106學年度指定科目考試試題
數學乙
第壹部分:選擇題(占 74 分 )一、單選題
1. 設f(x)=x3+ax2+bx+c 為實係數多項式函數。若f(1)=f(2)=0 且f(3)=4 ,則a+2b+c的值是下列哪一個選項?
(1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 4 (5) 5
解:
由於x=1,x=2為函數的解,原函數可以寫成f(x)=(mx+n)(x−1)(x−2);又原函數x3的係數為1,所以原函數可以再簡化成f(x)=(x+n)(x−1)(x−2)。
f(3)=4⇒(n+3)×2×1=4⇒n=−1⇒f(x)=(x−1)(x−1)(x−2)=x3−4x2+5x−2⇒a=−4,b=5,c=−2⇒a+2b+c=−4+10−2=4
故選\bbox[red,2pt]{(4)}
2. 下列哪一個選項的值最大?
(1) \log_2{3} (2) \log_4{6} (3) \log_8{12} (4) \log_{16}{24} (5) \log_{32}{48}
故選\bbox[red,2pt]{(1)}
3. 有一個不公正的骰子,投擲一次出現1 點的機率與出現3 點的機率之和是0.2,出現2 點的機率與出現4 點的機率之和是0.4,出現5 點的機率與出現6 點的機率之和是0.4。試選出正確的選項。
(2) 出現4 點的機率大於出現3 點的機率
(3) 出現偶數點的機率是0.5
(4) 出現奇數點的機率小於0.5
(5) 投擲點數的期望值至少是3
解:
(5)
p(1)+p(3)=0.2 期望值最小出現在p(1)=0.2且p(3)=0,期望值為1\times 0.2+3\times 0=0.2
p(2)+p(4)=0.4 期望值最小出現在p(2)=0.4且p(4)=0,期望值為2\times 0.4+4\times 0=0.8
p(5)+p(6)=0.4 期望值最小出現在p(5)=0.4且p(6)=0,期望值為5\times 0.4+6\times 0=2
期望值至少為0.2+0.8+2=3
故選\bbox[red,2pt]{(5)}
二、多選題
4. 考慮實數a,b,c ,其中a\ne 0。令\Gamma為y=ax^2+bx+c的圖形。試選出正確的選項。
(2) 若a<0,則\Gamma會通過第一象限
(3) 若b^2-4ac>0,則\Gamma會通過第一象限
(4) 若c>0,則\Gamma會通過第一象限
(5) 若c<0,則\Gamma會通過第一象限
(1) 圖形開口向上,一定會通過第一象限
(2) 圖形開口向下,不一定會通過第一象限,如下圖
(3) 有相異二實數解,不一定會通過第一象限,如下圖
(4)若c>0,則\Gamma一定會通過第一象限
(5)若c<0,則\Gamma不一定會通過第一象限,如下圖
5. 設a_1,a_2,\dots,a_n,\dots是一公比為\frac{1}{2}的無窮等比數列且a_1=1。試問以下哪些數列會收斂?\left( 1 \right) -a_{ 1 },-a_{ 2 },\dots ,-a_{ n },\dots \\ \left( 2 \right) a_{ 1 }^{ 2 },a_{ 2 }^{ 2 },\dots ,a_{ n }^{ 2 },\dots \\ \left( 3 \right) \sqrt { a_{ 1 } } ,\sqrt { a_{ 2 } } ,\dots ,\sqrt { a_{ n } } ,\dots \\ \left( 4 \right) \frac { 1 }{ a_{ 1 } } ,\frac { 1 }{ a_{ 2 } } ,\dots ,\frac { 1 }{ a_{ n } } ,\dots \\ \left( 5 \right) \log { a_1 },\log{ a_2 },\dots,\log{ a_n },\dots
只要公比滿足: -1<r\le 1就是收斂數列
(2) r={\frac{1}{2}}^2=\frac{1}{4}
(3) r=\sqrt{{\frac{1}{2}}}<1
(4) r=2
(5) 非等比數列
故選\bbox[red,2pt]{(1,2,3)}
6. 坐標平面上, \Gamma_1為y=\log_2{x}的圖形,\Gamma_2為y=\log_{\frac{1}{2}}{x}的圖形。下列關於\Gamma_1與\Gamma_2的敘述,試選出正確的選項。
(1) \Gamma_1的圖形凹口向下
(2) \Gamma_2的圖形凹口向下
(3) \Gamma_1的圖形均在x軸的上方
(4) \Gamma_2的圖形均在y軸的右方
(5) \Gamma_1與\Gamma_2恰交於一點
(1)\Gamma_1的圖形凹口向下
(2) \Gamma_2的圖形凹口向上
(3) \Gamma_1的y值有正也有負
(4) 真數一定是正數
(5) 兩圖形只交於一點(1,0)
故選\bbox[red,2pt]{(1,4,5)}
7. 小明參加某次國文、英文、數學、自然、社會五個科目的測驗,每一科的分數均為0~100 分。已知小明國英數三科的分數分別為75, 80, 85 分。試問下列哪些選項會讓小明五科成績的平均不低於80 分且五科標準差不大於5 分?
(註:標準差\sigma=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(x-\mu)}^2}
(1) 自然75 分,社會80 分
(2) 自然與社會兩科皆80 分
(3) 自然與社會的平均85 分
(4) 自然與社會兩科之和不低於160 分且兩科差距不超過10 分
(5) 自然與社會兩科的分數都介於80 與82 分之間
解:
(1) 平均值=\frac{75+75+80+80+85}{5}=\frac{75+80+80+80+80}{5}<80(2)平均值=\frac{75+80+80+80+85}{5}=\frac{80+80+80+80+80}{5}=80
標準差=\sqrt{\frac{5^2+0+0+0+5^2}{5}}=\sqrt{10}<5
(3)平均值=\frac{75+80+85+85\times 2}{5}=82>80
若自然100,社會70(取兩科差距最大的情況),則標準差=\sqrt{\frac{7^2+2^2+3^2+{18}^2+{12}^2}{5}}=\sqrt{106}>5
(4)平均值至少為\frac{75+80+85+160}{5}=80
若自然95,社會85(取兩科差距最大的情況),則平均值=84,標準差=\sqrt{\frac{9^2+4^2+1^2+1^2+{11}^2}{5}}=\sqrt{44}>5
(5)自然與社會兩科的分數和至少160,所以平均值至少80
若自然82,社會80(取兩科差距最大的情況),則平均值為80.4,標準差=\sqrt{\frac{{5.4}^2+{0.4}^2+{4.6}^2+{1.6}^2+{0.4}^2}{5}}=\sqrt{10.64}<5
故選\bbox[red,2pt]{(2,5)}
三、選填題
A. 平面向量\overrightarrow{u}和向量\overrightarrow{v}互相垂直,且\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=(4,-7)。若\overrightarrow{u}的長度為6,則\overrightarrow{v}的長度為?
解:
{ \left( \overrightarrow { u } -\overrightarrow { v } \right) }\cdot \left( \overrightarrow { u } -\overrightarrow { v } \right) =\left( 4,-7 \right) \cdot \left( 4,-7 \right) ={ \left| \overrightarrow { u } \right| }^{ 2 }-2\overrightarrow { u } \cdot \overrightarrow { v } +{ \left| \overrightarrow { v } \right| }^{ 2 }\\ \Rightarrow 16+49=6^{ 2 }-0+{ \left| \overrightarrow { v } \right| }^{ 2 }\Rightarrow { \left| \overrightarrow { v } \right| }^{ 2 }=29\Rightarrow \left| \overrightarrow { v } \right| =\sqrt { 29 }
答:\bbox[red,2pt]{(\sqrt { 29 })}
B. 不等式x+y\le 47的所有非負整數解中,滿足x\ge y的解共有?組
由上表可知,共有2\times(1+2+\cdots+24)=24\times 25=600組解
答:\bbox[red,2pt]{(600)}
C. 坐標平面上,有兩點A(4,-1)與B(-2,2)。已知點C(x,y)滿足聯立不等式x+2y\ge 2、x-y\ge -4、y\le 8以及3x+y\le 23,當C點標為?時,\triangle ABC有最大的面積。
解:
A、B兩點恰好在直線x+2y=2上,因此最大面積出現在離該直線最遠距離的C點。即C點為y=8與3x+y=23的交點(5,8)
答:\bbox[red,2pt]{(5,8)}
第貳部分:非選擇題
一、某縣縣政府每週五對全縣居民發放甲、乙兩種彩券,每位居民均可憑身分證免費選擇領取甲券一張或乙券一張。根據長期統計,上週選擇甲券的民眾會有85%在本週維持選擇甲券、15%改選乙券;而選擇乙券的民眾會有35%在本週改選甲券、65%維持乙券。所謂穩定狀態,係指領取甲券及乙券的民眾比例在每週均保持不變。
(1) 試寫出描述上述現象的轉移矩陣。(5 分)
(2) 試問領取甲券和乙券民眾各占全縣居民百分比多少時,會形成穩定狀態?(8 分)
解:
(1)由題意可知0.85x+0.35y=x及0.15x+0.65y=y,相當於\begin{bmatrix} 85\% & 35\% \\ 15\% & 65\% \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}因此轉移矩陣=\bbox[red,2pt]{\begin{bmatrix} 0.85 & 0.35 \\ 0.15 & 0.65 \end{bmatrix}}
(2)由0.85x+0.35y=x\Rightarrow 0.15x=0.35y及x+y=1可得x+\frac{3}{7}x=1\Rightarrow x= \frac{7}{10}。因此甲券占全縣居民的\bbox[red,2pt]{70\%}和乙券占全縣居民的1-70%=\bbox[red,2pt]{30\%}會形成穩定狀態。
二、袋中有紅色代幣4 枚、綠色代幣9 枚、以及藍色代幣若干枚。每一枚紅色、 綠色、藍色代幣分別可兌換50 元、20 元及10 元。現從袋中取出代幣,每一 枚代幣被取出的機率均等。設隨機變數X 代表取出1 枚代幣可兌換的金額 (單位:元);隨機變數Y 代表一次取出2 枚代幣可兌換的金額(單位:元)。 已知X 的期望值為20。
(1) 試問藍色代幣有多少枚?(5 分)
(2) 試問Y\le 50 的機率P(Y\le 50)為何?(8 分)
解:
(1)
假設藍色代幣有a枚,則X 的期望值=\frac{4}{13+a}\times 50+\frac{9}{13+a}\times 20+ \frac{a}{13+a}\times 10=20\Rightarrow \frac{200+180+10a}{13+a}=20\Rightarrow a=12,即藍色代幣有\bbox[red,2pt]{12}枚。
(2)
目前袋中有紅色代幣4 枚、綠色代幣9 枚、以及藍色代幣12枚,共4+9+12=25枚。
任取2枚代幣共有C^{25}_{2}=300種情形,其中Y\le 50的情形有
甲:2枚皆為綠色,Y=20+20=40,共有C^9_2=36種情形
乙:2枚皆為藍色,Y=10+10=20,共有C^{12}_2=66種情形
丙:1枚綠色1枚藍色,Y=20+10=30,共有9\times 12=108種情形
因此機率P(Y\le 50)=\frac{36+66+108}{300}=\frac{210}{300}=\bbox[red,2pt]{0.7}
-- END --
感謝詳解分享
回覆刪除選填題C,圖上的C點不是正確答案,可能引起學弟妹混淆
謝謝提醒,圖形已重新編修過了!
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