106年大學學測數學科詳解

106學年度學科能力測驗試題

數學考科

第壹部分：選擇題（占 65 分 ）
一、單選題
1. 已知某校老師玩過「寶可夢」的比率為$r_1$ ，而學生玩過的比率為$r_2$ ，其中$r_1\ne r_2$ 。
由下列選項中的資訊，請選出可以判定全校師生玩過「寶可夢」的比率之選項。
(1) 全校老師與學生比率     (2) 全校老師人數     (3) 全校學生人數
(4) 全校師生人數           (5) 全校師生玩過「寶可夢」人數



解：
如果我們知道全校老師與學生比率為$a:b$，則全校師生玩過「寶可夢」的比率為 $$\frac{a}{a+b}\times r_1+\frac{b}{a+b}\times r_2=\frac{ar_1+br_2}{a+b}$$

故選$\bbox[red,2pt]{(1)}$

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2. 某個手機程式，每次點擊螢幕上的數$a$後，螢幕上的數會變成$a^2$。當一開始時螢幕上的數$b$ 為正且連續點擊螢幕三次後，螢幕上的數接近$81^3$ 。試問實數$b$ 最接近下列哪一個選項？

(1) 1.7      (2) 3      (3) 5.2      (4) 9      (5) 81

解：
$b$按一次變成$b^2$，再按一次變成$(b^2)^2$，按第三次後變成$((b^2)^2)^2=b^8=81^3=3^{12}$
$\Rightarrow (b^2)^4=(3^3)^4\Rightarrow b^2=27\Rightarrow b=3\sqrt{3}\approx 3\times 1.732 \approx 5.2$

故選$\bbox[red,2pt]{(3)}$

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3. 設$\Gamma: \frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$為坐標平面上一雙曲線，且其通過第一象限的漸近線為$\ell$。考慮動點$t,t^2$，從時間 $t$時出發。當$t>0$ 時，請選出正確的選項。
(1) 此動點不會碰到$\Gamma$，也不會碰到 $\ell$
(2) 此動點會碰到$\Gamma$，但不會碰到 $\ell$
(3) 此動點會碰到 $\ell$，但不會碰到 $\Gamma$
(4) 此動點會先碰到$\Gamma$，再碰到 $\ell$
(5) 此動點會先碰到$\ell$，再碰到 $\Gamma$

解：

由雙曲線方程式可知其為上下形，漸近線為$by=ax$，另$(t,t^2)$代表拋物線$y=x^2$
由漸近線與拋物線兩方程式可求其在$x=\frac{a}{b}$有交點$A=(\frac{a}{b},\frac{a^2}{b^2})$
由於漸近線一定在雙曲線下方，所以拋物線會先與直線有交點，再與雙曲線有交點

故選$\bbox[red,2pt]{(5)}$

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4. 在右下圖的正立方體上有兩質點分別自頂點$A,C$ 同時出發，各自以等速直線運動分別向頂點 $B,D$前進，且在1秒後分別同時到達$B,D$ 。請選出這段時間兩質點距離關係的正確選項。

(1) 兩質點的距離固定不變
(2) 兩質點的距離越來越小
(3) 兩質點的距離越來越大
(4) 在 $\frac{1}{2}$秒時兩質點的距離最小
(5) 在 $\frac{1}{2}$秒時兩質點的距離最大

解：

假設O為原點，各D座標如上圖。
由A→B可知: A'=(t,1,0)；由C→D可知：C'=(1,0,t)；A'及C'代表A及C在t時間的座標$0\le t\le 1$
則$\overline{A'C'}=\sqrt{(t-1)^2+1+t^2}=\sqrt{2t^2-2t+2}=\sqrt{2(t-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{2}}$，因此$t=\frac{1}{2}$有最小值。

故選$\bbox[red,2pt]{(4)}$

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5. 下圖是某城市在2016年的各月最低溫（橫軸 ）與最高溫（縱軸 ）的散佈圖。

今以溫差（最高溫減最低溫）為橫軸且最高溫為縱軸重新繪製一散佈圖。試依此選出正確的選項。
(1) 最高溫與溫差為正相關，且它們的相關性比最高溫與最低溫的相關性強
(2) 最高溫與溫差為正相關，且它們的相關性比最高溫與最低溫的相關性弱
(3) 最高溫與溫差為負相關，且它們的相關性比最高溫與最低溫的相關性強
(4) 最高溫與溫差為負相關，且它們的相關性比最高溫與最低溫的相關性弱
(5) 最高溫與溫差為零相關

解：

原圖(x=最低溫,y=最高溫)，新圖為(y-x,y)

$$\begin{array}{} (X,Y) & (Y-X,Y)\\\hline (-12,5) & (17,5)\\ (-9,4) & (13,4)\\ (-8,6) & (14,6) \\ (-3,9) & (12,9) \\ (1,9) & (8,9) \\ (3,12) & (9,12) \\ (7,18) & (11,18) \\ (10,21) & (11,21) \\ (15,22) & (7,22) \\ (17,24) & (7,24) \\ (19,27) & (8,27) \\ (20,27)& (7,27)\end{array}$$

原圖(藍點)與新圖(紅點)可以看出，新圖為負相關，而且接近一條垂直線，也就是相關性較弱

故選$\bbox[red,2pt]{(4)}$

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6. 試問有多少個實數 $x$滿足$\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}$且$\cos{x^\circ}<\cos{x}$？

(1) 0個     (2) 1個     (3) 2個     (4) 4個     (5) 無窮多個

解：
$$\begin{cases} \frac { \pi  }{ 2 } \le x\le \frac { 3\pi  }{ 2 }  \\ \left( \frac { \pi  }{ 2 }  \right) ^{ \circ  }\le x°\le \left( \frac { 3\pi  }{ 2 }  \right) ^{ \circ  } \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 90°\le x\le 270° \\ 1.57°\le x°\le 4.71° \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} -1\le \cos { x } \le 0 \\ 0<\cos { x° } <1 \end{cases}$$

故選$\bbox[red,2pt]{(1)}$

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7. 小明想要安排從星期一到星期五共五天的午餐計畫。他的餐點共有四種選擇：牛肉麵、大滷麵、咖哩飯及排骨飯。小明想要依據下列兩原則來安排他的午餐：
（甲）每天只選一種餐點但這五天中每一種餐點至少各點一次
（乙）連續兩天的餐點不能重複且不連續兩天吃麵食
根據上述原則，小明這五天共有幾種不同的午餐計畫？
(1) 52      (2) 60      (3) 68      (4) 76      (5) 84

解：
由於四種餐點在五天中都要吃到，所以有一種餐點會吃兩次。因此我們可以假設四種情形：

甲：點2次A，其餘各1次，即AABCD來排列。但A、A、B三者不相鄰，只能排成A○A○B，C與D只能排在○的位置。AAB有3種排法，CD有2種排法，共有3X2=6種排法；

乙：點2次B，此情形與甲相同，共有6種排法。

丙：點2次C，其它ABD各一次。CCABD共有$\frac{5!}{2!}=60$種情形，但需扣除CC相鄰或AB相鄰。CC相鄰共有4!=24種情形，AB相鄰共有$\frac{4!}{2!}\times 2=24$種情形，CC相鄰且AB相鄰共有$3!\times 2=12$種情形。因此丙有60-24-24+12=24

丁：點2次D，此情形與丙相同，共有24種排法。

甲+乙+丙+丁=6+6+24+24=60

故選$\bbox[red,2pt]{(2)}$

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二、多選題
8. 設$m,n$為小於或等於4的相異正整數且$a,b$為非零實數。已知函數$f(x)=ax^m$與函數$g(x)=bx^n$的圖形恰有3個相異交點，請選出可能的選項。
(1)  $m,n$皆為偶數且$a,b$ 同號
(2)  $m,n$皆為偶數且$a,b$ 異號
(3)  $m,n$皆為奇數且$a,b$ 同號
(4)  $m,n$皆為奇數且$a,b$ 異號
(5)  $m,n$為一奇一偶

解：
$$ax^{ m }=bx^{ n }\Rightarrow ax^{ m }-bx^{ n }\Rightarrow x^{ n }\left( ax^{ m-n }-b \right) =0\Rightarrow x=0,x^{ m-n }=\frac { b }{ a } \\ 因為有三根\Rightarrow m-n=2且\frac { b }{ a } >0\Rightarrow \left( m,n \right) =\left( 3,1 \right) ,\left( 4,2 \right) 且\frac { b }{ a } >0$$

故選$\bbox[red,2pt]{(1,3)}$

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9. 設$\Gamma$為坐標平面上的圓，點(0,0)在$\Gamma$的外部且點(2,6) 在$\Gamma$ 的內部。請選出正確的選項。
(1)  $\Gamma$的圓心不可能在第二象限
(2)  $\Gamma$的圓心可能在第三象限且此時$\Gamma$ 的半徑必定大於10
(3)  $\Gamma$的圓心可能在第一象限且此時$\Gamma$ 的半徑必定小於10
(4)  $\Gamma$的圓心可能在 軸上且此時圓心的 $x$坐標必定小於10
(5)  $\Gamma$的圓心可能在第四象限且此時$\Gamma$ 的半徑必定大於10

解：
令圓心坐標為$x,y$，依題意$x^2+y^2>(x-2)^2+(y-6)^2\Rightarrow x+3y>10$，其範圍如下圖藍色區域

故選$\bbox[red,2pt]{(5)}$

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10. 坐標空間中有三直線$L_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{1},L_2: \begin{cases} x-2y+2z=-4 \\ x+y-4z=5 \end{cases},L_{ 3 }:\begin{cases} x=-t \\ y=-2-t \\ z=4+4t \end{cases},t$為實數。請選出正確的選項。
(1) $L_1$ 與 $L_2$的方向向量互相垂直
(2) $L_1$ 與$L_3$ 的方向向量互相垂直
(3) 有一個平面同時包含 $L_1$與$L_2$ 
(4) 有一個平面同時包含 $L_1$與$L_3$ 
(5) 有一個平面同時包含 $L_2$與 $L_3$

解：
$L_1$的方向向量$\vec{u}$為(2,2,1)
$L_{ 2 }:\begin{cases} x-2y+2z=-4 \\ x+y-4z=5 \end{cases}\equiv \frac { x-2 }{ 2 } =\frac { y-3 }{ 2 } =\frac { z }{ 1 }$的方向向量$\vec{v}$也是(2,2,1)
(1) $L_1$ 與 $L_2$平行，此選項錯誤
(2)$L_3$的方方向量$\vec{w}$為(-1,-1,4) $\vec{u}\cdot\vec{w}=-2-2+4=0\Rightarrow \vec{u}\bot\vec{w}$此選項正確
(3) $L_1$ 與 $L_2$平行，可以找到一平面同時包含兩者，此選項正確
(4)將$L_3$代入$L_1$可得 $$\frac { -t-1 }{ 2 } =\frac { -t-1 }{ 2 } =\frac { 4+4t }{ 1 } \Rightarrow -t-1=8+8t\Rightarrow t=-1$$ 此兩線有一交點，可以找到一平面同時包含兩者，此選項正確
(5)將$L_3$代入$L_2$可得 $$\begin{cases} x-2y+2z=-4 \\ x+y-4z=5 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} -t+2(t+2)+2(4t+4)=-4 \\ -t-2-t-4(4+4t)=5 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} t=-\frac { 16 }{ 9 }  \\ t=-\frac { 23 }{ 18 }  \end{cases}$$ 兩直線無交點，表示歪斜，此選項錯誤

故選$\bbox[red,2pt]{(2,3,4)}$

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11. 設最近數學家發現一種新的可以無縫密舖平面的凸五邊形 $ABCDE$，其示意圖如下。關於這五邊形，請選出正確的選項。

(1) $\overline{AD}=2\sqrt{2}$
(2)$\angle DAB=45^\circ$
(3)$\overline{BD}=2\sqrt{6}$
(4)$\angle ABD=45^\circ$
(5)$\triangle BCD面積為2\sqrt{2}$
解：

(1)$\triangle EDA$為等腰直角$\Rightarrow \overline{AD}=2\sqrt{2}$，此選項正確
(2)$\angle DAB=105^\circ-45^\circ=60^\circ$，此選項錯誤
(3)在$\triangle ABD$中，利用餘弦定理： $${ \overline { BD }  }^{ 2 }={ \overline { AD }  }^{ 2 }+{ \overline { AB }  }^{ 2 }-2\overline { AD } \times \overline { AB } \times \cos { \angle DAB } \\ =(2\sqrt { 2 } )^{ 2 }+(\sqrt { 6 } +\sqrt { 2 } )^{ 2 }-2\times 2\sqrt { 2 } \times (\sqrt { 6 } +\sqrt { 2 } )\times \cos { 60^{ \circ  } } \\ =8+8+4\sqrt { 3 } -(4+4\sqrt { 3 } )=12\Rightarrow \overline { BD } =2\sqrt { 3 }$$ ，此選項錯誤
(4)在$\triangle ABD$中，利用正弦定理： $$\frac { \overline { AD }  }{ \sin { \angle ABD }  } =\frac { \overline { BD }  }{ \sin { \angle DAB }  } \Rightarrow \frac { 2\sqrt { 2 }  }{ \sin { \angle ABD }  } =\frac { 2\sqrt { 3 }  }{ \frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 }  } \\ \Rightarrow \sin { \angle ABD } =\frac { \sqrt { 2 }  }{ 2 } \Rightarrow \angle ABD=45°$$ ，此選項正確
(5)在$\triangle CBD$中，${ \overline { CD }}^2=4^2=16$；又${ \overline { CB }}^2+{ \overline { BD }}^2 =2^2+(2\sqrt { 3 })^2=4+12=16$。所以${ \overline { CD }}^2={ \overline { CB }}^2+{ \overline { BD }}^2\Rightarrow \triangle CBD$為直角三角形，其面積為$2\times 2\sqrt { 3 }\div 2 = 2\sqrt { 3 }$，此選項錯誤

故選$\bbox[red,2pt]{(1,4)}$

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12. 某班級50位學生，段考國文、英文、數學及格的人數分別為45、39、34人，且英文及格的學生國文也都及格。現假設數學和英文皆及格的有$x$ 人，數學及格但英文不及格的有 $y$人。請選出正確的選項。
(1)  $x+y=39$
(2)  $y\le 11$
(3) 三科中至少有一科不及格的學生有$39-x+y$ 人
(4) 三科中至少有一科不及格的學生最少有11人
(5) 三科中至少有一科不及格的學生最多有27人

解：

(1) $x+y$為數學及格人數=34
(2)$39+y\le 50\Rightarrow y\le 11$
(3)三科都及格的學生數=$x\Rightarrow$至少有一科不及格的學生有$50-x$人
(4)(5) $x+y=34$且$y\le 11\Rightarrow 0\le (y=34-x)\le 11\Rightarrow 23\le x\le 34\Rightarrow 16\le 50-x\le 27\Rightarrow$至少有一科不及格的學生至少16且最多27人。

故選$\bbox[red,2pt]{(2,5)}$

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13. 空間中有一四面體$ABCD$。假設$\overrightarrow{AD}$分別與$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$垂直，請選出正確的選項。
(1)$\overrightarrow{DB}\cdot\overrightarrow{DC}={\overline{DA}}^2-\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC}$
(2)若$\angle BAC$是直角，則$\angle BDC$是直角
(3)若$\angle BAC$是銳角，則$\angle BDC$是銳角
(4)若$\angle BAC$是鈍角，則$\angle BDC$是鈍角
(5)若$\overline{AB}<\overline{DA}$且$\overline{AC}<\overline{DA}$，則$\angle BDC$是銳角
解：

(1) $$\overrightarrow { DB } \cdot \overrightarrow { DC } =\left( \overrightarrow { DA } +\overrightarrow { AB }  \right) \cdot \left( \overrightarrow { DA } +\overrightarrow { AC }  \right) \\ ={ \left| \overrightarrow { DA }  \right|  }^{ 2 }+\overrightarrow { DA } \cdot \overrightarrow { AC } +\overrightarrow { AB } \cdot \overrightarrow { DA } +\overrightarrow { AB } \cdot \overrightarrow { AC } \\ ={ \left| \overrightarrow { DA }  \right|  }^{ 2 }+0+0+\overrightarrow { AB } \cdot \overrightarrow { AC } ={ \left| \overrightarrow { DA }  \right|  }^{ 2 }+\overrightarrow { AB } \cdot \overrightarrow { AC }$$
(2) $$\angle BAC=90°\Rightarrow \overrightarrow { AB } \cdot \overrightarrow { AC } =0\Rightarrow \overrightarrow { DB } \cdot \overrightarrow { DC } ={ \left| \overrightarrow { DA }  \right|  }^{ 2 }\neq 0\Rightarrow \angle BDC\neq 90°$$
(3) $$\angle BAC<90°\Rightarrow \overrightarrow { AB } \cdot \overrightarrow { AC } >0\Rightarrow \overrightarrow { DB } \cdot \overrightarrow { DC } ={ \left| \overrightarrow { DA }  \right|  }^{ 2 }+\overrightarrow { AB } \cdot \overrightarrow { AC } >0\Rightarrow \angle BDC<90°$$
(4) $$\angle BAC>90°\Rightarrow \overrightarrow { AB } \cdot \overrightarrow { AC } <0\Rightarrow \overrightarrow { DB } \cdot \overrightarrow { DC } ={ \left| \overrightarrow { DA }  \right|  }^{ 2 }+\overrightarrow { AB } \cdot \overrightarrow { AC } 無法判斷正負值$$
(5) $$\overline { AB } <\overline { DA } ,\overline { AC } <\overline { DA } \Rightarrow \overline { AB } \times \overline { AC } <{ \overline { DA }  }^{ 2 }\\ \Rightarrow \overrightarrow { DB } \cdot \overrightarrow { DC } ={ \left| \overrightarrow { DA }  \right|  }^{ 2 }+\overrightarrow { AB } \cdot \overrightarrow { AC } ={ \left| \overrightarrow { DA }  \right|  }^{ 2 }+\left| \overrightarrow { AB }  \right| \left| \overrightarrow { AC }  \right| \cos { \angle BAC } \\ \Rightarrow \overrightarrow { DB } \cdot \overrightarrow { DC } >\overline { AB } \times \overline { AC } +\overline { AB } \times \overline { AC } \cos { \angle BAC } =\overline { AB } \times \overline { AC } \left( 1+\cos { \angle BAC }  \right) \\ \Rightarrow \overrightarrow { DB } \cdot \overrightarrow { DC } >0\Rightarrow \angle BDC<90°$$

故選$\bbox[red,2pt]{(3,5)}$

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第貳部分：選填題

解： $$令f\left( x \right) =px^{ 2 }+qx+r\Rightarrow a_{ n }=a_{ n-1 }+p\left( n-2 \right) ^{ 2 }+q\left( n-2 \right) +r\\ \Rightarrow \begin{cases} a_{ 4 }=12 \\ a_{ 3 }=5 \\ a_{ 2 }=2 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 12=5+4p+2q+r \\ 5=2+p+q+r \\ 2=1+r \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 2p+q=3 \\ p+q=2 \\ r=1 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} p=1 \\ q=1 \\ r=1 \end{cases}\\ \Rightarrow a_{ 5 }=a_{ 4 }+f\left( 3 \right) =12+9p+3q+r=25$$

答：$\bbox[red,2pt]{(25)}$

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解：

$$令\overrightarrow { AM } =t\overrightarrow { AP } =t\left( \frac { 1 }{ 2 } \overrightarrow { AB } +\frac { 1 }{ 5 } \overrightarrow { AC }  \right) =\frac { t }{ 2 } \overrightarrow { AB } +\frac { t }{ 5 } \overrightarrow { AC } \\ 由於B,M,C在一直線上\Rightarrow \frac { t }{ 2 } +\frac { t }{ 5 } =1\Rightarrow t=\frac { 10 }{ 7 } \\ \Rightarrow \overrightarrow { AM } =\frac { 10 }{ 7 } \left( \frac { 4 }{ 3 } ,\frac { 5 }{ 6 }  \right) =\left( \frac { 40 }{ 21 } ,\frac { 25 }{ 21 }  \right)$$

答：$\bbox[red,2pt]{(\frac { 40 }{ 21 } ,\frac { 25 }{ 21 })}$

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解：
由於都是有理根，所以可能的根為$\pm1,\pm\frac{1}{5}$；
正根代入原式會求得a<0，不符要求。因此先以x=-1代入，可得0=0，表示x=-1為其中一根。
$5x^3+(a+4)x^2+ax+1=(x+1)(5x^2+(a-1)x+1)$，目前只要考慮$5x^2+(a-1)x+1=0$的有理根。
由於a>0，所以$5x^2+(a-1)x+1=0$的有理根可能為$-\frac{1}{5},-1$。
以$x=-1$代入可得$5-a+1+1=0\Rightarrow   a=7$；
以$x=-\frac{1}{5}$代入可得$\frac{1}{5}+\frac{-a+1}{5}+1=0\Rightarrow   a=7$；

因此a=$\bbox[red,2pt]{(7)}$

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解：
令首項$a_1=a$，公差為$d$，將方程組中第2式減第一式，及第3式減去第二式，可得到 $$\begin{cases} \left( a_{ 4 }-a_{ 1 } \right) x+(a_{ 2 }-a_{ 5 })y+2(a_{ 6 }-a_{ 3 })z=-2k-6 \\ \left( a_{ 7 }-a_{ 4 } \right) x+(a_{ 5 }-a_{ 8 })y+2(a_{ 9 }-a_{ 6 })z=2k+14 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} 3dx-3dy+6dz=-2k-6 \\ 3dx-3dy+6dz=2k+14 \end{cases}\Rightarrow -2k-6=2k+14\Rightarrow k=-5$$

答：$\bbox[red,2pt]{(-5)}$

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解：

此題要先求出a及b，再由$\log{a}及\log{b}內插出\log{x}$ $$\log { x } \approx \frac { 1 }{ 3 } \log { a } +\frac { 2 }{ 3 } \log { b } =\frac { 1 }{ 3 } \left( 1+2\log { 3 } -\log { 2 }  \right) +\frac { 2 }{ 3 } \left( 4\log { 2 } +\log { 3 }  \right) \\ =\frac { 1 }{ 3 } \log { \left( 10\times 3^{ 2 }\div 2 \right)  } +\frac { 2 }{ 3 } \log { \left( 2^{ 4 }\times 3 \right)  } =\frac { 1 }{ 3 } \log { 45 } +\frac { 2 }{ 3 } \log { 48 } \\ \Rightarrow a=45,b=48\Rightarrow x=\frac { 2\times 48+45 }{ 2+1 } =47$$

答：$\bbox[red,2pt]{(47)}$

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解：
跳四步共有$4^4=256$種情形，其中以下情況會跳回原點：
A. 上上下下→共有$\frac{4!}{2!2!}=6$種情形
B. 左左右右→也是有6種情形
C. 上下左右→共有4! = 24種情形
A+B+C 共有6+6+24=36種情形，機率為$\frac{36}{256}=\frac{9}{64}$

故選$\bbox[red,2pt]{(\frac{9}{64})}$

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解：
6秒鐘內，甲由A向右移了$4\times 6=24$公尺至B，即$\overline{AB}=24$；乙由C向北移動了$3\times   6=18$公尺至D，即$\overline{CD}=18$；其相對位置如下圖：

在直角$\triangle   AGB$中，${\overline{GB}}^2=24^2+18^2=900\Rightarrow   \overline{GB}=30$；
$\triangle   AGB$面積=$\overline{GB}\times\overline{AH}\div   2  =\overline{AG}\times   \overline{AB}\div   2\Rightarrow   30\times\overline{AH}=24\times   18\Rightarrow   \overline{AH} =14.4$

直徑為$\bbox[red,2pt]{14.4}$公尺

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