104學年度高中運動績優生甄試--數學科詳解

104學年度高級中等以上學校運動成績優良學生
升學輔導甄試學科考試--數學科詳解

單選題，每題2.5分，共40題，總分100分
1.設$\sqrt{11+6\sqrt{2}}=a+b$，其中$a$是正整數且$0\le b<1$，則a=  (A) 2  (B) 3  (C) 4  (D) 5 (E) 6

解： $$\sqrt { 11+6\sqrt { 2 }  } =3+\sqrt { 2 } \Rightarrow a=4$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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2. 化簡${(0.0625)}^{-0.75}+{(0.25)}^{-2.5}$ =  (A) -0.125  (B) 0.5  (C) 3.2  (D) 25 (E) 40

解： $${ (0.0625) }^{ -0.75 }+{ (0.25) }^{ -2.5 }={ \left( \frac { 625 }{ 10000 }  \right)  }^{ -\frac { 3 }{ 4 }  }+{ \left( \frac { 1 }{ 4 }  \right)  }^{ -\frac { 5 }{ 2 }  }={ \left( { \left( \frac { 25 }{ 100 }  \right)  }^{ 2 } \right)  }^{ -\frac { 3 }{ 4 }  }+{ \left( { \left( \frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ 2 } \right)  }^{ -\frac { 5 }{ 2 }  }\\ ={ \left( \frac { 1 }{ 4 }  \right)  }^{ -\frac { 3 }{ 2 }  }+{ \left( \frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ -5 }={ \left( \frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ -3 }+{ \left( \frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ -5 }={ 2 }^{ 3 }+{ 2 }^{ 5 }=8+32=40$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(E)}$

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3. 設$f(x)=27x^3+12x^2+5x-1$，求$f\left(-\frac{2}{3}\right)$的值=
(A) -7  (B) $-\frac{35}{9}$  (C) $-\frac{7}{3}$   (D) $-\frac{11}{27}$  (E) 5
解： $$f\left( -\frac { 2 }{ 3 }  \right) =27\times \frac { -8 }{ 27 } +12\times \frac { 4 }{ 9 } +5\times \frac { -2 }{ 3 } -1=-8+\frac { 16 }{ 3 } -\frac { 10 }{ 3 } -1\\ =-8+\frac { 6 }{ 3 } -1=-8+2-1=-7$$

，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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4. 已知兩點A(3,1), B(9,b)皆在對數函數$y=\log_{a}{(x-1)}$的圖形上，求實數$a+b$之值=
(A) 6   (B)  5  (C)  4  (D) 3  (E) 2

解： $$\begin{cases} 1=\log _{ a }{ 2 }  \\ b=\log _{ a }{ 8 }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=2 \\ { a }^{ b }=8 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=2 \\ b=3 \end{cases}\Rightarrow a+b=5$$

故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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5. 某次考試中，由40題選擇題所組成的試卷，每題均有五個選項且其中只有一個是正確的。假如某考生每題皆完全任意地猜選一個選項，則此考生40題全部猜對的機率為
(A) $\frac{1}{5^{40}}$ (B)$\frac{1}{{40}^{5}}$ (C) $\frac{5!}{40!}$   (D)$\frac{40}{5!}$ (E) 0

解：猜對一題的機率為1/5，因此40題皆猜對的機率為$\frac{1}{5^{40}}$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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6. 已知$<a_n>$為等差數列，且$a_2+a_3+a_{10}+a_{11}=48$，則$a_6+a_7=$
(A) 6  (B) 12  (C) 18  (D) 24  (E) 條件不足，無法作答

解： $$a_{ 2 }+a_{ 3 }+a_{ 10 }+a_{ 11 }=48\Rightarrow \left( a_{ 1 }+d \right) +\left( a_{ 1 }+2d \right) +\left( a_{ 1 }+9d \right) +\left( a_{ 1 }+10d \right) =4a_{ 1 }+22d=48\\ \Rightarrow 2a_{ 1 }+11d=24\Rightarrow \left( a_{ 1 }+5d \right) +\left( a_{ 1 }+6d \right) =24\Rightarrow a_6+a_7=24$$

，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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7. 從羽球選手10人中(男生有6人、女生有4人)選出3男2女參加比賽，規定3位男生要安排在第一、三、五順位；且2位女生要安排在第二、四順位。則教練對此參賽選手的順位安排方法有幾種？  (A) 2880   (B) 1920  (C) 1440  (D) 960  (E) 720
解：
第1順位有6種選擇(男生有6人)、第2順位有4種選擇(女生有4人)、第3順位有5種選擇(男生剩下5人)、第4順位有3種選擇(女生剩下3人)、第5順位有4種選擇(男生剩下6人)，所以共有 $6\times 4\times 5\times 3\times 4=1440$安排方法，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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8. 假設依據某機場出境大廳過去的統計資料，在出境大廳的來賓中有25%要前往美國，20%要前往日本，40%要前往其他國家，15%為送機的友人。今天你在此機場的出境大廳遇到一位來賓，請問他要出國的機率是多少？  (A) 0  (B) 0.35  (C) 0.5  (D) 0.85  (E) 1

解：除了15%為送機的友人，其他100%-15%=85%的人要出國，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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9. 設高三甲班的期末考數學科的成績普遍偏低，因此，老師給全班40人每人皆加了5分。請問全班數學新成績與原始成績的統計量，下列哪一個是不變的？
(A) 算術平均數  (B) 幾何平均數  (C) 中位數 (D) 眾數 (E) 標準差

解：
標準差計算各數與平均值的距離，全班都加5分並不會改變其值，故選$\bbox[red,2pt]{(E)}$

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10. 以下是個五個散佈圖，哪一個散布圖中$x$、$y$的相關係數是最小的？

解：
x越大則y越大，其相關係數為正值、x越大則y越小，其相關係數為負值。
因此要選x越大則y越小的圖形，只有(C)與(D)符合條；但(C)比(D)在趨勢上更明顯，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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11. 設$xy$直角坐標平面上，兩直線$L_1:x-2y+3=0$、$L_2:y=mx+k$，若$L_1$與$L_2$垂直，且$L_2$通過點(4, 1)，求實數$m+k$之值= (A) 9 (B) 7  (C) 5  (D) 3  (E) 1

解：
直線$L_1:x-2y+3=0$的斜率為$\frac{1}{2}$、$L_2:y=mx+k$的斜率為$m$，由於兩者垂直，所以斜率相乘為-1，即$\frac{1}{2}\times m=-1\Rightarrow m=-2$。
$L_2$通過點(4, 1)，即$1=4m+k\Rightarrow 1=-8+k\Rightarrow k=9\Rightarrow m+k=-2+9=7$

故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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12. 已知$\triangle ABC$的三邊長$\overline{AB}=3$，$\overline{BC}=7$，$\overline{CA}=8$，則$\angle A=$
(A) $120^\circ$ (B) $75^\circ$ (C) $60^\circ$ (D) $45^\circ$ (E) $30^\circ$

解：
利用餘弦定理： $${ \overline { BC }  }^{ 2 }={ \overline { AB }  }^{ 2 }+{ \overline { CA }  }^{ 2 }-2\overline { AB } \times \overline { CA } \times \cos { \angle A } \Rightarrow 49=9+64-48\cos { \angle A } \\ \Rightarrow \cos { \angle A } =\frac { 24 }{ 48 } =\frac { 1 }{ 2 } \Rightarrow \angle A=60°$$

故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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13 已知圓方程式: $x^2+y^2-2\sqrt{2}x+6y-1=0$，求此圓的面積=
(A) $12\pi$ (B) $11\pi$  (C) $10\pi$  (D) $9\pi$  (E) $8\pi$
解： $$x^{ 2 }+y^{ 2 }-2\sqrt { 2 } x+6y-1=0\Rightarrow \left( x^{ 2 }-2\sqrt { 2 } x+{ \left( \sqrt { 2 }  \right)  }^{ 2 } \right) +\left( y^{ 2 }+6y+{ 3 }^{ 2 } \right) -1={ \left( \sqrt { 2 }  \right)  }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 }\\ \Rightarrow { \left( x-\sqrt { 2 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( x+3 \right)  }^{ 2 }=2+9+1=12={ \left( 2\sqrt { 3 }  \right)  }^{ 2 }\Rightarrow 半徑=2\sqrt { 3 } \\ \Rightarrow 面積=12\pi$$

故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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14. 設有二向量$\overrightarrow{u}=(1,-2)$、$\overrightarrow{v}=(1,3)$，則$\overrightarrow{u}$和$\overrightarrow{v}$的夾角=
(A) $60^\circ$ (B) $75^\circ$ (C) $120^\circ$ (D) $135^\circ$ (E) $150^\circ$

解： $$\overrightarrow { u } \cdot \overrightarrow { v } =\left| \overrightarrow { u }  \right| \left| \overrightarrow { v }  \right| \cos { \theta  } \Rightarrow 1\times 1-2\times 3=\sqrt { 1+4 } \times \sqrt { 1+9 } \cos { \theta  } \\ \Rightarrow -5=5\sqrt { 2 } \cos { \theta  } \Rightarrow \cos { \theta  } =-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  } \Rightarrow \theta =135°$$

故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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15. 有一個稜邊為10的正立方體，則其外接球的直徑=
(A)$10\sqrt{2}$ (B)$10\sqrt{3}$ (C)$10\sqrt{5}$ (D)$5\sqrt{5}$ (E)$5\sqrt{10}$

解：

經過ABCD與圓心O點的平面如下圖

因此${\overline{AC}}^2={\overline{AB}}^2+{\overline{BC}}^2\Rightarrow (2r)^2=(10\sqrt{2})^2+10^2 = 300\Rightarrow$ 直徑2r = $10\sqrt{3}$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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16. 空間中，一直線$L$通過$A(-1,4,2)$，$B(-5,-2,0)$兩點，若$L$的對稱比例為 $\frac{x+1}{2}=\frac{y-4}{b}=\frac{z-a}{1}$，則實數$a+b$之值= (A) -4  (B) -2 (C) 3 (D) 5 (E) 8
解： $$\begin{cases} \frac { -1+1 }{ 2 } =\frac { 4-4 }{ b } =\frac { 2-a }{ 1 }  \\ \frac { -5+1 }{ 2 } =\frac { -2-4 }{ b } =\frac { 0-a }{ 1 }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 2-a=0 \\ -2=\frac { -6 }{ b } =-a \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=2 \\ b=3 \end{cases}\Rightarrow a+b=5$$

，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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17. 設$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$，若$A^{ 2 }=\begin{bmatrix} x & y \\ z & w \end{bmatrix}$，則實數$y$值= (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1  (E) 0

解： $$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x & y \\ z & w \end{bmatrix}\Rightarrow y=1\times 2+2\times \left( -1 \right) =0$$

故選$\bbox[red,2pt]{(E)}$

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18. 拋物線$y^2-4x-2y-27=0$的焦點？
(A) (-7,1)  (B) (-7,2)  (C) (-6, 1)  (D) (-6, 2)  (E) (1, -8)

解： $$y^{ 2 }-4x-2y-27=0\Rightarrow \left( y^{ 2 }-2y+1 \right) -4x-27=1\Rightarrow { \left( y-1 \right)  }^{ 2 }=4\left( x+7 \right)$$ 頂點坐標為(-7, 1)，因此焦點坐標為(-7+1, 1)=(-6,1)

故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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19. 等比數列$<a_n>$，若$a_2=18$且$a_3=-27$，其公比= (A)$-\frac{3}{2}$ (B)$-\frac{3}{4}$ (C)$\frac{3}{4}$ (D) (A)$\frac{2}{3}$  (E)$\frac{4}{3}$

解： $$\begin{cases} a_{ 2 }=18 \\ a_{ 3 }=-27 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a_{ 1 }r=18 \\ a_{ 1 }r^{ 2 }=-27 \end{cases}\Rightarrow \frac { a_{ 1 }r }{ a_{ 1 }r^{ 2 } } =\frac { 18 }{ -27 } \Rightarrow \frac { 1 }{ r } =-\frac { 2 }{ 3 } \Rightarrow r=-\frac { 3 }{ 2 }$$

故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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20. 設$a, b$皆為實數，若$\left|ax+2\right|\le b$之解為$-3\le x\le 5$，則$a+b=$ (A) -4 (B) -2 (C) 1 (D) 3 (E) 6

解： $$\left| ax+2 \right| \le b\Rightarrow -b\le ax+2\le b\Rightarrow -b-2\le ax\le b-2\\ \Rightarrow \begin{cases} \frac { -b-2 }{ a } \le x\le \frac { b-2 }{ a }  & ifa>0 \\ \frac { -b-2 }{ a } \ge x\ge \frac { b-2 }{ a }  & ifa<0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \begin{cases} \frac { b-2 }{ a } =5 \\ \frac { -b-2 }{ a } =-3 \end{cases} \\ \begin{cases} \frac { b-2 }{ a } =-3 \\ \frac { -b-2 }{ a } =5 \end{cases} \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=-2(不合),b=-8 \\ a=-2,b=8 \end{cases}\\ \Rightarrow a+b=-2+8=6$$

故選$\bbox[red,2pt]{(E)}$

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21. 已知$x,y$為實數，$\sqrt{-1}=i$，且滿足$x+y+i=-10+xyi$，求$\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2=$?
(A) -12  (B) -10  (C) -8  (D) 10 (E) 12

解： $$x+y+i=-10+xyi\Rightarrow \begin{cases} x+y=-10 \\ xy=1 \end{cases}\Rightarrow x<0, y<0\\ \Rightarrow { \left( \sqrt { x } -\sqrt { y }  \right)  }^{ 2 }=x+y-2\sqrt { xy } =-10+2=-8$$

故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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22. 若$2x^4-x^3+ax^2+x+b$可以被$2x^2+x+1$整除，則實數$a+b$= (A) 8  (B) 6  (C)  4  (D)  2 (E) 0

解：利用長除法

因此a=4, b=2, 所以a+b=6，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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23. 設多項式f(x)除以$x^2-5x+4$，餘式為x+2；除以$x^2-5x+6$，餘式為3x+4。則f(x)除以$x^2-4x+3$之餘式？(A) 5x-2  (B) 4x-3  (C) 2x-1  (D) 3x+4  (E) x+2

解： $$f\left( x \right) =\begin{cases} p\left( x \right) \left( x^{ 2 }-5x+4 \right) +\left( x+2 \right)  \\ q\left( x \right) \left( x^{ 2 }-5x+6 \right) +\left( 3x+4 \right)  \\ r\left( x \right) \left( x^{ 2 }-4x+3 \right) +\left( ax+b \right)  \end{cases}=\begin{cases} p\left( x \right) \left( x-4 \right) \left( x-1 \right) +\left( x+2 \right)  \\ q\left( x \right) \left( x-3 \right) \left( x-2 \right) +\left( 3x+4 \right)  \\ r\left( x \right) \left( x-3 \right) \left( x-1 \right) +\left( ax+b \right)  \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} f\left( 3 \right) =3\times 3+4=3a+b \\ f\left( 1 \right) =1+2=a+b \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 3a+b=13 \\ a+b=3 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=5 \\ b=-2 \end{cases}$$

故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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24. 設$\sqrt{-1}=i$，若$\frac{1-3i}{1+i}=a+bi$，且$a,b$皆為實數，求$a+b$= (A) -1 (B) -2 (C) -3 (D) -4 (E) 0

解： $$\frac { 1-3i }{ 1+i } =\frac { \left( 1-3i \right) \left( 1-i \right)  }{ \left( 1+i \right) \left( 1-i \right)  } =\frac { -2-4i }{ 2 } =-1-2i=a+bi\\ \Rightarrow a=-1,b=-2\Rightarrow a+b=-3$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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25. 方程式$\frac{1}{3^x}=\log_{2}{x}$有多少實根？ (A) 0  (B) 1  (C) 2 (D) 3 (E) 無限多個

解：本題相當於求兩曲線$y=\frac{1}{3^x}$及$y=\log_{2}{x}$有幾個交點

故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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26.   將7本相同的書全部分給甲、乙、丙三位學生，每人至少得1本，求分法數有幾種？
(A) 150    (B) 120    (C)  60    (D)32    (E) 15
解：
每人先各分1本書，則此題相當於求 x+y+z=4的非負整數解有幾組？
即$H^3_4=C^6_4=15$，故選$\bbox[red,2pt]{(E)}$

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27. 標準差  =   $\sqrt { \frac { 1 }{ n } \sum _{ k=1 }^{ n }{ { \left( x_{ k }-\mu  \right)  }^{ 2 } }  } =\sqrt { \frac { 1 }{ n } \sum _{ k=1 }^{ n }{ { x_{ k } }^{ 2 }-\mu ^{ 2 } }  }$。今有10個數值資料   $x_1, x_2, x_3,\dots,   x_{10}$，已知$x_1+x_2+x_3+\dots   +x_{10}=160$，$x_1^2+x_2^2+x_3^2+\dots+ x_{10}^2=2720$，求其標準差=
(A) 16    (B)  12    (C)8     (D)4    (E)2

解：

$EX=\mu=160/10=16\Rightarrow (EX)^2=16^2=256,  EX^2=2720/10=272$
標準差=$\sqrt{272-256}=\sqrt{16}=4$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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28.   設台灣民眾手機廠牌持有率分別為：甲30%、乙20%、丙15%、丁10%、不持有手機佔25%。若你此時在街頭看到一位民眾正在使用手機的條件下，則他正在使用甲牌門號的機率是多少？

(A) 40%    (B)30%   (C)  25%   (D) 22.5%   (E) 機率變化萬千，無法預測

解：
使用手機的比率為1-25%=75%，因此答案為30%/75%=40%，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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29. 設$\triangle ABC$的三邊長分別$\overline{AB}=9，\overline{BC}=3，\overline{AC}=8$，則$\triangle ABC$的面積=？
(A)$\sqrt{35}$    (B)$\sqrt{70}$    (C)$2\sqrt{35}$   (D)$6\sqrt{6}$   (E)$3\sqrt{6}$
解：
令s=(9+3+8)/2=10，則$\triangle ABC$的面積=$\sqrt{s(s-9)(s-3)(s-8)}=\sqrt{140}=2\sqrt{35}$

故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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30.   若$90^\circ<x<180^\circ$且$\sin{x}=\frac{4}{5}$，則$\cos{\frac{x}{2}}=$
(A)$\sqrt{\frac{1}{5}}$    (B)$\sqrt{\frac{2}{5}}$   (C)$\sqrt{\frac{3}{5}}$   (D)$\sqrt{\frac{3}{10}}$   (E)$\sqrt{\frac{7}{10}}$

解： $$90°<x<180°,\sin { x } =\frac { 4 }{ 5 } \Rightarrow \cos { x } =-\frac { 3 }{ 5 } =2\cos ^{ 2 }{ \frac { x }{ 2 }  } -1\\ \Rightarrow \cos ^{ 2 }{ \frac { x }{ 2 }  } =\frac { 1 }{ 5 } \Rightarrow \cos { \frac { x }{ 2 }  } =\sqrt { \frac { 1 }{ 5 }  } \left( \because 45°<\frac { x }{ 2 } <90°,\therefore \cos { \frac { x }{ 2 }  } >0 \right)$$

故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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31.   右圖的斜線區域可用下列哪一組不等式表示？

解：
斜線區域在x-y=0的右邊，所以x-y>0；因此只需考慮(B)與(D)
原點在斜線區域內，所以2x+3y+9>0，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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32.   已知$\log{2}=0.3010,\log{3}=0.4771,\log{7}=0.8451$，$23^{100}$是137位數，求$23^{25}$是多少位數？

(A)34    (B) 35    (C)36    (D) 37   (E) 38

解：$23^{100}$是137位數$\Rightarrow   136<\log{23^{100}}<137\Rightarrow   1.36<\log{23}<1.37$
$\Rightarrow   1.36\times 25<25\times\log{23}<1.37  \times 25   \Rightarrow   34<\log{23^{25}}<34.25\Rightarrow \log{23^{25}}$ 是35位數，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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33.   空間中三點   A(2,1,-1)，B(2,3,7)，C(2,-2,2)，求$\triangle   ABC$的面積

(A)30 (B) 25 (C)15    (D) 10   (E) 5

解：
$\overrightarrow{AB}=(0,2,8),\overrightarrow{AC}=(0,-3,3)$
$\triangle   ABC$的面積=$\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|   = \frac{1}{2}\left|(0,2,8)\times(0,-3,3)\right|   =   \frac{1}{2}\left|(30,0,0)\right|  =15$

故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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34.   若$\begin{bmatrix} 1 & -3 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 1 \\ 4 & 1 & 3 & 3 \end{bmatrix}$經過矩陣列運算後，可簡化成矩陣$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 1 & k \end{bmatrix}$，求實數$k$值=

(A)-4    (B)-5    (C)-6  (D)-7    (E)-8

解：
經矩陣列運算所得之兩矩陣代表有相同的聯立解，即 $$\begin{cases} x-3y-2z=0 \\ 2x+y+2z=1 \\ 4x+y+3z=3 \end{cases}\equiv \begin{cases} x=5 \\ y=7 \\ z=k \end{cases}$$
將x=5,y=7,z=k代入x-3y-2z=0可得z=k=-8，故選$\bbox[red,2pt]{(E)}$

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35.   設雙曲線$\tau:\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$，下列哪一個選項是$\tau$的一條漸近線？

(A)4x-3y=0   (B)4x+3y=12    (C)3x+4y=0   (D)3x-4y=12    (E)沒有漸近線

解：由雙曲線方程式可知其漸近線為4x=$\pm$3y，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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36.   方程式   $4\cos{x}=x$有幾個實數解？(A)0個      (B)1個      (C)2個      (D)3個      (E)4個     

解：
此題相當於求$y=x,y=4\cos{x}$兩圖形有幾個交點？

方程式   $y=4\cos{x}$上A、B兩點坐標分別為A($2\pi$,4)、B(-$\pi$,-4)；
因此直線y=x在A、B兩點之上，兩圖形只會交於三點

故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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37.   設$x,y$為實數，且$x^2+y^2=16$，求$3x-4y$的最大值？(A)10     (B)15     (C) 20     (D)25    (E)30

解：

令$x=4\sin{\theta},y=4\cos{\theta}$ ，則 $$3x-4y=12\sin { \theta  } -16\cos { \theta  } =20\left( \frac { 3 }{ 5 } \sin { \theta  } -\frac { 4 }{ 5 } \cos { \theta  }  \right) =20\left( \cos { \alpha  } \sin { \theta  } -\sin { \alpha  } \cos { \theta  }  \right) \\ =20\sin { \left( \theta -\alpha  \right)  } \Rightarrow -20\le 3x-4y\le 20$$
，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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38.   因乾旱水源不足，假設自來水公司計畫在八月1日至八月7日的7天中選擇三天停止供水。若要求停水的日期必須任兩天不相連，則自來水公司共有幾種選擇方式？
(A) 18  (B)15  (C)12  (D)10  (E)8

解：
共有(135)(136)(137)(146)(147)(157)、(246)(247)(257)、(357)，10種方法，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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39.   設每一次擲二枚公正硬幣，若出現兩枚正面得120元，只有一枚正面得40元，沒有正面賠100元。求玩一次所得金額的期望為

(A)得40元    (B)得25元   (C)得10元   (D)不賺不賠   (E)賠5元

解：

正正→得120元、正反→得40元、反正→得40元、反反→賠100元
以上四種情形的機率皆為1/4，所以期望值為(120+40+40-100)/4=25

故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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40.   求$(\sin{54^\circ}+i\cos{54^\circ})^{10}$=
(A)$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}i}{4}$   (B)$\frac{-\sqrt{3}+i}{2}$   (C)$\frac{-1-\sqrt{3}i}{4}$   (D)$-i$   (E)1

解： $${ \left( \sin { 54° } +i\cos { 54° }  \right)  }^{ 10 }={ \left( \cos { 36° } +i\sin { 36° }  \right)  }^{ 10 }=\cos { 360° } +i\sin { 360° } =1$$

故選$\bbox[red,2pt]{(E)}$

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-- END --