105年大學指考數學乙詳解

105學年度指定科目考試試題

數學乙

第壹部分：選擇題（占 76 分 ）
一、單選題

解：$$7x^{ 5 }-2x^{ 4 }+14x^{ 3 }-4x^{ 2 }+7x-2=x^{ 4 }\left( 7x-2 \right) +2x^{ 2 }\left( 7x-2 \right) +\left( 7x-2 \right) \\ =\left( 7x-2 \right) \left( x^{ 4 }+2x^{ 2 }+1 \right) \Rightarrow x=\frac { 2 }{ 7 } $$

故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)

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解：

n=1, m=1-8 共8個；
n=2, m=1,3 共2個；
n=3, m=1,2 共2個;
n=4, m=1 共1個;
n=5, m=1共1個;
n=6, m=1共1個;
n=7,m=1共1個;
n=8,m=1共1個;
總共8+2+2+5=17個，故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)

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解：

(1) (-15,-30)→\(15^2+30^2=1125\)
(2) (-24,12)→\(24^2+12^2=720\)
(3) (-10,-20)-(-20,10)=(10,-30) 比(1)小
(4) (10,20)-(-20,10)=(30,10) 比(1)小
(5) (5,10)+(-28,14)=(-23,24)→23^2+24^2=1105
因此(1)最大，故選\(\bbox[red,2pt]{(1)}\)

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二、多選題

解：
$$\left( 4 \right) f\left( x \right) =g\left( x \right) \left( x-5 \right) { \left( x-6 \right)  }^{ 2 }+5x^{ 2 }+6x+7\\ =g\left( x \right) \left( x-5 \right) { \left( x-6 \right)  }^{ 2 }+5{ \left( x-6 \right)  }^{ 2 }+66x-173\\ ={ \left( x-6 \right)  }^{ 2 }\left[ g\left( x \right) \left( x-5 \right) +5 \right] +66x-173\\ \left( 5 \right) f\left( x \right) =g\left( x \right) \left( x-5 \right) { \left( x-6 \right)  }^{ 2 }+5x^{ 2 }+6x+7\\ =g\left( x \right) \left( x-5 \right) { \left( x-6 \right)  }^{ 2 }+5\left( x-5 \right) { \left( x-6 \right)  }+61x-143\\ =\left( x-5 \right) { \left( x-6 \right)  }\left[ g\left( x \right) \left( x-6 \right) +5 \right] +61x-143\\ $$

故選\(\bbox[red,2pt]{(4,5)}\)

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解：

(1) (甲A丙D)+(乙B丁C)：AD可同車
(2)若甲B同車，則甲A乙B需同一車，又CD不同車，則違反四人一車之要求
(3) (甲A丙D)+(乙B丁C)：乙丙可不同車
(4) (甲A丙D)+(乙B丁C)：丙B可不同車
(5) 由於CD不同車且A乙不同車，所以CA同車

故選\(\bbox[red,2pt]{(2,5)}\)

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解：$$\left( 1 \right) 0<1-\frac { \sqrt { 2 }  }{ 2 } <1\Rightarrow { 10 }^{ 1-\frac { \sqrt { 2 }  }{ 2 }  }>1\\ \left( 2 \right) \begin{cases} \log { a } =1-\frac { \sqrt { 2 }  }{ 2 } =1-0.707=0.293 \\ \log { \sqrt { 3 } =\frac { 1 }{ 2 }  } \log { 3=\frac { 1 }{ 2 } \times 0.4771=0.2385 }  \end{cases}\Rightarrow a>\sqrt { 3 } \\ \left( 3 \right) \begin{cases} \log { a^{ 2 } } =2\times \log { a }  \\ \log { { b }^{ \sqrt { 3 }  } } =\log { { { a }^{ \sqrt { 2 }  } }^{ \sqrt { 3 }  }=\sqrt { 6 } \times \log { a }  }  \end{cases}\Rightarrow { b }^{ \sqrt { 3 }  }>a^{ 2 }\\ \left( 4 \right) \log { b } =\sqrt { 2 } \log { a } =1.414\times 0.293\approx 0.414\Rightarrow { 10 }^{ 0.4 }<b<{ 10 }^{ 0.5 }\\ \left( 5 \right) { \left( ab \right)  }^{ \sqrt { 2 }  }={ \left( a^{ 1+\sqrt { 2 }  } \right)  }^{ \sqrt { 2 }  }=a^{ 2+\sqrt { 2 }  }={ { \left( { 10 }^{ 1-\frac { \sqrt { 2 }  }{ 2 }  } \right)  } }^{ 2+\sqrt { 2 }  }=10\Rightarrow { \left( ab \right)  }^{ \sqrt { 2 }  }=10 $$

故選\(\bbox[red,2pt]{(1,3,4)}\)

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解：

(1) L與x軸交點即為A
(2) L與y軸交點即為B
(3) 以\(\overline{OP}\)為直徑，過O、P畫一圓，C位於此圓上，但此圓與L無交點
(4) P至L的最短矩離為\(\left| \frac { 1+4 }{ \sqrt { 1^{ 2 }+2^{ 2 } }  }  \right| =\sqrt { 5 } >2\)，因此D不在L上
(5)L與\(\overline{OP}\)的中垂線交點即為E

故選\(\bbox[red,2pt]{(1,2,5)}\)

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解：

(1) 累積百分比50%介於2萬及4萬之間，因此中位數位於該區間
(2) 所得介於1萬至2萬的比例最低，抽出該區間的居民也最低
(3) 符合題意之極端情況，平均所得 =$$ 9999\times 0.3+19999\times 0.1+39999\times 0.3+79999\times 0.3\\ = 10000\times 0.3+20000\times 0.1+40000\times 0.3+80000\times 0.3 - 1=41000-1=40999>40000$$
(4) 符合題意之極端情況，平均所得 =$$ 0\times 0.3+10000\times 0.1+20000\times 0.3+40000\times 0.3=19000<20000$$
(5) 假設原平均月所得為\(\mu\)，加入新居民後，平均月所得變成\(\frac{1000\mu+200000}{1001}<\frac{1000\mu+200000}{1000}=\mu+\frac{200000}{1000}
=\mu+200 \Rightarrow 新平均<\mu+200\)

故選\(\bbox[red,2pt]{(1,2,5)}\)

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解：

3白3紅排列共有\(\frac{6!}{3!3!}=20\)種情形，其中

白白白紅紅紅→1種

紅白白+1白2紅→3種

白白紅+1白2紅→3種

共有1+3+3=7種符合條件，機率為\(\frac{7}{20}\)

答：\(\bbox[red,2pt]{\frac{7}{20}}\)

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解：

$$A\times cB=I\Rightarrow \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -2 & x \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} 3c & -2c \\ 2c & cx \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{cases} 9c+4c=1 \\ -6c+2cx=0 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} c=\frac { 1 }{ 13 }  \\ x=3 \end{cases}$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(3,\frac { 1 }{ 13 })}\)

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解：

$$\begin{cases} a_{ 2 }+a_{ 4 }+a_{ 6 }=186 \\ a_{ 3 }+a_{ 7 }=110 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a_{ 1 }+3d=62 \\ a_{ 1 }+4d=55 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a_{ 1 }=83 \\ d=-7 \end{cases}\\ \Rightarrow s_{ n }=\frac { n\left( 166-7\left( n-1 \right) \right) }{ 2 } =\frac { -7n^{ 2 }+173n }{ 2 } \Rightarrow \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { s_{ n } }{ n^2 } } =\frac { -7 }{ 2 } $$

答：\(\bbox[red,2pt]{\frac { -7 }{ 2 }}\)

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解：$$(1)\begin{cases} x+y+y+x+y+y=1 \\ x+2y+3y+4x+5y+6y=3 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 2x+4y=1 \\ 5x+16y=3 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=\frac { 1 }{ 3 } \\ y=\frac { 1 }{ 12 } \end{cases}$$

(2)點數和為3的情形：1+2或2+1，機率為\(xy+yx=2xy=2\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{12}=\frac{1}{18}\)

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解：

假設該公司向政府承租平地\(x\)單位，及山坡地\(y\)單位。
公司需付政府30x+20y萬元，且需低於公司地租金的上限，即30x+20y<80；
公司需付出種植成為40x+50y萬元，且需低公司的種植成本，即40x+50y<130；
令a=120x+90y為公司的利潤

先求30x+20y=80、40x+50y與x軸及y 軸的交點A(0,0)、B(8/3,0)、C(2,1)、D(0,13/5)，

以C代入，可求得a=240+90=330為最大值。因此向政府承租平地\(\bbox[red,2pt]{2}\)單位、山坡地\(\bbox[red,2pt]{1}\)單位可獲得最大利潤\(\bbox[red,2pt]{330萬}\)元。

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