) $$
31. 右圖的斜線區域可用下列哪一組不等式表示？
解：
斜線區域在x-y=0的右邊，所以x-y>0；因此只需考慮(B)與(D)
原點在斜線區域內，所以2x+3y+9>0，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)
32. 已知\(\log{2}=0.3010,\log{3}=0.4771,\log{7}=0.8451\)，\(23^{100}\)是137位數，求\(23^{25}\)是多少位數？
解：\(23^{100}\)是137位數\(\Rightarrow 136<\log{23^{100}}<137\Rightarrow 1.36<\log{23}<1.37 \)
\( \Rightarrow 1.36\times 25<25\times\log{23}<1.37 \times 25 \Rightarrow 34<\log{23^{25}}<34.25\Rightarrow \log{23^{25}}\) 是35位數，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)
33. 空間中三點 A(2,1,-1)，B(2,3,7)，C(2,-2,2)，求\(\triangle ABC\)的面積
解：
\(\overrightarrow{AB}=(0,2,8),\overrightarrow{AC}=(0,-3,3)\)
\(\triangle ABC\)的面積=\(\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right| = \frac{1}{2}\left|(0,2,8)\times(0,-3,3)\right| = \frac{1}{2}\left|(30,0,0)\right| =15\)
34. 若\(\begin{bmatrix} 1 & -3 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 1 \\ 4 & 1 & 3 & 3 \end{bmatrix}\)經過矩陣列運算後，可簡化成矩陣\(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 1 & k \end{bmatrix}\)，求實數\(k\)值=
解：
經矩陣列運算所得之兩矩陣代表有相同的聯立解，即$$\begin{cases} x-3y-2z=0 \\ 2x+y+2z=1 \\ 4x+y+3z=3 \end{cases}\equiv \begin{cases} x=5 \\ y=7 \\ z=k \end{cases}$$
將x=5,y=7,z=k代入x-3y-2z=0可得z=k=-8，故選\(\bbox[red,2pt]{(E)}\)
35. 設雙曲線\(\tau:\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)，下列哪一個選項是\(\tau\)的一條漸近線？
解：
使用手機的比率為1-25%=75%，因此答案為30%/75%=40%，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)
(A)\(\sqrt{35}\) (B)\(\sqrt{70}\) (C)\(2\sqrt{35}\) (D)\(6\sqrt{6}\) (E)\(3\sqrt{6}\)
解：
令s=(9+3+8)/2=10，則\( \triangle ABC\)的面積=\(\sqrt{s(s-9)(s-3)(s-8)}=\sqrt{140}=2\sqrt{35}\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
(A)\(\sqrt{\frac{1}{5}}\) (B)\(\sqrt{\frac{2}{5}}\) (C)\(\sqrt{\frac{3}{5}}\) (D)\(\sqrt{\frac{3}{10}}\) (E)\(\sqrt{\frac{7}{10}}\)
解：$$90°<x<180°,\sin { x } =\frac { 4 }{ 5 } \Rightarrow \cos { x } =-\frac { 3 }{ 5 } =2\cos ^{ 2 }{ \frac { x }{ 2 } } -1\\ \Rightarrow \cos ^{ 2 }{ \frac { x }{ 2 } } =\frac { 1 }{ 5 } \Rightarrow \cos { \frac { x }{ 2 } } =\sqrt { \frac { 1 }{ 5 } } \left( \because 45°<\frac { x }{ 2 } <90°,\therefore \cos { \frac { x }{ 2 } } >0 \right) $$
故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)
31. 右圖的斜線區域可用下列哪一組不等式表示？
解：
斜線區域在x-y=0的右邊，所以x-y>0；因此只需考慮(B)與(D)
原點在斜線區域內，所以2x+3y+9>0，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)
32. 已知\(\log{2}=0.3010,\log{3}=0.4771,\log{7}=0.8451\)，\(23^{100}\)是137位數，求\(23^{25}\)是多少位數？
(A)34 (B) 35 (C)36 (D) 37 (E) 38
\( \Rightarrow 1.36\times 25<25\times\log{23}<1.37 \times 25 \Rightarrow 34<\log{23^{25}}<34.25\Rightarrow \log{23^{25}}\) 是35位數，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)
33. 空間中三點 A(2,1,-1)，B(2,3,7)，C(2,-2,2)，求\(\triangle ABC\)的面積
(A)30 (B) 25 (C)15 (D) 10 (E) 5
\(\overrightarrow{AB}=(0,2,8),\overrightarrow{AC}=(0,-3,3)\)
\(\triangle ABC\)的面積=\(\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right| = \frac{1}{2}\left|(0,2,8)\times(0,-3,3)\right| = \frac{1}{2}\left|(30,0,0)\right| =15\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
34. 若\(\begin{bmatrix} 1 & -3 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 1 \\ 4 & 1 & 3 & 3 \end{bmatrix}\)經過矩陣列運算後，可簡化成矩陣\(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 1 & k \end{bmatrix}\)，求實數\(k\)值=
(A)-4 (B)-5 (C)-6 (D)-7 (E)-8
經矩陣列運算所得之兩矩陣代表有相同的聯立解，即$$\begin{cases} x-3y-2z=0 \\ 2x+y+2z=1 \\ 4x+y+3z=3 \end{cases}\equiv \begin{cases} x=5 \\ y=7 \\ z=k \end{cases}$$
將x=5,y=7,z=k代入x-3y-2z=0可得z=k=-8，故選\(\bbox[red,2pt]{(E)}\)
35. 設雙曲線\(\tau:\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)，下列哪一個選項是\(\tau\)的一條漸近線？
(A)4x-3y=0 (B)4x+3y=12 (C)3x+4y=0 (D)3x-4y=12 (E)沒有漸近線
解：由雙曲線方程式可知其漸近線為4x=\(\pm\)3y，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)
36. 方程式 \(4\cos{x}=x\)有幾個實數解？(A)0個 (B)1個 (C)2個 (D)3個 (E)4個
解：
此題相當於求\(y=x,y=4\cos{x}\)兩圖形有幾個交點？
方程式 \(y=4\cos{x}\)上A、B兩點坐標分別為A(\(2\pi\),4)、B(-\(\pi\),-4)；
因此直線y=x在A、B兩點之上，兩圖形只會交於三點
37. 設\(x,y\)為實數，且\(x^2+y^2=16\)，求\(3x-4y\)的最大值？(A)10 (B)15 (C) 20 (D)25 (E)30
解：
38. 因乾旱水源不足，假設自來水公司計畫在八月1日至八月7日的7天中選擇三天停止供水。若要求停水的日期必須任兩天不相連，則自來水公司共有幾種選擇方式？
(A) 18 (B)15 (C)12 (D)10 (E)8
解：
共有(135)(136)(137)(146)(147)(157)、(246)(247)(257)、(357)，10種方法，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)
39. 設每一次擲二枚公正硬幣，若出現兩枚正面得120元，只有一枚正面得40元，沒有正面賠100元。求玩一次所得金額的期望為
解：由雙曲線方程式可知其漸近線為4x=\(\pm\)3y，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)
36. 方程式 \(4\cos{x}=x\)有幾個實數解？(A)0個 (B)1個 (C)2個 (D)3個 (E)4個
解：
此題相當於求\(y=x,y=4\cos{x}\)兩圖形有幾個交點？
因此直線y=x在A、B兩點之上，兩圖形只會交於三點
故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)
37. 設\(x,y\)為實數，且\(x^2+y^2=16\)，求\(3x-4y\)的最大值？(A)10 (B)15 (C) 20 (D)25 (E)30
令\(x=4\sin{\theta},y=4\cos{\theta}\) ，則$$3x-4y=12\sin { \theta } -16\cos { \theta } =20\left( \frac { 3 }{ 5 } \sin { \theta } -\frac { 4 }{ 5 } \cos { \theta } \right) =20\left( \cos { \alpha } \sin { \theta } -\sin { \alpha } \cos { \theta } \right) \\ =20\sin { \left( \theta -\alpha \right) } \Rightarrow -20\le 3x-4y\le 20$$
，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
38. 因乾旱水源不足，假設自來水公司計畫在八月1日至八月7日的7天中選擇三天停止供水。若要求停水的日期必須任兩天不相連，則自來水公司共有幾種選擇方式？
(A) 18 (B)15 (C)12 (D)10 (E)8
共有(135)(136)(137)(146)(147)(157)、(246)(247)(257)、(357)，10種方法，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)
39. 設每一次擲二枚公正硬幣，若出現兩枚正面得120元，只有一枚正面得40元，沒有正面賠100元。求玩一次所得金額的期望為
(A)得40元 (B)得25元 (C)得10元 (D)不賺不賠 (E)賠5元
解：
正正→得120元、正反→得40元、反正→得40元、反反→賠100元
以上四種情形的機率皆為1/4，所以期望值為(120+40+40-100)/4=25
40. 求\((\sin{54^\circ}+i\cos{54^\circ})^{10}\)=
(A)\(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}i}{4}\) (B)\(\frac{-\sqrt{3}+i}{2}\) (C)\(\frac{-1-\sqrt{3}i}{4}\) (D)\(-i\) (E)1
解：$${ \left( \sin { 54° } +i\cos { 54° } \right) }^{ 10 }={ \left( \cos { 36° } +i\sin { 36° } \right) }^{ 10 }=\cos { 360° } +i\sin { 360° } =1$$
-- END --
解：
以上四種情形的機率皆為1/4，所以期望值為(120+40+40-100)/4=25
故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)
40. 求\((\sin{54^\circ}+i\cos{54^\circ})^{10}\)=
(A)\(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}i}{4}\) (B)\(\frac{-\sqrt{3}+i}{2}\) (C)\(\frac{-1-\sqrt{3}i}{4}\) (D)\(-i\) (E)1
解：$${ \left( \sin { 54° } +i\cos { 54° } \right) }^{ 10 }={ \left( \cos { 36° } +i\sin { 36° } \right) }^{ 10 }=\cos { 360° } +i\sin { 360° } =1$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(E)}\)
-- END --
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