105學年度指定科目考試試題
數學甲
第壹部分:選擇題一、單選題
解:(1)a=1⇒log1−logx=log(1−x)⇒log1x=log(1−x)⇒1x=1−x⇒x2−x+1=0⇒判別式1−4=−3<0⇒無實數解(2)a=2⇒log2−logx=log(2−x)⇒log2x=log(2−x)⇒2x=2−x⇒x2−2x+2=0⇒判別式4−8=−4<0⇒無實數解(3)a=3⇒log3−logx=log(3−x)⇒log3x=log(3−x)⇒3x=3−x⇒x2−3x+3=0⇒判別式9−12=−3<0⇒無實數解(4)a=4⇒log4−logx=log(4−x)⇒log4x=log(4−x)⇒4x=4−x⇒x2−4x+4=0⇒(x−2)2=0⇒有一實數解(5)a=5⇒log5−logx=log(5−x)⇒log5x=log(5−x)⇒5x=5−x⇒x2−5x+5=0⇒判別式25−20=5>0⇒有相異實數解
故選(5)
解:
cos2.6π=cos0.6π=cos108∘=xr,見上圖。
由於r≈y>>x,因此xr≈xy=cot108∘
故選(3)
解:
(1)cosA=52+62−822×5×6=−120⇒→AB⋅→AC=5×6×−120=−32(2)→AB⋅→CA=−(→AB⋅→AC)=32(3)cosB=52+82−622×5×8=5380⇒→AB⋅→BC=−(→BA⋅→BC)=−5×8×5380=−532(4)→AB⋅→CB=−(→AB⋅→BC)=532(5)→AB⋅→AB=5×5=25
故選(4)
解:
ax2+bx=ax+b⇒ax2+(b−a)x−b=0⇒切點只有一個,判別式(a−b)2+4ab=0⇒(a+b)2=0⇒−a=b⇒ax2−2ax+a=0⇒a(x−1)2=0⇒切點位於x=1⇒切點坐標為(1,a+b)=(1,0)
故選(1)
二、多選題
解:
(1) 平面E的法向量應為→OP=(2,2,1)
(2) 點(4, 4, 2)在直線¯OP上,且點P是原點與點(4,4,2)的中點,所以點P也是E上距離(4,4,2)最近的點。
(3) 平面E的方程式為2(x−2)+2(y−2)+(z−1)=0⇒2x+2y+z=9,點(0,0,9)符合該方程式,所以點(0,0,9)在平面E上
(4) 點(2,2,-8)至平面E的距離=|4+4−8−9√22+22+12|=3
(5) 過原點與點(2,2,-8)的直線L,其向量為(2,2,-8)=2(1,1,-4),因此L為(t,t,−4t);將L代入E可得 2t+2t−4t−9=−9≠0⇒L與平面不相交。
故選(2,3)
解:M=[abcd]⇒{[abcd][3−2]=[32][abcd][32]=−[32]⇒{{3a−2b=33c−2d=2{3a+2b=−33c+2d=2⇒M=[0−32230]
(1) M不是鏡射變換
(2) 符合題意所述
(3) {MC=[0−32230][−32]=[−3−2]=DMD=[0−32230][−3−2]=[3−2]=A
(4) |M|=|0−32230|=1≠−1
(5) M3=[0−32230][0−32230][0−32230]=[−100−1][0−32230]=[032−230]=−M
故選(2,3,5)
解:
令A、B在第n秒時的位置分別是an及bn,則
an=1+12+122+⋯+12n−1=2−12n−1
bn=8−4−43−432−⋯−43n−1=8−4(1+13+⋯+13n−1)=2(1+13n−1)
⇒cn=12(an+bn)=2+13n−1−12n
(1) c1=2+1−12=52
(2) c2=2+13−14=2512<c1
(3) cn+1−cn=2+13n−12n+1−(2+13n−1−12n)=12n+1−23n,不是等比數列
(4) limn→∞cn=limn→∞{2+13n−1−12n}=2
(5)c_{ 1000 }=2+\frac { 1 }{ 3^{ 999 } } -\frac { 1 }{ 2^{ 1000 } } =2+\frac { 2^{ 1000 }-3^{ 999 } }{ 3^{ 999 }\times 2^{ 1000 } } \\ \log { 3^{ 999 } } =1000\log { 3 } -\log { 3 } =1000\times 0.4771-0.4771\approx 476.2\\ \log { 2^{ 1000 } } =1000\log { 2 } =1000\times 0.301=301\\ \Rightarrow \log { 3^{ 999 } } >\log { 2^{ 1000 } } \Rightarrow c_{ 1000 }<2
故選\bbox[red,2pt]{(1,4)}
三、選填題
解:
最初兩次的投擲中曾經出現過正面的情形為(正反)(反正)(正正),機率為3/4;
最初兩次的投擲中曾經出現過正面且8次投擲恰好出現3次正面的情形:
正反+剩下6次中恰好出現2次正面→共\frac{6!}{4!}{2!}=15種情形
反正+剩下6次中恰好出現2次正面→共\frac{6!}{4!}{2!}=15種情形
正正+剩下6次中恰好出現1次正面→共6種情形
以上共有15+15+6=36種情形,機率為\frac{36}{2^8},條件機率為\frac{\frac{36}{2^8}}{\frac{3}{4}}=\bbox[red,2pt]{\frac{3}{16}}
解:\vec { u } \times \vec { v } =\left( 1,2,3 \right) \times \left( 1,0,-1 \right) =\left( -2,4,-2 \right) \Rightarrow \vec { w } =\left( -2a,4a,-2a \right) \\ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & -1 \\ x & y & z \end{vmatrix}=-12\Rightarrow 3y-2x-2z+y=-12\Rightarrow -2x+4y-2z=-12\Rightarrow 4a+16a+4a=-12\\ \Rightarrow a=-\frac { 1 }{ 2 } \Rightarrow \vec { w } =\left( \bbox[red,2pt]{1,-2,1} \right) =\left( x,y,z \right)
解:
令z=a+bi,其中a,b皆為實數,則z-\bar{z}=-3i\Rightarrow (a+bi)-(a-bi)=-3i \Rightarrow b=-\frac{3}{2}
\left|\sqrt{7}+8i-z\right|=\left|\sqrt{7}+8i-a-bi\right|=\sqrt{{(a-\sqrt{7})}^2+(8+\frac{3}{2})^2}\Rightarrow a=\sqrt{7}有最小值8+\frac{3}{2}=\bbox[red,2pt]{\frac{19}{2}}
解:
這一類的題目只能列舉計算,總共有2^3=8種情形
(1,1,1): 機率=\frac{1}{4^3},期望值=3\times\frac{1}{4^3}=\frac{3}{64}
(1,1,0): 機率=\frac{1}{4^2}\times\frac{3}{4},期望值=2\times\frac{3}{4^3}=\frac{6}{64}
(1,0,1): 機率=\frac{1}{4}\times\frac{3}{4}\times\frac{3}{4}=\frac{9}{64},期望值=2\times \frac{9}{64}=\frac{18}{64}
(1,0,0): 機率=\frac{1}{4}\times\frac{3}{4}\times\frac{1}{4}=\frac{3}{64},期望值=1\times\frac{3}{64} =\frac{3}{64}
(0,1,1): 機率=\frac{3}{4}\times\frac{3}{4}\times\frac{1}{4}=\frac{9}{64},期望值=2\times\frac{9}{64}=\frac{18}{64}
(0,1,0): 機率=\frac{3^3}{4^3}=\frac{27}{64},期望值=1\times\frac{27}{64}=\frac{27}{64}
(0,0,1): 機率=\frac{3}{4}\times\frac{1}{4}\times\frac{3}{4}=\frac{9}{64},期望值=1\times\frac{9}{64}=\frac{9}{64}
(0,0,0): 不用算,反正期望值=0
因此期望值=\frac{3}{64}+\frac{6}{64}+\frac{18}{64}+\frac{3}{64}+\frac{18}{64}+\frac{27}{64}+ \frac{9}{64}=\frac{84}{64}=\frac{21}{16}
答:\bbox[red,2pt]{\frac{21}{16}}
第二部份 非選擇題
解:
(1) \overline{BF}及\overline{BD}皆為切線,所以\overline{BD}=\overline{BF}=\bbox[red, 2pt]{x};
\overline{CD}=\overline{BC}-\overline{BD}=\bbox[red,2pt]{4-x};
\overline{CD}及\overline{CE}皆為切線,所以\overline{CE}=\overline{CD}=4-x \Rightarrow \overline{AE}=\overline{AC}+\overline{CE}=5+(4-x)=\bbox[red,2pt]{9-x};
\overline{AE}及\overline{AF}皆為切線,所以\overline{AE}=\overline{AF},也就是 9-x=6+x\Rightarrow \bbox[red,2pt]{x=\frac{3}{2}}
(2) \overline{BD}:\overline{CD}=\frac{3}{2}:4-\frac{3}{2}=3:5 \Rightarrow \vec{AD}=\frac{5}{8}\vec{AB}+\frac{3}{8}\vec{AC}\Rightarrow \bbox[red,2pt]{\alpha =\frac{5}{8}, \beta=\frac{3}{8}}
解:
(1) 由題意知 :在0\le x\le 3)範圍中, f(0)=f(2)=12有最大值。若不考慮x範圍,一般的3次多項式只有一個極大值。因此x=0落在邊界上,而非斜率=0上。因此圖形為
由上圖可知: x 越大則f(x)越小,因此a<0;
(2)y=f(x)-12的圖形為上圖往下移12,即為下圖
由圖形可知, x=0, x=2為 f(x)-12=0的根,且x=0為二重根。因此f(x)-12=ax(x-2)^2 \Rightarrow f(x)=ax(x-2)^2+12。又\int _{ 0 }^{ x }{ f\left( t \right) } dt=G\left( x \right) -G\left( 0 \right) \Rightarrow f\left( x \right) =G'\left( x \right) \Rightarrow G'\left( 1 \right) =0=f\left( 1 \right) \\ \Rightarrow a\times 1\times { \left( 1-2 \right) }^{ 2 }+12=0\Rightarrow \bbox[red,2pt]{a=-12}
(3)G'\left( x \right) =f\left( x \right) =-12x{ \left( x-2 \right) }^{ 2 }+12=-12\left[ x{ \left( x-2 \right) }^{ 2 }-1 \right] =-12\left( x^{ 3 }-4x^{ 2 }+4x-1 \right) \\ =-12\left( x-1 \right) \left( x^{ 2 }-3x+1 \right) =-12\left( x-1 \right) \left( x-\frac { 3-\sqrt { 5 } }{ 2 } \right) \left( x-\frac { 3+\sqrt { 5 } }{ 2 } \right)
由f(x)=0的圖形及其根的相對位置如上圖;又\int _{ 0 }^{ x }{ f\left( t \right) } dt其實就計算面積,面積最小值出現在x=0(G(0)=0,面積為0)或x=1時(黃色面積為負值、綠色面積為正值,若黃色面積>綠色面積,其值就比G(0)=0還小);因此我們要確定G(0)與G(1)誰比較小?G\left( 1 \right) -G\left( 0 \right) =\int _{ 0 }^{ 1 }{ f\left( t \right) } dt=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( -12x^{ 3 }+48x^{ 2 }-48x+12 \right) } dt\\ =\left. \left[ -3x^{ 4 }+16x^{ 3 }-24x^{ 2 }+12x \right] \right| ^{ 1 }_{ 0 }=-3+16-24+12=1\\ \Rightarrow G\left( 1 \right) -G\left( 0 \right) =1\Rightarrow G\left( 1 \right) >G\left( 0 \right) 因此當x=0,G(x)=0最小。
-- END --
選填D那樣寫是嗑了什麼藥 為什麼不用轉移矩陣
回覆刪除第七題Bn的一般項似乎把3打成2了喔
回覆刪除己修訂,謝謝通知
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