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2018年2月24日 星期六

105年大學指考數學甲詳解


105學年度指定科目考試試題
數學甲
第壹部分:選擇題
一、單選題



解:(1)a=1log1logx=log(1x)log1x=log(1x)1x=1xx2x+1=014=3<0(2)a=2log2logx=log(2x)log2x=log(2x)2x=2xx22x+2=048=4<0(3)a=3log3logx=log(3x)log3x=log(3x)3x=3xx23x+3=0912=3<0(4)a=4log4logx=log(4x)log4x=log(4x)4x=4xx24x+4=0(x2)2=0(5)a=5log5logx=log(5x)log5x=log(5x)5x=5xx25x+5=02520=5>0
故選(5)




解:
cos2.6π=cos0.6π=cos108=xr,見上圖。
由於ry>>x,因此xrxy=cot108
故選(3)


解:

(1)cosA=52+62822×5×6=120ABAC=5×6×120=32(2)ABCA=(ABAC)=32(3)cosB=52+82622×5×8=5380ABBC=(BABC)=5×8×5380=532(4)ABCB=(ABBC)=532(5)ABAB=5×5=25
故選(4)



解:
ax2+bx=ax+bax2+(ba)xb=0,(ab)2+4ab=0(a+b)2=0a=bax22ax+a=0a(x1)2=0x=1(1,a+b)=(1,0)
故選(1)


二、多選題

解:
(1)   平面E的法向量應為OP=(2,2,1)
(2)   點(4,  4, 2)在直線¯OP上,且點P是原點與點(4,4,2)的中點,所以點P也是E上距離(4,4,2)最近的點。
(3)   平面E的方程式為2(x2)+2(y2)+(z1)=02x+2y+z=9,點(0,0,9)符合該方程式,所以點(0,0,9)在平面E上
(4)   點(2,2,-8)至平面E的距離=|4+48922+22+12|=3
(5)   過原點與點(2,2,-8)的直線L,其向量為(2,2,-8)=2(1,1,-4),因此L為(t,t,4t);將L代入E可得   2t+2t4t9=90L與平面不相交。
故選(2,3)




解:M=[abcd]{[abcd][32]=[32][abcd][32]=[32]{{3a2b=33c2d=2{3a+2b=33c+2d=2M=[032230]
(1) M不是鏡射變換
(2)   符合題意所述
(3)   {MC=[032230][32]=[32]=DMD=[032230][32]=[32]=A
(4) |M|=|032230|=11
(5) M3=[032230][032230][032230]=[1001][032230]=[032230]=M
故選(2,3,5)




解:
AB在第n秒時的位置分別是anbn,則
an=1+12+122++12n1=212n1
bn=844343243n1=84(1+13++13n1)=2(1+13n1)
cn=12(an+bn)=2+13n112n
(1) c1=2+112=52
(2)   c2=2+1314=2512<c1
(3)   cn+1cn=2+13n12n+1(2+13n112n)=12n+123n,不是等比數列
(4) limncn=limn{2+13n112n}=2
(5)c_{ 1000 }=2+\frac { 1 }{ 3^{ 999 } } -\frac { 1 }{ 2^{ 1000 } } =2+\frac { 2^{ 1000 }-3^{ 999 } }{ 3^{ 999 }\times 2^{ 1000 } } \\ \log { 3^{ 999 } } =1000\log { 3 } -\log { 3 } =1000\times 0.4771-0.4771\approx 476.2\\ \log { 2^{ 1000 } } =1000\log { 2 } =1000\times 0.301=301\\ \Rightarrow \log { 3^{ 999 } } >\log { 2^{ 1000 } } \Rightarrow c_{ 1000 }<2
故選\bbox[red,2pt]{(1,4)}

三、選填題
解:
最初兩次的投擲中曾經出現過正面的情形為(正反)(反正)(正正),機率為3/4;
最初兩次的投擲中曾經出現過正面且8次投擲恰好出現3次正面的情形:
正反+剩下6次中恰好出現2次正面→共\frac{6!}{4!}{2!}=15種情形
反正+剩下6次中恰好出現2次正面→共\frac{6!}{4!}{2!}=15種情形
正正+剩下6次中恰好出現1次正面→共6種情形
以上共有15+15+6=36種情形,機率為\frac{36}{2^8},條件機率為\frac{\frac{36}{2^8}}{\frac{3}{4}}=\bbox[red,2pt]{\frac{3}{16}}



解:\vec { u } \times \vec { v } =\left( 1,2,3 \right) \times \left( 1,0,-1 \right) =\left( -2,4,-2 \right) \Rightarrow \vec { w } =\left( -2a,4a,-2a \right) \\ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & -1 \\ x & y & z \end{vmatrix}=-12\Rightarrow 3y-2x-2z+y=-12\Rightarrow -2x+4y-2z=-12\Rightarrow 4a+16a+4a=-12\\ \Rightarrow a=-\frac { 1 }{ 2 } \Rightarrow \vec { w } =\left( \bbox[red,2pt]{1,-2,1} \right) =\left( x,y,z \right)




解:
z=a+bi,其中a,b皆為實數,則z-\bar{z}=-3i\Rightarrow (a+bi)-(a-bi)=-3i \Rightarrow b=-\frac{3}{2}
\left|\sqrt{7}+8i-z\right|=\left|\sqrt{7}+8i-a-bi\right|=\sqrt{{(a-\sqrt{7})}^2+(8+\frac{3}{2})^2}\Rightarrow a=\sqrt{7}有最小值8+\frac{3}{2}=\bbox[red,2pt]{\frac{19}{2}}



解:
這一類的題目只能列舉計算,總共有2^3=8種情形
(1,1,1):   機率=\frac{1}{4^3},期望值=3\times\frac{1}{4^3}=\frac{3}{64}
(1,1,0):   機率=\frac{1}{4^2}\times\frac{3}{4},期望值=2\times\frac{3}{4^3}=\frac{6}{64}
(1,0,1):   機率=\frac{1}{4}\times\frac{3}{4}\times\frac{3}{4}=\frac{9}{64},期望值=2\times \frac{9}{64}=\frac{18}{64}
(1,0,0):   機率=\frac{1}{4}\times\frac{3}{4}\times\frac{1}{4}=\frac{3}{64},期望值=1\times\frac{3}{64} =\frac{3}{64}
(0,1,1):   機率=\frac{3}{4}\times\frac{3}{4}\times\frac{1}{4}=\frac{9}{64},期望值=2\times\frac{9}{64}=\frac{18}{64}
(0,1,0):   機率=\frac{3^3}{4^3}=\frac{27}{64},期望值=1\times\frac{27}{64}=\frac{27}{64}
(0,0,1):   機率=\frac{3}{4}\times\frac{1}{4}\times\frac{3}{4}=\frac{9}{64},期望值=1\times\frac{9}{64}=\frac{9}{64}
(0,0,0):  不用算,反正期望值=0
因此期望值=\frac{3}{64}+\frac{6}{64}+\frac{18}{64}+\frac{3}{64}+\frac{18}{64}+\frac{27}{64}+ \frac{9}{64}=\frac{84}{64}=\frac{21}{16}
答:\bbox[red,2pt]{\frac{21}{16}}


第二部份 非選擇題


解:
(1) \overline{BF}\overline{BD}皆為切線,所以\overline{BD}=\overline{BF}=\bbox[red, 2pt]{x}
\overline{CD}=\overline{BC}-\overline{BD}=\bbox[red,2pt]{4-x}
\overline{CD}\overline{CE}皆為切線,所以\overline{CE}=\overline{CD}=4-x \Rightarrow \overline{AE}=\overline{AC}+\overline{CE}=5+(4-x)=\bbox[red,2pt]{9-x}
\overline{AE}\overline{AF}皆為切線,所以\overline{AE}=\overline{AF},也就是 9-x=6+x\Rightarrow \bbox[red,2pt]{x=\frac{3}{2}}

(2) \overline{BD}:\overline{CD}=\frac{3}{2}:4-\frac{3}{2}=3:5 \Rightarrow \vec{AD}=\frac{5}{8}\vec{AB}+\frac{3}{8}\vec{AC}\Rightarrow \bbox[red,2pt]{\alpha =\frac{5}{8}, \beta=\frac{3}{8}}




解:
(1) 由題意知 :在0\le  x\le  3)範圍中,  f(0)=f(2)=12有最大值。若不考慮x範圍,一般的3次多項式只有一個極大值。因此x=0落在邊界上,而非斜率=0上。因此圖形為
由上圖可知: x 越大則f(x)越小,因此a<0

(2)y=f(x)-12的圖形為上圖往下移12,即為下圖
由圖形可知, x=0, x=2為 f(x)-12=0的根,且x=0為二重根。因此f(x)-12=ax(x-2)^2 \Rightarrow f(x)=ax(x-2)^2+12。又\int _{ 0 }^{ x }{ f\left( t \right)  } dt=G\left( x \right) -G\left( 0 \right) \Rightarrow f\left( x \right) =G'\left( x \right) \Rightarrow G'\left( 1 \right) =0=f\left( 1 \right) \\ \Rightarrow a\times 1\times { \left( 1-2 \right)  }^{ 2 }+12=0\Rightarrow \bbox[red,2pt]{a=-12}
(3)G'\left( x \right) =f\left( x \right) =-12x{ \left( x-2 \right)  }^{ 2 }+12=-12\left[ x{ \left( x-2 \right)  }^{ 2 }-1 \right] =-12\left( x^{ 3 }-4x^{ 2 }+4x-1 \right) \\ =-12\left( x-1 \right) \left( x^{ 2 }-3x+1 \right) =-12\left( x-1 \right) \left( x-\frac { 3-\sqrt { 5 }  }{ 2 }  \right) \left( x-\frac { 3+\sqrt { 5 }  }{ 2 }  \right)
由f(x)=0的圖形及其根的相對位置如上圖;又\int _{ 0 }^{ x }{ f\left( t \right)  } dt其實就計算面積,面積最小值出現在x=0(G(0)=0,面積為0)或x=1時(黃色面積為負值、綠色面積為正值,若黃色面積>綠色面積,其值就比G(0)=0還小);因此我們要確定G(0)與G(1)誰比較小?G\left( 1 \right) -G\left( 0 \right) =\int _{ 0 }^{ 1 }{ f\left( t \right)  } dt=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( -12x^{ 3 }+48x^{ 2 }-48x+12 \right)  } dt\\ =\left. \left[ -3x^{ 4 }+16x^{ 3 }-24x^{ 2 }+12x \right]  \right| ^{ 1 }_{ 0 }=-3+16-24+12=1\\ \Rightarrow G\left( 1 \right) -G\left( 0 \right) =1\Rightarrow G\left( 1 \right) >G\left( 0 \right) 因此當x=0,G(x)=0最小



--  END  --

3 則留言:

  1. 選填D那樣寫是嗑了什麼藥 為什麼不用轉移矩陣

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  2. 第七題Bn的一般項似乎把3打成2了喔

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