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2018年3月20日 星期二

102年大學學測數學科詳解


102 學年度學科能力測驗試題
數學考科詳解





解:
若要符合參選模範生資格,小文需英文70分(含)以上且數學及格。因此若不符參選資格,上述任一條件不滿足即不符條件,故選(5)(5)



解:{a=2.6102.69=2.69(2.61)=1.6×2.69b=2.6112.610=2.69(2.622.6)=4.16×2.69c=2.6112.692=2.692(2.621)=2.88×2.69b>c>a
故選(4)



解:
甲和乙抽到同色球的情形為
黑黑: 機率為25×14=110
白白: 機率為35×24=310
因此甲和乙抽到同色球的機率為110+310=25
甲和乙抽到同色球且丙抽到白球的情形為
黑黑白: 機率為25×14×33=110
白白白: 機率為35×24×13=110
甲和乙抽到同色球且丙抽到白球的機率為110+110=15
所求之條件機率為1525=12
故選(3)



解:
各選項皆是x: 2→3→5,逐漸變大。由於是負相關且接近-1,因此需找y逐漸變小,故選(5)



解:
假設紅籃子內有R顆雞蛋、黃籃子內有Y顆雞蛋、綠籃子內有G顆雞蛋,即R+Y+G=24
黃綠籃子內要有奇數顆蛋,可設Y=2a+1、G=2b+1,其中a與b皆為非負整數。
因此R+(2a+1)+(2b+1)=24R+2a+2b=22,因此R為偶數設為R=2c,c為非負整數。
2c+2a+2b=22a+b+c=11。由於各籃至少1顆蛋了,所以先丟一顆蛋給c,則此題變成求a+b+c=10的非負整數解,共有H310=C1210=12×112=66故選(2)



解:

假設10:00的高度為h,熱氣球十分鐘上升的高度為k,10:30的仰角為θ,如上圖。
tan34°=h+k3hk=3h×tan34°h=h(3tan34°1)tanθ=h+3k3h=h+3h(3tan34°1)3h=1+3(3tan34°1)3=33tan34°23=3tan34°2tan30°=3×0.6752×0.577=0.871θ41°
故選(3)

二、多選題


解:
[1102]2=[11+2022],[1102]3=[11+2+22023][1102]n=[11+2++2n102n]an=1,bn=1+2++2n1,cn=0,dn=2n
故選(1,2,3,5)



解:

假設a=10,b=110
(1)正確:(10)7>(10)9
(2)正確:109>107
(3)錯誤:log10110=1<1=log1010
(4)錯誤:loga1=logb1=0
(5)錯誤logablogba=logblogalogalogb=(logb)2(loga)2loga×logb=(logb+loga)(logbloga)loga×logb=(logab)(logba)loga×logb0logablogba
故選(1,2)



解:{f(x)=m(xa)(xb),m>0g(x)=n(xb)(xc),n>0y=f(x)+g(x)=(xb)[m(xa)+n(xc)]=(xb)[(m+n)xmanc]y=(m+n)(xma+ncm+n)(xb)
(1)錯誤: m+n0非水平直線
(2)錯誤:非直線
(3)錯誤:有交點
(4)正確:若b=ma+ncm+n,則交於一點
(5)正確:若bma+ncm+n,則交於二點
故選(4,5)



解:
P=(x,y)PQ1PQ2=(1x,y)(1x,y)=x2+y21PQ1PQ2<0x2+y21<0x2+y2<1
也就是說,P需在原點為圓心,半徑為1的圓內(不含圓周)才能滿足PQ1PQ2<0

(1)正確:該水平線高度只有12與單位圓有交點
(2)錯誤:y=x2+1>1拋物線的Y坐標比圓還高,沒有交點
(3)正確:為上下雙曲線,由於12<1,因此有焦點
(4)正確:為單位圓內的橢圓,有焦點
(5)錯誤:為左右雙曲線,由於2>1,因此沒有焦點
故選(1,3,4)



解:
S為正方形,其頂點至F1的距離皆相等;在Γ上的點至同一焦點的距離相等最多只有兩個,故選(1,2,5)



解:
(1)正確:a9×a10=a1×(0.8)8×a1×(0.8)9=a21×(0.8)17<0
(3)正確:由於a9×a10<0,所以<bn>的公差為負值,因此b9>b10
(2,4,5)錯誤:不能確定
答:(1,3)


第貳部份:選填題

解:
k3<31<k+13k29<31<(k+1)29k2<279<(k+1)2k=16(162=256,172=289)
答:16



解:
(a+bi)(2+6i)=802a6b+(6a+2b)i=80{2a6b=806a+2b=0{a=4b=12
答:4,12



解:
¯AC:¯BC=3:1且C不在A,B之間,所以C在B的右側,如上圖。因此{16=a+19×23b=3+2×123{a=10b=9a+b=19
答:19



解:
假設第二天賣出m公斤,則第一天賣出100(m+t)公斤。
三天所得40(100mt)+36m+32t=372040004m8t=3720m=2t+70a=2,b=70
答:a=2,b=70



解:

假設圓心為A點,則半徑¯AC=r
兩直線的距離=|512|=22¯AE=2
¯EC=14/2=7。因此r2=2+49=51=51π
答:51π


解:

{6x+y82xy0所圍之區域如上圖uv=(A+B)(xA+yB)=x|A|2+(x+y)(AB)+y|B|2=x+(x+y)(|A||B|cos60°)+4y=x+x+y+4y=2x+5yC點代入有最值2×3+5×5=6+25=31
 答:31



解:
sinB=sinα+β=sinαcosβ+sinβcosα=78×2158+28×158=154¯ACsinB=2R¯AC154=2×8¯AC=415
答:415


解:
由題意可知P=(6,6,1)、R=(0,3,6),令Q=(0,a,0),則QP=(6,6a,1),QR=(0,3a,6)
該平面的法向量n=QP×QR=(335a,36,186a)
直線¯AG的方向量AG=(6,6,6)
平面與直線不相交代表平面法向量與直線方向向量垂直,即nAG=0335a36+186a=0a=1511
答:1511


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