106學年度學科能力測驗試題
數學考科
第壹部分：選擇題（占 65 分 ）一、單選題
1. 已知某校老師玩過「寶可夢」的比率為\(r_1\) ，而學生玩過的比率為\(r_2\) ，其中\(r_1\ne r_2\) 。
由下列選項中的資訊，請選出可以判定全校師生玩過「寶可夢」的比率之選項。
(1) 全校老師與學生比率 (2) 全校老師人數 (3) 全校學生人數
(4) 全校師生人數 (5) 全校師生玩過「寶可夢」人數
解：
如果我們知道全校老師與學生比率為\(a:b\)，則全校師生玩過「寶可夢」的比率為$$\frac{a}{a+b}\times r_1+\frac{b}{a+b}\times r_2=\frac{ar_1+br_2}{a+b}$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(1)}\)
2. 某個手機程式，每次點擊螢幕上的數\(a\)後，螢幕上的數會變成\(a^2\)。當一開始時螢幕上的數\(b\) 為正且連續點擊螢幕三次後，螢幕上的數接近\(81^3\) 。試問實數\(b\) 最接近下列哪一個選項？
(1) 1.7 (2) 3 (3) 5.2 (4) 9 (5) 81
\(b\)按一次變成\(b^2\)，再按一次變成\((b^2)^2\)，按第三次後變成\(((b^2)^2)^2=b^8=81^3=3^{12}\)
\(\Rightarrow (b^2)^4=(3^3)^4\Rightarrow b^2=27\Rightarrow b=3\sqrt{3}\approx 3\times 1.732 \approx 5.2\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\)
3. 設\(\Gamma: \frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\)為坐標平面上一雙曲線，且其通過第一象限的漸近線為\(\ell\)。考慮動點\(t,t^2\)，從時間 \(t\)時出發。當\(t>0\) 時，請選出正確的選項。
(1) 此動點不會碰到\(\Gamma\)，也不會碰到 \(\ell\)
(2) 此動點會碰到\(\Gamma\)，但不會碰到 \(\ell\)
(3) 此動點會碰到 \(\ell\)，但不會碰到 \(\Gamma\)
(4) 此動點會先碰到\(\Gamma\)，再碰到 \(\ell\)
(5) 此動點會先碰到\(\ell\)，再碰到 \(\Gamma\)
由雙曲線方程式可知其為上下形，漸近線為\(by=ax\)，另\((t,t^2)\)代表拋物線\(y=x^2\)
由漸近線與拋物線兩方程式可求其在\(x=\frac{a}{b}\)有交點\(A=(\frac{a}{b},\frac{a^2}{b^2})\)
由於漸近線一定在雙曲線下方，所以拋物線會先與直線有交點，再與雙曲線有交點
故選\(\bbox[red,2pt]{(5)}\)
4. 在右下圖的正立方體上有兩質點分別自頂點\(A,C\) 同時出發，各自以等速直線運動分別向頂點 \(B,D\)前進，且在1秒後分別同時到達\(B,D\) 。請選出這段時間兩質點距離關係的正確選項。
(2) 兩質點的距離越來越小
(3) 兩質點的距離越來越大
(4) 在 \(\frac{1}{2}\)秒時兩質點的距離最小
(5) 在 \(\frac{1}{2}\)秒時兩質點的距離最大
由A→B可知: A'=(t,1,0)；由C→D可知：C'=(1,0,t)；A'及C'代表A及C在t時間的座標\(0\le t\le 1\)
則\(\overline{A'C'}=\sqrt{(t-1)^2+1+t^2}=\sqrt{2t^2-2t+2}=\sqrt{2(t-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{2}}\)，因此\(t=\frac{1}{2}\)有最小值。
故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)
5. 下圖是某城市在2016年的各月最低溫（橫軸 ）與最高溫（縱軸 ）的散佈圖。
(1) 最高溫與溫差為正相關，且它們的相關性比最高溫與最低溫的相關性強
(2) 最高溫與溫差為正相關，且它們的相關性比最高溫與最低溫的相關性弱
(3) 最高溫與溫差為負相關，且它們的相關性比最高溫與最低溫的相關性強
(4) 最高溫與溫差為負相關，且它們的相關性比最高溫與最低溫的相關性弱
(5) 最高溫與溫差為零相關
原圖(x=最低溫,y=最高溫)，新圖為(y-x,y)
$$\begin{array}{} (X,Y) & (Y-X,Y)\\\hline (-12,5) & (17,5)\\ (-9,4) & (13,4)\\ (-8,6) & (14,6) \\ (-3,9) & (12,9) \\ (1,9) & (8,9) \\ (3,12) & (9,12) \\ (7,18) & (11,18) \\ (10,21) & (11,21) \\ (15,22) & (7,22) \\ (17,24) & (7,24) \\ (19,27) & (8,27) \\ (20,27)& (7,27)\end{array}$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)
6. 試問有多少個實數 \(x\)滿足\(\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}\)且\(\cos{x^\circ}<\cos{x}\)？
(1) 0個 (2) 1個 (3) 2個 (4) 4個 (5) 無窮多個
解：$$\begin{cases} \frac { \pi }{ 2 } \le x\le \frac { 3\pi }{ 2 } \\ \left( \frac { \pi }{ 2 } \right) ^{ \circ }\le x°\le \left( \frac { 3\pi }{ 2 } \right) ^{ \circ } \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 90°\le x\le 270° \\ 1.57°\le x°\le 4.71° \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} -1\le \cos { x } \le 0 \\ 0<\cos { x° } <1 \end{cases}$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(1)}\)
7. 小明想要安排從星期一到星期五共五天的午餐計畫。他的餐點共有四種選擇：牛肉麵、大滷麵、咖哩飯及排骨飯。小明想要依據下列兩原則來安排他的午餐：
（甲）每天只選一種餐點但這五天中每一種餐點至少各點一次
（乙）連續兩天的餐點不能重複且不連續兩天吃麵食
根據上述原則，小明這五天共有幾種不同的午餐計畫？
(1) 52 (2) 60 (3) 68 (4) 76 (5) 84
由於四種餐點在五天中都要吃到，所以有一種餐點會吃兩次。因此我們可以假設四種情形：
甲：點2次A，其餘各1次，即AABCD來排列。但A、A、B三者不相鄰，只能排成A○A○B，C與D只能排在○的位置。AAB有3種排法，CD有2種排法，共有3X2=6種排法；
乙：點2次B，此情形與甲相同，共有6種排法。
丙：點2次C，其它ABD各一次。CCABD共有\(\frac{5!}{2!}=60\)種情形，但需扣除CC相鄰或AB相鄰。CC相鄰共有4!=24種情形，AB相鄰共有\(\frac{4!}{2!}\times 2=24\)種情形，CC相鄰且AB相鄰共有\(3!\times 2=12\)種情形。因此丙有60-24-24+12=24
丁：點2次D，此情形與丙相同，共有24種排法。
甲+乙+丙+丁=6+6+24+24=60
故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\)
二、多選題
8. 設\(m,n\)為小於或等於4的相異正整數且\(a,b\)為非零實數。已知函數\(f(x)=ax^m\)與函數\(g(x)=bx^n\)的圖形恰有3個相異交點，請選出可能的選項。
(1) \(m,n\)皆為偶數且\(a,b\) 同號
(2) \(m,n\)皆為偶數且\(a,b\) 異號
(3) \(m,n\)皆為奇數且\(a,b\) 同號
(4) \(m,n\)皆為奇數且\(a,b\) 異號
(5) \(m,n\)為一奇一偶
$$ax^{ m }=bx^{ n }\Rightarrow ax^{ m }-bx^{ n }\Rightarrow x^{ n }\left( ax^{ m-n }-b \right) =0\Rightarrow x=0,x^{ m-n }=\frac { b }{ a } \\ 因為有三根\Rightarrow m-n=2且\frac { b }{ a } >0\Rightarrow \left( m,n \right) =\left( 3,1 \right) ,\left( 4,2 \right) 且\frac { b }{ a } >0$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(1,3)}\)
9. 設\(\Gamma\)為坐標平面上的圓，點(0,0)在\(\Gamma\)的外部且點(2,6) 在\(\Gamma\) 的內部。請選出正確的選項。
(1) \(\Gamma\)的圓心不可能在第二象限
(2) \(\Gamma\)的圓心可能在第三象限且此時\(\Gamma\) 的半徑必定大於10
(3) \(\Gamma\)的圓心可能在第一象限且此時\(\Gamma\) 的半徑必定小於10
(4) \(\Gamma\)的圓心可能在 軸上且此時圓心的 \(x\)坐標必定小於10
(5) \(\Gamma\)的圓心可能在第四象限且此時\(\Gamma\) 的半徑必定大於10
令圓心坐標為\(x,y\)，依題意\(x^2+y^2>(x-2)^2+(y-6)^2\Rightarrow x+3y>10\)，其範圍如下圖藍色區域
故選\(\bbox[red,2pt]{(5)}\)
10. 坐標空間中有三直線\(L_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{1},L_2: \begin{cases} x-2y+2z=-4 \\ x+y-4z=5 \end{cases},L_{ 3 }:\begin{cases} x=-t \\ y=-2-t \\ z=4+4t \end{cases},t\)為實數。請選出正確的選項。
(1) \(L_1\) 與 \(L_2\)的方向向量互相垂直
(2) \(L_1\) 與\(L_3\) 的方向向量互相垂直
(3) 有一個平面同時包含 \(L_1\)與\(L_2\)
(4) 有一個平面同時包含 \(L_1\)與\(L_3\)
(5) 有一個平面同時包含 \(L_2\)與 \(L_3\)
\(L_1\)的方向向量\(\vec{u}\)為(2,2,1)
\(L_{ 2 }:\begin{cases} x-2y+2z=-4 \\ x+y-4z=5 \end{cases}\equiv \frac { x-2 }{ 2 } =\frac { y-3 }{ 2 } =\frac { z }{ 1 } \)的方向向量\(\vec{v}\)也是(2,2,1)
(1) \(L_1\) 與 \(L_2\)平行，此選項錯誤
(2)\(L_3\)的方方向量\(\vec{w}\)為(-1,-1,4) \(\vec{u}\cdot\vec{w}=-2-2+4=0\Rightarrow \vec{u}\bot\vec{w}\)此選項正確
(3) \(L_1\) 與 \(L_2\)平行，可以找到一平面同時包含兩者，此選項正確
(4)將\(L_3\)代入\(L_1\)可得$$\frac { -t-1 }{ 2 } =\frac { -t-1 }{ 2 } =\frac { 4+4t }{ 1 } \Rightarrow -t-1=8+8t\Rightarrow t=-1$$此兩線有一交點，可以找到一平面同時包含兩者，此選項正確
(5)將\(L_3\)代入\(L_2\)可得$$\begin{cases} x-2y+2z=-4 \\ x+y-4z=5 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} -t+2(t+2)+2(4t+4)=-4 \\ -t-2-t-4(4+4t)=5 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} t=-\frac { 16 }{ 9 } \\ t=-\frac { 23 }{ 18 } \end{cases}$$兩直線無交點，表示歪斜，此選項錯誤
故選\(\bbox[red,2pt]{(2,3,4)}\)
11. 設最近數學家發現一種新的可以無縫密舖平面的凸五邊形 \(ABCDE\)，其示意圖如下。關於這五邊形，請選出正確的選項。
(1) \(\overline{AD}=2\sqrt{2}\)
(2)\(\angle DAB=45^\circ\)
(3)\(\overline{BD}=2\sqrt{6}\)
(4)\(\angle ABD=45^\circ\)
(5)\(\triangle BCD面積為2\sqrt{2}\)
解：
(1)\(\triangle EDA\)為等腰直角\(\Rightarrow \overline{AD}=2\sqrt{2}\)，此選項正確
(2)\(\angle DAB=105^\circ-45^\circ=60^\circ\)，此選項錯誤
(3)在\(\triangle ABD\)中，利用餘弦定理：$${ \overline { BD } }^{ 2 }={ \overline { AD } }^{ 2 }+{ \overline { AB } }^{ 2 }-2\overline { AD } \times \overline { AB } \times \cos { \angle DAB } \\ =(2\sqrt { 2 } )^{ 2 }+(\sqrt { 6 } +\sqrt { 2 } )^{ 2 }-2\times 2\sqrt { 2 } \times (\sqrt { 6 } +\sqrt { 2 } )\times \cos { 60^{ \circ } } \\ =8+8+4\sqrt { 3 } -(4+4\sqrt { 3 } )=12\Rightarrow \overline { BD } =2\sqrt { 3 } $$，此選項錯誤
(4)在\(\triangle ABD\)中，利用正弦定理：$$\frac { \overline { AD } }{ \sin { \angle ABD } } =\frac { \overline { BD } }{ \sin { \angle DAB } } \Rightarrow \frac { 2\sqrt { 2 } }{ \sin { \angle ABD } } =\frac { 2\sqrt { 3 } }{ \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } } \\ \Rightarrow \sin { \angle ABD } =\frac { \sqrt { 2 } }{ 2 } \Rightarrow \angle ABD=45°$$，此選項正確
(5)在\(\triangle CBD\)中，\({ \overline { CD }}^2=4^2=16\)；又\({ \overline { CB }}^2+{ \overline { BD }}^2 =2^2+(2\sqrt { 3 })^2=4+12=16\)。所以\({ \overline { CD }}^2={ \overline { CB }}^2+{ \overline { BD }}^2\Rightarrow \triangle CBD\)為直角三角形，其面積為\(2\times 2\sqrt { 3 }\div 2 = 2\sqrt { 3 }\)，此選項錯誤
故選\(\bbox[red,2pt]{(1,4)}\)
12. 某班級50位學生，段考國文、英文、數學及格的人數分別為45、39、34人，且英文及格的學生國文也都及格。現假設數學和英文皆及格的有\(x\) 人，數學及格但英文不及格的有 \(y\)人。請選出正確的選項。
(1) \(x+y=39\)
(2) \(y\le 11\)
(3) 三科中至少有一科不及格的學生有\(39-x+y\) 人
(4) 三科中至少有一科不及格的學生最少有11人
(5) 三科中至少有一科不及格的學生最多有27人
(1) \(x+y\)為數學及格人數=34
(2)\(39+y\le 50\Rightarrow y\le 11\)
(3)三科都及格的學生數=\(x\Rightarrow\)至少有一科不及格的學生有\(50-x\)人
(4)(5) \(x+y=34\)且\( y\le 11\Rightarrow 0\le (y=34-x)\le 11\Rightarrow 23\le x\le 34\Rightarrow 16\le 50-x\le 27\Rightarrow \)至少有一科不及格的學生至少16且最多27人。
故選\(\bbox[red,2pt]{(2,5)}\)
13. 空間中有一四面體\(ABCD\)。假設\(\overrightarrow{AD}\)分別與\(\overrightarrow{AB}\)和\(\overrightarrow{AC}\)垂直，請選出正確的選項。
(1)\(\overrightarrow{DB}\cdot\overrightarrow{DC}={\overline{DA}}^2-\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC}\)
(2)若\(\angle BAC\)是直角，則\(\angle BDC\)是直角
(3)若\(\angle BAC\)是銳角，則\(\angle BDC\)是銳角
(4)若\(\angle BAC\)是鈍角，則\(\angle BDC\)是鈍角
(5)若\(\overline{AB}<\overline{DA}\)且\(\overline{AC}<\overline{DA}\)，則\(\angle BDC\)是銳角
解：
(2)$$\angle BAC=90°\Rightarrow \overrightarrow { AB } \cdot \overrightarrow { AC } =0\Rightarrow \overrightarrow { DB } \cdot \overrightarrow { DC } ={ \left| \overrightarrow { DA } \right| }^{ 2 }\neq 0\Rightarrow \angle BDC\neq 90°$$
(3)$$\angle BAC<90°\Rightarrow \overrightarrow { AB } \cdot \overrightarrow { AC } >0\Rightarrow \overrightarrow { DB } \cdot \overrightarrow { DC } ={ \left| \overrightarrow { DA } \right| }^{ 2 }+\overrightarrow { AB } \cdot \overrightarrow { AC } >0\Rightarrow \angle BDC<90°$$
(4)$$\angle BAC>90°\Rightarrow \overrightarrow { AB } \cdot \overrightarrow { AC } <0\Rightarrow \overrightarrow { DB } \cdot \overrightarrow { DC } ={ \left| \overrightarrow { DA } \right| }^{ 2 }+\overrightarrow { AB } \cdot \overrightarrow { AC } 無法判斷正負值$$
(5)$$\overline { AB } <\overline { DA } ,\overline { AC } <\overline { DA } \Rightarrow \overline { AB } \times \overline { AC } <{ \overline { DA } }^{ 2 }\\ \Rightarrow \overrightarrow { DB } \cdot \overrightarrow { DC } ={ \left| \overrightarrow { DA } \right| }^{ 2 }+\overrightarrow { AB } \cdot \overrightarrow { AC } ={ \left| \overrightarrow { DA } \right| }^{ 2 }+\left| \overrightarrow { AB } \right| \left| \overrightarrow { AC } \right| \cos { \angle BAC } \\ \Rightarrow \overrightarrow { DB } \cdot \overrightarrow { DC } >\overline { AB } \times \overline { AC } +\overline { AB } \times \overline { AC } \cos { \angle BAC } =\overline { AB } \times \overline { AC } \left( 1+\cos { \angle BAC } \right) \\ \Rightarrow \overrightarrow { DB } \cdot \overrightarrow { DC } >0\Rightarrow \angle BDC<90°$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(3,5)}\)
第貳部分：選填題
解：$$令f\left( x \right) =px^{ 2 }+qx+r\Rightarrow a_{ n }=a_{ n-1 }+p\left( n-2 \right) ^{ 2 }+q\left( n-2 \right) +r\\ \Rightarrow \begin{cases} a_{ 4 }=12 \\ a_{ 3 }=5 \\ a_{ 2 }=2 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 12=5+4p+2q+r \\ 5=2+p+q+r \\ 2=1+r \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 2p+q=3 \\ p+q=2 \\ r=1 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} p=1 \\ q=1 \\ r=1 \end{cases}\\ \Rightarrow a_{ 5 }=a_{ 4 }+f\left( 3 \right) =12+9p+3q+r=25$$
答：\(\bbox[red,2pt]{(25)}\)
解：
答：\(\bbox[red,2pt]{(\frac { 40 }{ 21 } ,\frac { 25 }{ 21 })}\)
解：
由於都是有理根，所以可能的根為\(\pm1,\pm\frac{1}{5}\)；
正根代入原式會求得a<0，不符要求。因此先以x=-1代入，可得0=0，表示x=-1為其中一根。
\(5x^3+(a+4)x^2+ax+1=(x+1)(5x^2+(a-1)x+1)\)，目前只要考慮\(5x^2+(a-1)x+1=0\)的有理根。
由於a>0，所以\(5x^2+(a-1)x+1=0\)的有理根可能為\(-\frac{1}{5},-1\)。
以\(x=-1\)代入可得\(5-a+1+1=0\Rightarrow a=7\)；
以\(x=-\frac{1}{5}\)代入可得\(\frac{1}{5}+\frac{-a+1}{5}+1=0\Rightarrow a=7\)；
因此a=\(\bbox[red,2pt]{(7)}\)
解：
令首項\(a_1=a\)，公差為\(d\)，將方程組中第2式減第一式，及第3式減去第二式，可得到$$\begin{cases} \left( a_{ 4 }-a_{ 1 } \right) x+(a_{ 2 }-a_{ 5 })y+2(a_{ 6 }-a_{ 3 })z=-2k-6 \\ \left( a_{ 7 }-a_{ 4 } \right) x+(a_{ 5 }-a_{ 8 })y+2(a_{ 9 }-a_{ 6 })z=2k+14 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} 3dx-3dy+6dz=-2k-6 \\ 3dx-3dy+6dz=2k+14 \end{cases}\Rightarrow -2k-6=2k+14\Rightarrow k=-5$$
答：\(\bbox[red,2pt]{(-5)}\)
解：
此題要先求出a及b，再由\(\log{a}及\log{b}內插出\log{x}\)$$\log { x } \approx \frac { 1 }{ 3 } \log { a } +\frac { 2 }{ 3 } \log { b } =\frac { 1 }{ 3 } \left( 1+2\log { 3 } -\log { 2 } \right) +\frac { 2 }{ 3 } \left( 4\log { 2 } +\log { 3 } \right) \\ =\frac { 1 }{ 3 } \log { \left( 10\times 3^{ 2 }\div 2 \right) } +\frac { 2 }{ 3 } \log { \left( 2^{ 4 }\times 3 \right) } =\frac { 1 }{ 3 } \log { 45 } +\frac { 2 }{ 3 } \log { 48 } \\ \Rightarrow a=45,b=48\Rightarrow x=\frac { 2\times 48+45 }{ 2+1 } =47$$
答：\(\bbox[red,2pt]{(47)}\)
解：
跳四步共有\(4^4=256\)種情形，其中以下情況會跳回原點：
A. 上上下下→共有\(\frac{4!}{2!2!}=6\)種情形
B. 左左右右→也是有6種情形
C. 上下左右→共有4! = 24種情形
A+B+C 共有6+6+24=36種情形，機率為\(\frac{36}{256}=\frac{9}{64}\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(\frac{9}{64})}\)
解：
6秒鐘內，甲由A向右移了\(4\times 6=24\)公尺至B，即\(\overline{AB}=24\)；乙由C向北移動了\(3\times 6=18\)公尺至D，即\(\overline{CD}=18\)；其相對位置如下圖：
在直角\(\triangle AGB\)中，\({\overline{GB}}^2=24^2+18^2=900\Rightarrow \overline{GB}=30\)；
\(\triangle AGB\)面積=\(\overline{GB}\times\overline{AH}\div 2 =\overline{AG}\times \overline{AB}\div 2\Rightarrow 30\times\overline{AH}=24\times 18\Rightarrow \overline{AH} =14.4\)
直徑為\(\bbox[red,2pt]{14.4}\)公尺
-- END --
單選6詳解是不是有錯
回覆刪除剛剛又上網(大考中心)查了答案，第六題是(1)，沒錯！
刪除為什麼log那題的最後可以直接不看log計算
回覆刪除最後是由(a,b)推算x, 不是由(log(a),log(b))推算log(x),所以不用計算log........... ←我猜你的意思
刪除第六題詳解應該是1.57°<=x<=4.71°吧
回覆刪除謝謝告知！已修訂
刪除啊啊啊
回覆刪除第五題畫出來應該不會是那樣，若是一直線是零相關而非(4)負相關
回覆刪除還是認真地把圖畫清楚一點，希望這樣比較有助益....謝謝!
刪除為什麼最後一題用線與線距離公式會錯誤
回覆刪除不曉得兩直線方程式為何?我可以幫你檢查檢查!!
刪除就是（根號a>2+b>2）分之（絕對值C1-C2)的那個（不知道你看不看的懂😂
刪除沒事我解決了👌👌打擾了
刪除