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2018年3月27日 星期二

102年大學指考數學甲詳解


102 學年度指定科目考試試題
數學甲

一、單選題


解:
z=a+biz2z+2=ia2+bia+2+bi=ia2+bi=b+(a+2)i{a2=bb=a+2{a=0b=2z=2i|z|=2
故選(5)




解:

P=(2,1),Q=(2,log102),R=(10,log210),S=(10,1)
四邊形PQRS面積PQS+RSP=4(1log102)+4(log2101)=4(log210log102)=4(1log2log2)=4(10.3010.301)4×3.0212
故選(3)



解:
8球任取2球,共有C82=28種情形
取出的兩球,其中一球編號為1的情形:   (1,  2~8),共有7種情形,機率pk=1=728>15
取出的兩球,其中一球編號為2的情形:   (2,  3~8),共有6種情形,機率pk=2=628>15
取出的兩球,其中一球編號為3的情形:   (3,  4~8),共有5種情形,機率pk=3=528<15
因此pk>15共有2個,故選(2)



解:
|0abc0def0|=bcf+ade
奇數=(奇+偶)或(偶+奇)
bcf=奇數,代表三數皆為奇數,bcf為1、3、5的排列,共有3!=6種;ade則為2、4、6的排列,也是3!=6種。因此bcf為奇數且ade為偶數共有6×6=36
同理  bcf為偶數且ade為奇數也是有36種
1~6排列共有6!=720種,因此行列式值為奇數的機率為36+36720=110
故選(2)

二、多選題

解:
(1)錯誤:AB=(2,1),BC=(2,0),兩者不平行
(2)錯誤:AB=(2,1),BD=(4,2),A、B、D三點共線,無法決定一圓
(3)正確:B、C、D不在一直線上,可決定一二次多項式
(4)正確:不在一直線上的相異四點可決定一個三次多項式
(5)正確:A、B、D共線,可找一平行線且過C點,則此兩線包含四點
故選(3,4,5)



解:
{cx+y=ccy+z=0x+cz=1(1ct,c2t,t)
(1)正確: 當t=0交點為(1,0,0)
(2)正確:t有無限多種可能
(3)錯誤:三平面之法向量皆不同
(4)錯誤:c值非唯一
(5)正確:當t=2(12c,2c2,2)
故選(1,2,5)



解:

f(2)=8-4-4+1>0,  f(1)=1-1-2+1<0,f(0)=1>0,f(-1)=-1-1+2+1>0,f(-2)=-8-4+4+1<0
因此   -2<a<-1,   0<b<1,   1<c<2
(1)錯誤:(x-1)並非f(x)的因式,極限值不存在
(2)正確:b介於0與1之間
(3)錯誤:-2<a<-1,數列不收斂
(4)正確:0<b<1,數列收斂
(5)錯誤:0<c<2,數列不收斂
故選(2,4)



解:

(1)正確:f(x)=|sin(x)|+|cos(x)|=|sinx|+|cosx|=|sinx|+|cosx|=f(x)
(2)正確:f(π4)=22+22=2為最大值
(3)錯誤:f(0)=0+1=1為最小值
(4)錯誤:f(0)f(π4)為遞增,因此π4>π9>π10f(π9)>f(π10)
(5)錯誤:由圖形可知週期為π2
故選:(1,2)




解:
(1)正確:假設與z軸正向的向量為ω=(0,0,a),a>0,因此vω=|v||ω|cosθ(c,d,1)(0,0,a)=c2+d2+1×a×cosθa=2×a×cosθcosθ=12
(2)錯誤:uv=(a,b,0)(c,d,1)=ac+bd,由柯西不等式:(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)21×1(ac+bd)21ac+bd1。因此uv的最大值為1
(3)正確:假設u,v的夾角為θ,由餘弦定理可知:cosθ=uv|u||v|=uva2+b2×c2+d2+1=uv212cosθ12cosθ=12θ=135°
(4)錯誤:由柯西不等式:(a2+b2)(d2+(c)2)(adbc)21×1(adbc)21adbc1
(5)正確:u×v=(a,b,0)(c,d,1)=(b,a,adbc)|u×v|=b2+a2+(adbc)2=1+(adbc)21+0|u×v|1+11|u×v|2故選(1,3,5)


三、選填題

解:
ABC中,由餘弦定理:¯AC2=¯AB2+¯BC22ׯABׯBC×cosABC=100+1002×10×10×35=80ACD:¯AD2=¯AC2+¯CD2=80+100=180¯AD=65
答:65



解:

x2+y2+4x7y+10=0(x+2)2+(y72)2=(52)2   圓心O(2,72),半徑r=52
先求圓與Y軸的交點:y27y+10=0(y5)(y2)=0交點B(0,2)、交點C(0,5),見上圖。
直線與X軸的交點A(-3,0),因此過A點的直線與圓交於第1及第2象限需介於直線¯AB¯AC之間,也就是斜率也介於該二直線之間,即:23<m<53
答:a=23,b=53

第貳部份 :非選擇題

解:
(1)p(x)各項係數均大於等於0,因此p(x)>0x1;又x2+1>0x1
因此p(x)+x2+1>0x1p(x)>1x2x1
(2)t1(1x2)dx=[x13x3]|t1=(t13t3)(113)=13t3t+43
(3)x=1至x=1的面積為0,即t=1t4+t3+t2+t+C=0C=4
(4)由所圍面積反推求p(x),即t1p(x)(1x2)dx=t1p(x)dxt1(1x2)dx=t1p(x)dx(13t3t+43)=t4+t3+t2+t4t1p(x)dx=t4+t3+t2+t4+(13t3t+43)=t4+23t3+t283p(x)=4x3+2x2+2x



解:
(1){MA=AMB=B{[abcd][10]=[12][abcd][01]=[12]{a=1c=2b=1d=2M=[1122]
(2) C(x,y)ABCG(1+x3,1+y3)MG=[1122][(x+1)/3(y+1)/3]=[(xy)/32(x+y+2)/3],C=MC=[1122][xy]=[xy2(x+y)]ABC=(11+xy3,2+2+2(x+y)3)=(xy3,2(x+y+2)3)MABCABC(xy3,2(x+y+2)3),

(3) 由|M|=22可知面積變為原來的22倍,因此ABC面積為3×22=62;令C'至¯AB的距離為h,則62=h2ׯAB=h2×2h=62


7 則留言:

  1. 第二小題的算式有誤:

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    1. 他講的應該是非選二的第二小題
      第二行的G’座標,我剛好在查這題怎麼寫就看到了

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    2. 抱歉我打錯是c’的座標(不是G’

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    3. 己修訂,謝謝兩位指正!!

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  2. 選填題A的第一個算式,是2×10×10×3/5

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