101年大學指考數學乙詳解

101 學年度指定科目考試試題
數學乙

一、單選題

解：
令三根皆為k，則$x^3+ax^2+bx+8=(x-k)^3=x^3-3kx^2+3k^2x-k^3\Rightarrow   b=3k^2=3\times(-2)^2   =12$，故選$\bbox[red,2pt]{(4)}$

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解：

(1)結果不是2x2矩陣
(2)結果不是2x2矩陣 $$\left( 3 \right) \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2a+3c & 2b+3d \\ 2a+3c & 2b+3d \end{bmatrix}\\ \left( 4 \right) \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2a & 2b \\ 3c & 3d \end{bmatrix}\\ \left( 5 \right) \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2a & 3b \\ 2c & 3d \end{bmatrix}$$

故選$\bbox[red,2pt]{(5)}$

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解：

甲、乙、丙三取一，配上丁、戊二取一，共有$3\times   2=6$種搭配法
己可以與其他5位選手搭配，有5種配法
因此共有6+5=11種搭配法
故選$\bbox[red,2pt]{(3)}$

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二、多選題

解：

(1)正確：70%的高中生有意願就讀大學

(2)正確：有打工且有意願就讀大學最多為60%(所有打工生皆有意願唸大學)

(3)錯誤：有打工且有意願就讀大學至少為70%+60%-100%=30%(沒打工也不想唸大學的人為零)

(4)錯誤：如(2)及(3)所述，有打工無意願者的機率非固定值

故選$\bbox[red,2pt]{(1,2)}$

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解：

$${ \left( x^{ 2 }+y \right)  }^{ 12 }=\sum _{ n=0 }^{ 12 }{ C^{ 12 }_{ n }(x^{ 2 })^{ n }y^{ 12-n } } \Rightarrow x^{ 10 }y^{ 7 }的係數=C^{ 12 }_{ 5 }=792\\ \left( 1 \right) 正確：x^{ 24 }的係數=C^{ 12 }_{ 12 }=1<792\\ \left( 2 \right) 錯誤：x^{ 12 }y^{ 6 }的係數=C^{ 12 }_{ 6 }=924>792\\ \left( 3 \right) 錯誤：x^{ 14 }y^{ 5 }的係數=C^{ 12 }_{ 7 }=C^{ 12 }_{ 5 }=792\\ \left( 4 \right) 正確：x^{ 8 }y^{ 8 }的係數=C^{ 12 }_{ 4 }=495<792$$

故選$\bbox[red,2pt]{(1,4)}$

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解：

(1)錯誤：取$x=0.01\Rightarrow \sqrt{x}=0.1>0.01=x$
(2)正確：$0<x<1\Rightarrow y=\log_{10}{x}<0\Rightarrow 2y<y<\frac{1}{2}y$
(3)錯誤：取$x=\frac{1}{2}\Rightarrow \log_{10}{(x^2)}=-2\times 0.301=-0.602>-1=\log_{2}{x}$
(4)正確：$0<x<1\Rightarrow y=\log_{10}{x}<0\Rightarrow 2y<\frac{1}{2\log_{10}{2}}y\approx 1.6y<y$

故選$\bbox[red,2pt]{(2,4)}$

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解：

假設共有n人，總所得為m元
(1)錯誤：所得差距倍數=$\frac{\frac{0.446m}{0.2n}}{\frac{0.036m}{0.2n}}=\frac{0.446}{0.036}=12.35\ngtr 13$
(2)正確：第四組所得最高的一半人數，其所得大於0.14m再加上第五組的所得0.446m   =  0.586m，超過0.55m(全體總所得的55%)
(3)錯誤：個人所得並非個人平均所得
(4)錯誤：第一組的平均所得為$\frac{0.036m}{0.2n}=0.18\frac{m}{n}\ne   0.036\frac{m}{n}$

故選$\bbox[red,2pt]{(2)}$

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三、選填題

解：

共同根為質數，質數大於1且為正整數
$x^2-ax+15=0$的質數根可能為3或5；
若共同質數根為3，則$9-3b+3b-1=8\ne   0$，所以3不是共同根；
若共同質數根為5，則$25-5b+3b-1=   0\Rightarrow b=12$

答：$b=\bbox[red,2pt]{12}$

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解：

此骰子出現2、4、5的機率皆是$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
擲骰子2次點數和的情況有：
4：2+2：機率為$\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{9}\Rightarrow$期望值為$4\times\frac{1}{9}=\frac{4}{9}$
6：2+4, 4+2：機率為$2\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{2}{9}\Rightarrow$期望值為$6\times\frac{2}{9}=\frac{12}{9}$
7：2+5, 5+2：機率為$2\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{2}{9}\Rightarrow$期望值為$7\times\frac{2}{9}=\frac{14}{9}$

8：4+4：機率為$\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{9}\Rightarrow$期望值為$8\times\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$

9：4+5, 5+4：機率為$2\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{2}{9}\Rightarrow$期望值為$9\times\frac{2}{9}=2$

10：5+5：機率為$\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{9}\Rightarrow$期望值為$10\times\frac{1}{9}=\frac{10}{9}$
因此期望值=$\frac{4}{9}+\frac{12}{9}+\frac{14}{9}+\frac{8}{9}+2+\frac{10}{9}=\frac{22}{3}$

答：$\bbox[red,2pt]{\frac{22}{3}}$

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解：

$$\log { { 2 }^{ n } } \ge 12\Rightarrow n\log { 2 } \ge 12\Rightarrow n\ge \frac { 12 }{ \log { 2 }  } =\frac { 12 }{ 0.301 } \approx 39.8\Rightarrow n=40$$

答：$\bbox[red,2pt]{40}$

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第貳部份 ：非選擇題

解：

$f\left( x \right) =ax^{ 2 }+2ax+b=a\left( x^{ 2 }+2x+1 \right) +b-a=a{ \left( x+1 \right)  }^{ 2 }+b-a\Rightarrow$頂點坐標為$\left(-1, b-a \right)$

(1)   a<0且最大值在頂點且最小值在f(1)
$\begin{cases} f\left( -1 \right) =7 \\ f\left( 1 \right) =3 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} b-a=7 \\ 3a+b=3 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=-1 \\ b=6 \end{cases}$

(2)a>0且最小值在頂點且最大值在f(1)
$\begin{cases} f\left( -1 \right) =3 \\ f\left( 1 \right) =7 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} b-a=3 \\ 3a+b=7 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=1 \\ b=4 \end{cases}$

答：$\bbox[red,2pt]{(-1,6),(1,4)}$

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解：

(1)
箱數必須為大於或等於0的整數，即$x,y\ge 0, x,y\in Z$
每趙貨車最多能運送100箱，即$x+y\le   100$
貨車最大載重為1600公斤，即$20x+10y\le   1600$
因此x,y必須滿足以下聯立不等式： $$\bbox[red,2pt]{\begin{cases} x,y\ge 0,x,y\in Z \\ x+y\le 100 \\ 20x+10y\le 1600 \end{cases}}$$
(2)令利潤=k，即$1200x+1000y=k$

先求聯立不等式的交點，再帶入求k值，找出最大k值的交點
當x=60,y=40有最大利潤$1200\times   60+1000\times   40=\bbox[red,2pt]{112000}$元

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