104年大學學測數學科詳解

104 學年度學科能力測驗試題
數學考科詳解

一、單選題

解：
(1) \(a_3 = 3a_2-1=3\times 2-1=5\ne 6\)
(2) \(a_4=4!=24\ne 15\)
(3) 皆符合
(4) \(a_3=2^3-1=7\ne 6\)
(5) \(a_4=3a_3+1=3\times 6+1=19\ne 15\)

故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\)

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解：

$$a_{ 1 }=1,a_{ 2 }=2,a_{ 3 }=4,a_{ 4 }=8\Rightarrow a_{ n }=2^{ n-1 }\Rightarrow \sum _{ k=1 }^{ 30 }{ 2^{ k-1 } } =2^{ 30 }-1\\ =1024^3-1\approx 1000^3-1=1000000000-1 $$

故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)

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解：

(一)A故障就無法運作，故\(p_1=0.1\)

(二)B故障就無法運作，故\(p_2=0.15\)

(三)A故障且B故障就無法運作，故\(p_3=0.1\times 0.15=0.015\)

因此\(p_2>p_1>p_3]\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\)

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解：

方法1：

由於B與C是正八邊形中最右邊的點(x值最大)，B的y軸小於C，所以可以假設ax+by+3=5x-y+3;

現在要求3-bx-ay=3+x-5y最大值的位置，顯然要找y軸最小(A或H)且x較大的點，那就是A點。

方法2：

正八邊的每一內角為\(\frac{6\times 180}{8}=135^\circ\Rightarrow \angle A的外角為45^\circ\)，經過B點的直線(如圖藍色直線)不能碰到C或A，其斜率\(-\frac{a}{b}>\tan{45^\circ}=1 \Rightarrow 0<-\frac{b}{a}<1\)；現在另一條直線的\(斜率-\frac{b}{a}\)，其形狀類似上圖橘色直線，故選\(\bbox[red,2pt]{(1)}\)

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解：

(1) 第十公里的平均心率為188，顯然最高心率一定大於188

(2) 平均步顯然大於1000，所以每步距離小於\(\frac{1000}{1000}=1\)

(3) 心率越大所需的時間越小，不是正相關

(4) 整體而言，步數越多則心率越大，為正相關

(5) 整體而言，步數越多則時間越小，為負相關

故選\(\bbox[red,2pt]{(2,4,5)}\)

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解：

(2) \(f\left( x \right) =\left( x-\frac { 1 }{ 3 }  \right) \left( x-2 \right) =x^{ 2 }-\frac { 7 }{ 3 } x+\frac { 2 }{ 3 }  \)，不是整係數

(3) \(f\left( x \right) ={ \left( x-\sqrt { 2 }  \right)  }^{ 2 }\Rightarrow f\left( -\sqrt { 2 }  \right) ={ \left( -2\sqrt { 2 }  \right)  }^{ 2 }=8\neq 0\)

(4) 虛根一定成對出現

(5)由(4)可知\(f\left( x \right) =\left( x-2i \right) \left( x+2i \right) =x^{ 2 }+4\)

故選\(\bbox[red,2pt]{(1,4,5)}\)

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解：

(1)\(\overline{AC}斜率=\frac{\frac{3}{2}}{2}=\frac{3}{4}\)，而\(\overline{AB}斜率=\frac{1}{2}\)，因此\(\overline{AC}\)斜率較大，因此B在\(\overline{AC}\)之下

(2)\(y=2^x\)的圖形即越右邊越陡，斜率越來越大

(3)Y值越小越接近X軸，所以A點最接近X軸

(4)兩圖形交於C、D兩點

(5)顯然不對稱

故選\(\bbox[red,2pt]{(1,2,4)}\)

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解：

(3)$$\frac { x^{ 2 } }{ 1000^{ 2 } } -\frac { y^{ 2 } }{ 1000^{ 2 } } =1\Rightarrow \frac { a^{ 2 } }{ 1000^{ 2 } } -\frac { b^{ 2 } }{ 1000^{ 2 } } =1\Rightarrow a=1000\Rightarrow b=0\Rightarrow \left| a-b \right| \nless 1$$其他選項皆正確

故選\(\bbox[red,2pt]{(1,2,4,5)}\)

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解：

令M為原點、點H為該圓與X軸的交點，且\(\angle AMH=\alpha\)。由題意可知：\(\theta+90^\circ = 45^\circ\times 3+\alpha \Rightarrow \theta=\alpha+45^\circ\)

(1) \(\vec{MA}=8(\cos{\alpha},\sin{\alpha})\)

(2)\(\vec{MC}=8(\cos{(90^\circ+\alpha)},\sin{(90^\circ+\alpha})) = 8(\cos{(90^\circ+\theta-45^\circ)},\sin{(90^\circ+\theta-45^\circ})) \)

\(= 8(\cos{(45^\circ+\theta)},\sin{(45^\circ+\theta}))\)

(3) \(\vec{MA}\cdot\vec{MA}=8^2=64\)

(4)\(\angle DMB=90^\circ\Rightarrow \vec{MB}\cdot\vec{MD}=0\)

(5)$$\vec { BD } =\vec { BM } +\vec { MD } =-\vec { MB } +\vec { MD } \\ =-8\left( \cos { \left( 45°+\alpha  \right) ,\sin { \left( 45°+\alpha  \right)  }  }  \right) +8\left( \cos { \left( 90°+\theta  \right) ,\sin { \left( 90°+\theta  \right)  }  }  \right) \\ =-8\left( \cos { \theta ,\sin { \theta  }  }  \right) +8\left( \cos { \left( 90°+\theta  \right) ,\sin { \left( 90°+\theta  \right)  }  }  \right) \\ =8\left( \cos { \left( 90°+\theta  \right)  } -\cos { \theta  } ,\sin { \left( 90°+\theta  \right)  } -\sin { \theta  }  \right) $$

故選\(\bbox[red,2pt]{(2,4)}\)

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解：

A的最大值為24(有平板的都有手機)

A的最小值=24+35-45=14

由 A+B=35可知，B的最小值為35-24=11、最大值為35-14=21

由A+C=24可知，C的取小值為24-24=0、最大值為24-14=10

當A最大時，D有最大值=45-35=10

當A最小時，D有最小值=0

因此(A,B,C,D)的值介於(24,11,0,10) 與(14,21,10,0)之間

故選\(\bbox[red,2pt]{(2,3,4)}\)

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解：

$$\begin{cases} \tan { 15° } =\frac { h }{ x }  \\ \tan { 13° } =\frac { h }{ x+37 }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=\frac { h }{ \tan { 15° }  }  \\ h=\left( x+37 \right) \tan { 13° }  \end{cases}\Rightarrow h=\left( \frac { h }{ \tan { 15° }  } +37 \right) \tan { 13° } \\ \Rightarrow h=\frac { \tan { 13° }  }{ \tan { 15° }  } h+37\tan { 13° } \Rightarrow h=\frac { 37\tan { 13° }  }{ 1-\frac { \tan { 13° }  }{ \tan { 15° }  }  } =\frac { 37\tan { 13° } \tan { 15° }  }{ \tan { 15° } -\tan { 13° }  } \\ =\frac { 37\times 0.231\times 0.268 }{ 0.268-0.231 } =\frac { 37\times 0.231\times 0.268 }{ 0.037 } =1000\times 0.231\times 0.268=61.9084$$

答：約\(\bbox[red,2pt]{62}\)公丈

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解：

甲、乙取出不同色球的情形有：

白紅XXX：XXX代表2白2紅任取3球，即2白1紅、1紅2白，共有3+3=6種情形
紅白XXX，XXX代表2白2紅任取二球情形，也是6種情形
甲、乙取出不同色球且戊取得紅球的情形有：
白紅XX紅：XX代表2白1紅任取2球，即白白、白紅、紅白，共有3種情形
紅白XX紅：同上，也是3種情形

因此甲、乙取出不同色球的的條件下，戊取得紅球的機率為\(\frac{3+3}{6+6}=\frac{1}{2}\)

答：\(\bbox[red,2pt]{1/2}\)

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解：

每種花先各種一種，剩下4盆。由於不必擺滿，所以四種花相加小於等於4，即

方法一：

a+b+c+d=4，有\(H^4_4=C^7_4=35\)組非負整數解

a+b+c+d=3，有\(H^4_3=C^6_3=20\)組非負整數解

a+b+c+d=2，有\(H^4_2=C^5_2=10\)組非負整數解

a+b+c+d=1，有\(H^4_1=C^4_1=4\)組非負整數解

a+b+c+d=0，有1組非負整數解

共有35+20+10+4+1=70組解，即買盆栽有\(\bbox[red,2pt]{70}\)種方法。

方法二：

由於可以不必擺滿，因此可以假設有5種變數，即

a+b+c+d+e=4，有\(H^5_4=C^8_4=70\)組非負整數解

答：\(\bbox[red,2pt]{70}\)種

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解：

$$x-y+z=0\cap \begin{cases} x=2 \\ x-y=-2 \\ x+y=2 \end{cases}=\begin{cases} L_{ 1 }=\left( 2,s+2,s \right)  \\ L_{ 2 }=\left( t-2,t,2 \right)  \\ L_{ 3 }=\left( 2-u,u,2u-2 \right)  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} p_{ 1 }=L_{ 1 }\cap L_{ 2 }=(2,4,2) \\ p_{ 2 }=L_{ 2 }\cap L_{ 3 }=(0,2,2) \\ p_{ 3 }=L_{ 3 }\cap L_{ 1 }=(2,0,-2) \end{cases}\\ \Rightarrow \overline { p_{ 1 }p_{ 2 } } +\overline { p_{ 2 }p_{ 3 } } +\overline { p_{ 1 }p_{ 3 } } =\sqrt { 8 } +\sqrt { 24 } +\sqrt { 32 } =2\sqrt { 2 } +2\sqrt { 6 } +4\sqrt { 2 }  =6\sqrt { 2 } +2\sqrt { 6 } $$

答：\(a=\bbox[red,2pt]{6},b=\bbox[red,2pt]{2},c=\bbox[red,2pt]{2},d=\bbox[red,2pt]{6},\)

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解：

\(Q_1\in L_1\Rightarrow Q_1=(2s, -s)\)；同理\(Q_2\in L_2\Rightarrow Q_2=(5t, 3t)\)

令\(P=(x,y)\)，則$$\begin{cases} 5t-2s=-1 \\ 3t+s=17 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} s=8 \\ t=3 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} Q_{ 1 }=(16,-8) \\ Q_{ 2 }=(15,9) \end{cases}\\ \Rightarrow \vec { Q_{ 1 }P } =(-7,9)=(x-16,y+8)\Rightarrow x=9,y=1$$

故P點坐標為\(\bbox[red,2pt]{(9,1)}\)

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解：

$$300\times { \left( 1+3\% \right)  }^{ 3 }-300\times \left( 1+3\%\times 3 \right) =300\left[ { \left( 1+3\% \right)  }^{ 3 }-\left( 1+9\% \right)  \right] =300\left( 1.092727-1.09 \right) \\ =300\times 0.002727=0.8181萬元=8181元$$

答：\(\bbox[red,2pt]{8181}\)元

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解：

$$\begin{cases} A_{ 0 }=36 \\ B_{ 0 }=36 \\ C_{ 0 }=36 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} A_{ 1 }=\frac { 4 }{ 6 } A_{ 0 }+\frac { 1 }{ 6 } B_{ 0 }+\frac { 1 }{ 6 } C_{ 0 }=36 \\ B_{ 1 }=\frac { 1 }{ 6 } A_{ 0 }+\frac { 1 }{ 2 } B_{ 0 }+\frac { 1 }{ 6 } C_{ 0 }=30 \\ C_{ 1 }=\frac { 1 }{ 6 } A_{ 0 }+\frac { 1 }{ 3 } B_{ 0 }+\frac { 4 }{ 6 } C_{ 0 }=42 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} A_{ 2 }=\frac { 4 }{ 6 } A_{ 1 }+\frac { 1 }{ 6 } B_{ 1 }+\frac { 1 }{ 6 } C_{ 1 }=24+5+7=36 \\ B_{ 2 }=\frac { 1 }{ 6 } A_{ 1 }+\frac { 1 }{ 2 } B_{ 1 }+\frac { 1 }{ 6 } C_{ 1 }=6+15+7=28 \\ C_{ 2 }=\frac { 1 }{ 6 } A_{ 1 }+\frac { 1 }{ 3 } B_{ 1 }+\frac { 4 }{ 6 } C_{ 1 }=6+10+28=44 \end{cases}$$

答：\(\bbox[red,2pt]{44}\)

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解：

底面積=\(4\times 4 = 16\)；高=\(\overline{AD}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}\)

角錐體積=\(\frac{1}{3}\times 底面積\times 高=\frac{1}{3}\times16\times\sqrt{5}\)；

 答：\(\bbox[red,2pt]{\frac{16\sqrt{5}}{3}}\)

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解：

假設金字塔的頂點為P，底部為一正方形A、B、C、D，令O為正方形的中心點，則各點座標如下：O(0,0,0)、A(5,5,0)、B(-5,5,0)、C(-5,-5,0)、D(5,-5,0)、P(0,0,2)；

因此$$\vec{PA}=(5,5,-2), \vec{PB}=(-5,5,-2), \vec{PC}=(-5,-5,-2)\\ \Rightarrow \vec{u}=\vec{PA}\times \vec{PB}=(0,20,50), \vec{v}=\vec{PB}\times \vec{PC}=(-20,0,50)\\ \Rightarrow \cos{\theta}=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}=\frac{2500}{\sqrt{2900}\sqrt{2900}}=\frac{25}{29}$$，

答：\(\bbox[red,2pt]{\frac{25}{29}}\)

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解：

$$\sin{C}=\frac{\overline{AB}}{\overline{BC}}\Rightarrow \overline{BC}=\frac{\overline{AB}}{\sin{C}}=\frac{2.85}{0.4695}\approx 6.07\approx 6.1$$

答：\(\bbox[red,2pt]{6.1}\)公尺

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-- END --