Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js

網頁

2018年2月16日 星期五

106年大學指考數學甲詳解


106學年度指定科目考試試題
數學甲
第壹部分:選擇題(占 76 分 )
一、單選題

1. 從所有二位正整數中隨機選取一個數,設p是其十位數字小於個位數字的機率。關於p
值的範圍,試選出正確的選項。
(1)0.22p<0.33    (2) 0.33p<0.44     (3) 0.44p<0.55   (4) 0.55p<0.66    (5) 0.66p<0.77

解:
二位正整數10~99,共有90個,其中滿足十位數字小於個位數字的有
12~19,共8個
23~29,共7個
......
78~79,共2個
89~89,共1個
總共有8+7+6+...+1 = 36個,機率為36/90=0.4,故選(2)


2. a=310。關於a5 的範圍,試選出正確的選項。

(1) 25a5<30      (2)  30a5<35     (3)  35a5<40     (4)  40a5<45      (5) 45a5<50

解:
方法一:
loga5=log1053=531.67,而log45=1log2+2log3 = 1-0.301+2X0.4771 = 1.6532<1.67,故選(5)
方法二:
a5=3100000=53800,由於93=729<800<1000=103,所以5×9<a5<5×1045<a5<50故選(5)


3. 試問在0x2π的範圍中,y=3sinx的函數圖形與y=2sin2x的函數圖形有幾個
交點?
(1) 2 個交點    (2) 3 個交點    (3) 4 個交點   (4) 5 個交點  (5) 6 個交點
解:
3sinx=2sin2x=4sinxcosx,若sinx0cosx=34,在0x<2π的範圍中有兩個解;
sinx=0,在0x2π的範圍中有3個解x=0,π,2π
因此共有2+3=5個解,即5個交點,故選(4)


4. 已知一實係數三次多項式f(x)x=1有極大值3,且圖形y=f(x)(4,f(4))之切線方程式為yf(4)+5(x4)=0,試問41f(x)dx之值為下列哪一選項?

(1) -5
(2) -3
(3) 0
(4) 3
(5) 5

解:
f(x)x=1有極大值f(1)=0

切線方程式為yf(4)+5(x4)=0 切線斜率=-5,即f(4)=5

41f(x)dx=f(4)f(1)=50=5
故選(1)


二、多選題

5. uv為兩非零向量,夾角為120。若uu+v垂直,試選出正確的選項。
(1)u的長度是v的長度2倍
(2)vu+v的夾角為30
(3)uuv的夾角為銳角
(4)vuv的夾角為銳角
(5)u+v的長度大於uv的長度
解:




(1)u的長度比v的長度短

(2) vu+v的夾角為12090=30

(3) 由上圖可知:uuv的夾角為銳角

(4) vuv的夾角超過120為鈍角

(5) 由上圖可知:u+v的長度小於uv的長度


故選(2,3)




6. 已知複數z 滿足zn+zn+2=0,其中n為正整數。將z用極式表示為r(cosθ+isinθ),且r>0。試選出正確的選項。
(1) r=1
(2) n不能是偶數
(3) 對給定的n,恰有2n個不同的複數z 滿足題設
(4) θ可能是3π7
(5)  θ可能是4π7

解:
(1)zn+zn+2=0z2n+1+2zn=0(zn+1)2=0zn=1|zn|=|1|r=1
(2) 若n=2z2=1z=±i,也就是說n可以是偶數
(3) zn=1=cosπ+isinπz=cos(2k+1nπ)+isin(2k+1nπ),k=0,1,,n1,因此有n個不同的複數z
(4) 若n=7,k=1時,z=cos(37π)+isin(37π)θ=37π
(5) 由(3)可知θ不可能是4π7
故選(1,4)


7. 設實係數三次多項式f(x)的首項係數為正。已知y=f(x)的圖形和直線y=g(x)x=1相切,且兩圖形只有一個交點。試選出正確的選項。
(1) f(1)=g(1)
(2)  f(1)=g(1)
(3) f(1)=0
(4) 存在實數a1使得f(a)=g(a)
(5) 存在實數a1使得f(a)=g(a)

解:
(1) 切點即交點,因此f(1)=g(1)
(2)切線斜率=f(1)=g(1)
(3)令h(x)=f(x)g(x),兩圖形只有一個交點,所以h(x)=0只有一個解。又h(1)=f(1)g(1)=0,所以x=1h(x)=0的唯一解,也就是h(x)=m(x1)3h(1)=0=f(1)g(1)f(1)=0g(1)=0
(4)h(x)=m(x1)3f(x)=m(x1)3+g(x),因此f(a)=g(a)3m(a1)2+g(a)=g(a)a 只能為1。
(5)f(a)=g(a)6m(a1)+g(a)=g(a)a 只能為1。

故選(1,2,3)


(3)h(x)=f(x)g(x),{f(1)=g(1)f(1)=g(1){h(1)=0(1)h(1)=0(2)(1)x1h(x)h(x)=(x1)(ax2+bx+c)h(x)=(ax2+bx+c)+(x1)(2ax+b)(2)x1h(x),x1ax2+bx+ch(x)=(x1)(px+r)h(x)=(x1)2(ax+r)x=1x=rah(x)=0,f(x)=g(x)ra=1h(x)=a(x1)3


三、選填題

A. 某高中一年級有忠、孝、仁、愛四班的籃球隊,擬由經抽籤決定的下列賽程進
行單淘汰賽(輸一場即被淘汰):
假設忠班勝過其他任何一班的機率為45,孝班勝過其他任何一班的機率為15,仁、愛兩班的實力相當,勝負機率各為12。若任一場比賽皆須分出勝負,沒有和局。如果冠軍隊可獲得6000 元獎學金,亞軍隊可獲得4000 元獎學金,則孝班可獲得獎學金的期望值為?元

解:
孝班獲得冠軍的情形:忠孝之戰獲勝且冠軍戰也獲勝,機率為15×15=125,期望值為125×6000=240元;
孝班獲得亞軍的情形:忠孝之戰獲勝且冠軍戰失敗,機率為15×45=425,期望值為425×4000=640元;
因此孝班獲得獎學金的期望值為240+640=880元。
答:(880)


B. 坐標平面上有三條直線LL1L2,其中L為水平線,L1L2的斜率分別為3443。已知LL1L2所截出的線段長為30,則LL1L2所決定的三角形的面積為?

解:






假設三角形的高為a,如上圖。
由兩直線的斜率可知4a3+3a4=30a=725 面積=15a=216
答:(216)


C. 坐標平面上,x 坐標與y 坐標均為整數的點稱為格子點。令n 為正整數,Tn為平面上以直線y=12nx+3,以及x軸、y軸所圍成的三角區域(包含邊界),而anTn上的格子點數目,則lim
解:

y=3 有1個格子點;
y=2 有2n+1個格子點;
y=1 有4n+1個格子點;
y=0 有6n+1個格子點;
總共有1+(2n+1)+(4n+1)+(6n+1) = 12n+4個格子點\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { a_{ n } }{ n }  } =\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { 12n+4 }{ n }  } =12

答:\bbox[red,2pt]{(12)}



D、坐標空間中,平面ax+by+cz=0與平面x=0、x+\sqrt{3}y=0的夾角(介於0^\circ到90^\circ之間)都是60^\circ,且a^2+b^2+c^2=12,則(a^2,b^2,c^2)=?
解:


ax+by+cz=0的法向量\vec{u}=(a,b,c)

x=0的法向量\vec{v}=(1,0,0)

x+\sqrt{3}y=0的法向量\vec{w}=(1,\sqrt{3},0)\begin{cases} \vec { u } \cdot \vec { v } =\left| \vec { u } \right| \left| \vec { v } \right| \cos { 60° } \\ \vec { u } \cdot \vec { w } =\left| \vec { u } \right| \left| \vec { w } \right| \cos { 60° } \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \left( a,b,c \right) \cdot \left( 1,0,0 \right) =\sqrt { a^{ 2 }+b^{ 2 }+c^{ 2 } } \times \frac { 1 }{ 2 } \\ \left( a,b,c \right) \cdot \left( 1,\sqrt { 3 } ,0 \right) =\sqrt { a^{ 2 }+b^{ 2 }+c^{ 2 } } \times \sqrt { 4 } \times \frac { 1 }{ 2 } \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} a=\pm \sqrt { 3 } \\ a+\sqrt { 3 } b=2\sqrt { 3 } \end{cases}\Rightarrow \left( a,b \right) =\begin{cases} \left( \sqrt { 3 } ,1 \right) \\ \left( -\sqrt { 3 } ,3 \right) \end{cases}\Rightarrow \left( a,b,c \right) =\begin{cases} \left( \sqrt { 3 } ,1,2\sqrt { 2 } \right) \\ \left( -\sqrt { 3 } ,3,0 \right) \end{cases}\\ \Rightarrow \left( a^{ 2 },b^{ 2 },c^{ 2 } \right) =\begin{cases} \left( 3,1,8 \right) \\ \left( 3,9,0 \right) \end{cases}

答:\bbox[red,2pt]{(3,1,8)或(3,9,0)}

第貳部分:非選擇題

一、在坐標平面上,考慮二階方陣A=\frac { 1 }{ 5 } \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}所定義的線性變換。對於平面上異於原點O的點P_1,設P_1A變換成P_2P_2A變換成P_3。令a=\overline{OP_1}
(1)試求\sin{\angle P_1OP_3}
(2)試以a表示\triangle P_1P_2P_3的面積。
(3)假設P_1是圖形y=\frac{1}{10}x^2-10的動點,試求\triangle P_1P_2P_3面積的最小可能值。

解:
解:
由矩陣可知:A=\frac { 1 }{ 5 } \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac { 4 }{ 5 }  & -\frac { 3 }{ 5 }  \\ \frac { 3 }{ 5 }  & \frac { 4 }{ 5 }  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \cos { \theta  }  & -\sin { \theta  }  \\ \sin { \theta  }  & \cos { \theta  }  \end{bmatrix}即A為一旋轉矩陣,角度為\theta,旋轉狀態如上圖。

(1)\sin{\angle P_1OP_3}=\sin{2\theta}=2\sin{\theta}\cos{\theta}=2\times\frac{3}{5} \times\frac{4}{5} = \bbox[red,2pt]{\frac{24}{25}}
(2)\triangle P_{ 1 }P_{ 2 }P_{ 3 }=\triangle OP_{ 1 }P_{ 2 }+\triangle OP_{ 2 }P_{ 3 }-\triangle OP_{ 1 }P_{ 3 }\\ =\frac { 1 }{ 2 } a^{ 2 }\sin { \theta  } +\frac { 1 }{ 2 } a^{ 2 }\sin { \theta  } -\frac { 1 }{ 2 } a^{ 2 }\sin { 2\theta  } \\ =a^{ 2 }\times \frac { 3 }{ 5 } -a^{ 2 }\times \frac { 3 }{ 5 } \times \frac { 4 }{ 5 } =\bbox[red,2pt]{\frac { 3 }{ 25 } a^{ 2 }}
(3)P_{ 1 }=(m,\frac { 1 }{ 10 } m^{ 2 }-10)\Rightarrow a^{ 2 }={ \overline { OP_{ 1 } }  }^{ 2 }=m^{ 2 }+{ \left( \frac { 1 }{ 10 } m^{ 2 }-10 \right)  }^{ 2 }\\ =\frac { 1 }{ 100 } m^{ 4 }-m^{ 2 }+100=\frac { 1 }{ 100 } { \left( m^{ 2 }-50 \right)  }^{ 2 }+75\\ \Rightarrow \triangle P_{ 1 }P_{ 2 }P_{ 3 }=\frac { 3 }{ 25 } \times \left[ \frac { 1 }{ 100 } { \left( m^{ 2 }-50 \right)  }^{ 2 }+75 \right] =\frac { 3 }{ 2500 } { \left( m^{ 2 }-50 \right)  }^{ 2 }+9\\ \Rightarrow 最小值為\bbox[red,2pt]{9}


二、坐標空間中,O(0,0,0)為原點。平面z=h(其中0\le h\le1)上有一以(0,0,0)為圓心的圓,在此圓上依逆時鐘順序取8 點構成正八邊形P_0P_1P_2P_3P_4P_5P_6P_7,使得各線
\overline{OP_j}(0\le j\le 7)的長度都是1。請參見示意圖。
(1) 試以h 表示向量內積\vec{OP_0}\cdot\vec{OP_4}
(2) 若V(h)為以O 為頂點、正八邊形P_0P_1P_2P_3P_4P_5P_6P_7為底的正八角錐體積,試將V(h)表為h的函數(註:角錐體積=\frac{1}{3}底面積\times 高)。
(3)在\vec{OP_0}\vec{OP_4}夾角不超過90度的條件下,試問正八角錐體積V(h)的最大值為何?
解:


在正八邊形中,P_0P_4的正對面,如上圖。O、P_0、P_4三點構成的平面如下圖:

(1)\vec { OP_{ 0 } } \cdot \vec { OP_{ 4 } } =\left( \vec { OA } +\vec { AP_{ 0 } }  \right) \cdot \left( \vec { OA } +\vec { AP_{ 4 } }  \right) ={ \left| \vec { OA }  \right|  }^{ 2 }+\vec { OA } \cdot \vec { AP_{ 4 } } +\vec { AP_{ 0 } } \cdot \vec { OA } +\vec { AP_{ 0 } } \cdot \vec { AP_{ 4 } } \\ =h^{ 2 }+0+0-{ \left| \vec { AP_{ 0 } }  \right|  }^{ 2 }=h^{ 2 }-\left( 1-h^{ 2 } \right) =\bbox[red,2pt]{2h^{ 2 }-1}
(2)底面積=8\times \frac{1}{2}\times (1-h^2)\times\sin{45^\circ}=2\sqrt{2}(1-h^2),因此角錐體積=V(h)=\frac{1}{3}\times 2\sqrt{2}(1-h^2)\times h=\bbox[red,2pt]{\frac{2\sqrt{2}}{3}(h-h^3)}

(3)V'(h)=0\Rightarrow \frac{2\sqrt{2}}{3}(1-3h^2)=0 \Rightarrow h=\frac{\sqrt{3}}{3}
h=\frac{\sqrt{3}}{3}時,體積V(h)有極值,但不一定是最大值。
由於\vec{OP_0}\vec{OP_4}夾角不超過90度,即\vec { OP_{ 0 } } \cdot \vec { OP_{ 4 } }\ge 0 \Rightarrow 2h^{ 2 }-1\ge 0\Rightarrow h\ge \frac{1}{\sqrt{2}},而\frac{\sqrt{3}}{3}不在此範圍內,所以最值應為V(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{2\sqrt{2}}{3}(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2\sqrt{2}})=\bbox[red,2pt]{\frac{1}{3}}


-- END --

2 則留言:

  1. 請問多選第七題的C選項,老師提到因為f(x)和g(x)只有一個交點,所以h(x)是三重根。那會不會h(x)是一實根兩虛根呢?

    回覆刪除
    回覆
    1. 如果只講f與g只有一個交點,有可能是1實2虛根,但還多了個相切條件;額外補充已寫在該題之後,請參考參考!!!!

      刪除