106年大學指考數學乙詳解

106學年度指定科目考試試題

數學乙

第壹部分：選擇題（占 74 分 ）
一、單選題

1. 設$f\left(x\right)=x^3+ax^2+bx+c$ 為實係數多項式函數。若$f\left(1\right)=f\left(2\right)=0$ 且$f\left(3\right)=4$ ，則$a+2b+c$的值是下列哪一個選項？
(1) 1    (2) 2     (3) 3   (4) 4    (5) 5

解：
由於$x=1,x=2$為函數的解，原函數可以寫成$f\left(x\right)=(mx+n)(x-1)(x-2)$；又原函數$x^3$的係數為1，所以原函數可以再簡化成$f\left(x\right)=(x+n)(x-1)(x-2)$。
$$f\left(3\right)=4 \Rightarrow (n+3)\times 2\times 1=4 \Rightarrow n=-1 \Rightarrow f\left(x\right)=(x-1)(x-1)(x-2) = x^3-4x^2+5x-2 \\ \Rightarrow a=-4,b=5,c=-2 \Rightarrow a+2b+c = -4+10-2 =4$$

故選$\bbox[red,2pt]{(4)}$

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2. 下列哪一個選項的值最大？

(1) $\log_2{3}$      (2)  $\log_4{6}$      (3)  $\log_8{12}$      (4)  $\log_{16}{24}$      (5)  $\log_{32}{48}$

解： $$\left( 1 \right) \log _{ 2 }{ 3 } \\ \left( 2 \right) \log _{ 4 }{ 6 } =\frac { 1 }{ 2 } \log _{ 2 }{ 6 } =\log _{ 2 }{ { 6 }^{ \frac { 1 }{ 2 } } } \\ \left( 3 \right) \log _{ 8 }{ 12 } =\frac { 1 }{ 3 } \log _{ 2 }{ 12 } =\log _{ 2 }{ { 12 }^{ \frac { 1 }{ 3 } } } \\ \left( 4 \right) \log _{ 16 }{ 24 } =\frac { 1 }{ 4 } \log _{ 2 }{ 24 } =\log _{ 2 }{ { 24 }^{ \frac { 1 }{ 4 } } } \\ \left( 5 \right) \log _{ 32 }{ 48 } =\frac { 1 }{ 5 } \log _{ 2 }{ 48 } =\log _{ 2 }{ { 48 }^{ \frac { 1 }{ 5 } } } \\ 3>{ 6 }^{ \frac { 1 }{ 2 } }>{ 12 }^{ \frac { 1 }{ 3 } }>{ 24 }^{ \frac { 1 }{ 4 } }>{ 48 }^{ \frac { 1 }{ 5 } }\Rightarrow (1)最大$$

故選$\bbox[red,2pt]{(1)}$

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3. 有一個不公正的骰子，投擲一次出現1 點的機率與出現3 點的機率之和是0.2，出現2 點的機率與出現4 點的機率之和是0.4，出現5 點的機率與出現6 點的機率之和是0.4。試選出正確的選項。

(1) 出現1 點的機率是0.1

(2) 出現4 點的機率大於出現3 點的機率

(3) 出現偶數點的機率是0.5

(4) 出現奇數點的機率小於0.5

(5) 投擲點數的期望值至少是3

解：

(1)~(4) 無法完全確定
(5)
p(1)+p(3)=0.2 期望值最小出現在p(1)=0.2且p(3)=0，期望值為$1\times 0.2+3\times 0=0.2$
p(2)+p(4)=0.4 期望值最小出現在p(2)=0.4且p(4)=0，期望值為$2\times 0.4+4\times 0=0.8$
p(5)+p(6)=0.4 期望值最小出現在p(5)=0.4且p(6)=0，期望值為$5\times 0.4+6\times 0=2$
期望值至少為0.2+0.8+2=3

故選$\bbox[red,2pt]{(5)}$

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二、多選題

4. 考慮實數$a,b,c$ ，其中$a\ne 0$。令$\Gamma$為$y=ax^2+bx+c$的圖形。試選出正確的選項。

(1) 若$a>0$，則$\Gamma$會通過第一象限
(2) 若$a<0$，則$\Gamma$會通過第一象限
(3) 若$b^2-4ac>0$，則$\Gamma$會通過第一象限
(4) 若$c>0$，則$\Gamma$會通過第一象限
(5) 若$c<0$，則$\Gamma$會通過第一象限

解：

(1) 圖形開口向上，一定會通過第一象限

(2) 圖形開口向下，不一定會通過第一象限，如下圖

(3) 有相異二實數解，不一定會通過第一象限，如下圖

(4)若$c>0$，則$\Gamma$一定會通過第一象限

(5)若$c<0$，則$\Gamma$不一定會通過第一象限，如下圖

故選$\bbox[red,2pt]{(1,4)}$

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5. 設$a_1,a_2,\dots,a_n,\dots$是一公比為$\frac{1}{2}$的無窮等比數列且$a_1=1$。試問以下哪些數列會收斂？ $$\left( 1 \right) -a_{ 1 },-a_{ 2 },\dots ,-a_{ n },\dots \\ \left( 2 \right) a_{ 1 }^{ 2 },a_{ 2 }^{ 2 },\dots ,a_{ n }^{ 2 },\dots \\ \left( 3 \right) \sqrt { a_{ 1 } } ,\sqrt { a_{ 2 } } ,\dots ,\sqrt { a_{ n } } ,\dots \\ \left( 4 \right) \frac { 1 }{ a_{ 1 } } ,\frac { 1 }{ a_{ 2 } } ,\dots ,\frac { 1 }{ a_{ n } } ,\dots \\ \left( 5 \right) \log { a_1 },\log{ a_2 },\dots,\log{ a_n },\dots$$

解：
只要公比滿足: $-1<r\le 1$就是收斂數列

(1) $r=\frac{1}{2}$
(2) $r={\frac{1}{2}}^2=\frac{1}{4}$
(3) $r=\sqrt{{\frac{1}{2}}}<1$
(4) $r=2$
(5) 非等比數列

故選$\bbox[red,2pt]{(1,2,3)}$

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6. 坐標平面上， $\Gamma_1$為$y=\log_2{x}$的圖形，$\Gamma_2$為$y=\log_{\frac{1}{2}}{x}$的圖形。下列關於$\Gamma_1$與$\Gamma_2$的敘述，試選出正確的選項。
(1) $\Gamma_1$的圖形凹口向下
(2) $\Gamma_2$的圖形凹口向下
(3) $\Gamma_1$的圖形均在$x$軸的上方
(4) $\Gamma_2$的圖形均在$y$軸的右方
(5) $\Gamma_1$與$\Gamma_2$恰交於一點

解：

(1)$\Gamma_1$的圖形凹口向下
(2) $\Gamma_2$的圖形凹口向上
(3) $\Gamma_1$的y值有正也有負
(4) 真數一定是正數
(5) 兩圖形只交於一點(1,0)

故選$\bbox[red,2pt]{(1,4,5)}$

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7. 小明參加某次國文、英文、數學、自然、社會五個科目的測驗，每一科的分數均為0~100 分。已知小明國英數三科的分數分別為75, 80, 85 分。試問下列哪些選項會讓小明五科成績的平均不低於80 分且五科標準差不大於5 分？
（註：標準差$\sigma=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(x-\mu)}^2}$

(1) 自然75 分，社會80 分

(2) 自然與社會兩科皆80 分

(3) 自然與社會的平均85 分

(4) 自然與社會兩科之和不低於160 分且兩科差距不超過10 分

(5) 自然與社會兩科的分數都介於80 與82 分之間

解：

(1) 平均值=$\frac{75+75+80+80+85}{5}=\frac{75+80+80+80+80}{5}<80$
(2)平均值=$\frac{75+80+80+80+85}{5}=\frac{80+80+80+80+80}{5}=80$
標準差=$\sqrt{\frac{5^2+0+0+0+5^2}{5}}=\sqrt{10}<5$
(3)平均值=$\frac{75+80+85+85\times 2}{5}=82>80$
若自然100，社會70(取兩科差距最大的情況)，則標準差=$\sqrt{\frac{7^2+2^2+3^2+{18}^2+{12}^2}{5}}=\sqrt{106}>5$
(4)平均值至少為$\frac{75+80+85+160}{5}=80$
若自然95，社會85(取兩科差距最大的情況)，則平均值=84，標準差=$\sqrt{\frac{9^2+4^2+1^2+1^2+{11}^2}{5}}=\sqrt{44}>5$
(5)自然與社會兩科的分數和至少160，所以平均值至少80
若自然82，社會80(取兩科差距最大的情況)，則平均值為80.4，標準差=$\sqrt{\frac{{5.4}^2+{0.4}^2+{4.6}^2+{1.6}^2+{0.4}^2}{5}}=\sqrt{10.64}<5$

故選$\bbox[red,2pt]{(2,5)}$

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三、選填題

A. 平面向量$\overrightarrow{u}$和向量$\overrightarrow{v}$互相垂直，且$\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=(4,-7)$。若$\overrightarrow{u}$的長度為6，則$\overrightarrow{v}$的長度為？
解：
$${ \left( \overrightarrow { u } -\overrightarrow { v }  \right)  }\cdot \left( \overrightarrow { u } -\overrightarrow { v }  \right) =\left( 4,-7 \right) \cdot \left( 4,-7 \right) ={ \left| \overrightarrow { u }  \right|  }^{ 2 }-2\overrightarrow { u } \cdot \overrightarrow { v } +{ \left| \overrightarrow { v }  \right|  }^{ 2 }\\ \Rightarrow 16+49=6^{ 2 }-0+{ \left| \overrightarrow { v }  \right|  }^{ 2 }\Rightarrow { \left| \overrightarrow { v }  \right|  }^{ 2 }=29\Rightarrow \left| \overrightarrow { v }  \right| =\sqrt { 29 }$$

答：$\bbox[red,2pt]{(\sqrt { 29 })}$

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B. 不等式$x+y\le 47$的所有非負整數解中，滿足$x\ge y$的解共有？組

解：

由上表可知，共有$2\times(1+2+\cdots+24)=24\times 25=600$組解

答：$\bbox[red,2pt]{(600)}$

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C. 坐標平面上，有兩點$A(4,-1)$與$B(-2,2)$。已知點$C(x,y)$滿足聯立不等式$x+2y\ge 2$、$x-y\ge -4$、$y\le 8$以及$3x+y\le 23$，當$C$點標為？時，$\triangle ABC$有最大的面積。
解：

A、B兩點恰好在直線$x+2y=2$上，因此最大面積出現在離該直線最遠距離的C點。即C點為$y=8$與$3x+y=23$的交點(5,8)

答：$\bbox[red,2pt]{(5,8)}$

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第貳部分：非選擇題

一、某縣縣政府每週五對全縣居民發放甲、乙兩種彩券，每位居民均可憑身分證免費選擇領取甲券一張或乙券一張。根據長期統計，上週選擇甲券的民眾會有85%在本週維持選擇甲券、15%改選乙券；而選擇乙券的民眾會有35%在本週改選甲券、65%維持乙券。所謂穩定狀態，係指領取甲券及乙券的民眾比例在每週均保持不變。
(1) 試寫出描述上述現象的轉移矩陣。（5 分）
(2) 試問領取甲券和乙券民眾各占全縣居民百分比多少時，會形成穩定狀態？（8 分）

解：
(1)由題意可知$0.85x+0.35y=x$及$0.15x+0.65y=y$，相當於$\begin{bmatrix} 85\% & 35\% \\ 15\% & 65\% \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$因此轉移矩陣=$\bbox[red,2pt]{\begin{bmatrix} 0.85 & 0.35 \\ 0.15 & 0.65 \end{bmatrix}}$
(2)由$0.85x+0.35y=x\Rightarrow 0.15x=0.35y$及$x+y=1$可得$x+\frac{3}{7}x=1\Rightarrow x= \frac{7}{10}$。因此甲券占全縣居民的$\bbox[red,2pt]{70\%}$和乙券占全縣居民的1-70%=$\bbox[red,2pt]{30\%}$會形成穩定狀態。

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二、袋中有紅色代幣4 枚、綠色代幣9 枚、以及藍色代幣若干枚。每一枚紅色、 綠色、藍色代幣分別可兌換50 元、20 元及10 元。現從袋中取出代幣，每一 枚代幣被取出的機率均等。設隨機變數X 代表取出1 枚代幣可兌換的金額 （單位：元）；隨機變數Y 代表一次取出2 枚代幣可兌換的金額（單位：元）。 已知X 的期望值為20。
(1) 試問藍色代幣有多少枚？（5 分）
(2) 試問$Y\le 50$ 的機率$P(Y\le 50)$為何？（8 分）
解：
(1)
假設藍色代幣有$a$枚，則X 的期望值=$\frac{4}{13+a}\times 50+\frac{9}{13+a}\times 20+ \frac{a}{13+a}\times 10=20\Rightarrow \frac{200+180+10a}{13+a}=20\Rightarrow a=12$，即藍色代幣有$\bbox[red,2pt]{12}$枚。
(2)
目前袋中有紅色代幣4 枚、綠色代幣9 枚、以及藍色代幣12枚，共4+9+12=25枚。
任取2枚代幣共有$C^{25}_{2}=300$種情形，其中$Y\le 50$的情形有
甲：2枚皆為綠色，Y=20+20=40，共有$C^9_2=36$種情形
乙：2枚皆為藍色，Y=10+10=20，共有$C^{12}_2=66$種情形
丙：1枚綠色1枚藍色，Y=20+10=30，共有$9\times 12=108$種情形
因此機率$P(Y\le 50)=\frac{36+66+108}{300}=\frac{210}{300}=\bbox[red,2pt]{0.7}$
-- END --