102年大學學測數學科詳解

102 學年度學科能力測驗試題
數學考科詳解

解：
若要符合參選模範生資格，小文需英文70分(含)以上且數學及格。因此若不符參選資格，上述任一條件不滿足即不符條件，故選$\bbox[red,2pt]{(5)}$

---

解： $$\begin{cases} a=2.6^{ 10 }-2.6^{ 9 }=2.6^{ 9 }\left( 2.6-1 \right) =1.6\times 2.6^{ 9 } \\ b=2.6^{ 11 }-2.6^{ 10 }=2.6^{ 9 }\left( 2.6^{ 2 }-2.6 \right) =4.16\times 2.6^{ 9 } \\ c=\frac { 2.6^{ 11 }-2.6^{ 9 } }{ 2 } =\frac { 2.6^{ 9 } }{ 2 } \left( 2.6^{ 2 }-1 \right) =2.88\times 2.6^{ 9 } \end{cases}\Rightarrow b>c>a$$

故選$\bbox[red,2pt]{(4)}$

---

解：

甲和乙抽到同色球的情形為
黑黑: 機率為$\frac{2}{5}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{10}$
白白: 機率為$\frac{3}{5}\times\frac{2}{4}=\frac{3}{10}$
因此甲和乙抽到同色球的機率為$\frac{1}{10}+\frac{3}{10}=\frac{2}{5}$

甲和乙抽到同色球且丙抽到白球的情形為

黑黑白: 機率為$\frac{2}{5}\times\frac{1}{4}\times\frac{3}{3}=\frac{1}{10}$

白白白: 機率為$\frac{3}{5}\times\frac{2}{4}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{10}$

甲和乙抽到同色球且丙抽到白球的機率為$\frac{1}{10}+\frac{1}{10}=\frac{1}{5}$

所求之條件機率為$\frac{\frac{1}{5}}{\frac{2}{5}}=\frac{1}{2}$

故選$\bbox[red,2pt]{(3)}$

---

解：

各選項皆是x: 2→3→5，逐漸變大。由於是負相關且接近-1，因此需找y逐漸變小，故選$\bbox[red,2pt]{(5)}$

---

解：

假設紅籃子內有R顆雞蛋、黃籃子內有Y顆雞蛋、綠籃子內有G顆雞蛋，即R+Y+G=24

黃綠籃子內要有奇數顆蛋，可設Y=2a+1、G=2b+1，其中a與b皆為非負整數。

因此$R+(2a+1)+(2b+1)=24\Rightarrow R+2a+2b=22$，因此R為偶數設為R=2c，c為非負整數。

2c+2a+2b=22$\Rightarrow   a+b+c=11$。由於各籃至少1顆蛋了，所以先丟一顆蛋給c，則此題變成求a+b+c=10的非負整數解，共有$H^3_{10}=C^{12}_{10}=\frac{12\times   11}{2}=66$，故選$\bbox[red,2pt]{(2)}$

---

解：

假設10:00的高度為h，熱氣球十分鐘上升的高度為k，10:30的仰角為$\theta$，如上圖。
$$\tan { 34° } =\frac { h+k }{ \sqrt { 3 } h } \Rightarrow k=\sqrt { 3 } h\times \tan { 34° } -h=h\left( \sqrt { 3 } \tan { 34° } -1 \right) \\ \Rightarrow \tan { \theta } =\frac { h+3k }{ \sqrt { 3 } h } =\frac { h+3h\left( \sqrt { 3 } \tan { 34° } -1 \right) }{ \sqrt { 3 } h } =\frac { 1+3\left( \sqrt { 3 } \tan { 34° } -1 \right) }{ \sqrt { 3 } } \\ =\frac { 3\sqrt { 3 } \tan { 34° } -2 }{ \sqrt { 3 } } =3\tan { 34° } -2\tan { 30° } =3\times 0.675-2\times 0.577=0.871\\ \Rightarrow \theta \approx 41°$$

故選$\bbox[red,2pt]{(3)}$

---

二、多選題

解：

$${ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} }^{ 2 }=\begin{bmatrix} 1 & 1+2 \\ 0 & 2^{ 2 } \end{bmatrix},{ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} }^{ 3 }=\begin{bmatrix} 1 & 1+2+2^{ 2 } \\ 0 & 2^{ 3 } \end{bmatrix}\Rightarrow { \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} }^{ n }=\begin{bmatrix} 1 & 1+2+\cdots +2^{ n-1 } \\ 0 & 2^{ n } \end{bmatrix}\\ \Rightarrow a_{ n }=1,b_{ n }=1+2+\cdots +2^{ n-1 },c_n=0,d_n=2^n$$

故選$\bbox[red,2pt]{(1,2,3,5)}$

---

解：

假設$a=10,b=\frac{1}{10}$
(1)正確：$(-10)^7>(-10)^9$
(2)正確：$10^9>10^7$
(3)錯誤：$\log_{10}{\frac{1}{10}}=-1<1=\log_{10}{10}$
(4)錯誤：$\log_a{1}=\log_b{1}=0$
(5)錯誤： $$\log _{ a }{ b } -\log _{ b }{ a } =\frac { \log { b }  }{ \log { a }  } -\frac { \log { a }  }{ \log { b }  } =\frac { { \left( \log { b }  \right)  }^{ 2 }-{ \left( \log { a }  \right)  }^{ 2 } }{ \log { a } \times \log { b }  } =\frac { \left( \log { b } +\log { a }  \right) \left( \log { b } -\log { a }  \right)  }{ \log { a } \times \log { b }  } \\ =\frac { \left( \log { ab }  \right) \left( \log { \frac { b }{ a }  }  \right)  }{ \log { a } \times \log { b }  } \le 0\Rightarrow \log _{ a }{ b } \le \log _{ b }{ a }$$

故選$\bbox[red,2pt]{(1,2)}$

---

解： $$\begin{cases} f\left( x \right) =m\left( x-a \right) \left( x-b \right) ,m>0 \\ g\left( x \right) =n\left( x-b \right) \left( x-c \right) ,n>0 \end{cases}\Rightarrow y=f\left( x \right) +g\left( x \right) =\left( x-b \right) \left[ m\left( x-a \right) +n\left( x-c \right) \right]\\ =\left( x-b \right) \left[ \left( m+n \right) x-ma-nc \right] \Rightarrow y=\left( m+n \right) \left( x-\frac { ma+nc }{ m+n } \right) \left( x-b \right)$$

(1)錯誤： $m+n\ne 0\Rightarrow$非水平直線

(2)錯誤：非直線

(3)錯誤：有交點

(4)正確：若$b=\frac { ma+nc }{ m+n }$，則交於一點

(5)正確：若$b\ne\frac { ma+nc }{ m+n }$，則交於二點

故選$\bbox[red,2pt]{(4,5)}$

---

解：

$$P=\left( x,y \right) \Rightarrow \vec { PQ_{ 1 } } \cdot \vec { PQ_{ 2 } } =\left( 1-x,-y \right) \cdot \left( -1-x,-y \right) =x^{ 2 }+y^{ 2 }-1\\ \vec { PQ_{ 1 } } \cdot \vec { PQ_{ 2 } } <0\Rightarrow x^{ 2 }+y^{ 2 }-1<0\Rightarrow x^{ 2 }+y^{ 2 }<1$$
也就是說，P需在原點為圓心，半徑為1的圓內(不含圓周)才能滿足$\vec { PQ_{ 1 } } \cdot \vec { PQ_{ 2 } } <0$

(1)正確：該水平線高度只有$\frac{1}{2}$與單位圓有交點
(2)錯誤：$y=x^2+1>1\Rightarrow$拋物線的Y坐標比圓還高，沒有交點
(3)正確：為上下雙曲線，由於$\frac{1}{\sqrt{2}}<1$，因此有焦點
(4)正確：為單位圓內的橢圓，有焦點

(5)錯誤：為左右雙曲線，由於$\sqrt{2}>1$，因此沒有焦點

故選$\bbox[red,2pt]{(1,3,4)}$

---

解：

S為正方形，其頂點至$F_1$的距離皆相等；在$\Gamma$上的點至同一焦點的距離相等最多只有兩個，故選：$\bbox[red,2pt]{(1,2,5)}$

---

解：

(1)正確：$a_9\times a_{10}=a_1\times (-0.8)^8\times a_1\times(-0.8)^9=a_1^2\times(-0.8)^{17}<0$
(3)正確：由於$a_9\times a_{10}<0$，所以$<b_n>$的公差為負值，因此$b_9>b_{10}$
(2,4,5)錯誤：不能確定

答：$\bbox[red,2pt]{(1,3)}$

---

第貳部份：選填題

解：

$$\frac { k }{ 3 } <\sqrt { 31 } <\frac { k+1 }{ 3 } \Rightarrow \frac { k^{ 2 } }{ 9 } <31<\frac { { \left( k+1 \right)  }^{ 2 } }{ 9 } \Rightarrow k^{ 2 }<279<{ \left( k+1 \right)  }^{ 2 }\\ \Rightarrow k=16\left( 16^{ 2 }=256,17^{ 2 }=289 \right)$$

答：$\bbox[red,2pt]{16}$

---

解：

$$\left( a+bi \right) \left( 2+6i \right) =-80\Rightarrow 2a-6b+\left( 6a+2b \right) i=-80\\ \Rightarrow \begin{cases} 2a-6b=-80 \\ 6a+2b=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=-4 \\ b=12 \end{cases}$$

答：$\bbox[red,2pt]{-4,12}$

---

解：

由$\overline{AC}:\overline{BC}=3:1$且C不在A,B之間，所以C在B的右側，如上圖。因此 $$\begin{cases} 16=\frac { a+19\times 2 }{ 3 }  \\ b=\frac { 3+2\times 12 }{ 3 }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=10 \\ b=9 \end{cases}\Rightarrow a+b=19$$

答：$\bbox[red,2pt]{19}$

---

解：

假設第二天賣出m公斤，則第一天賣出$100-(m+t)$公斤。
三天所得$40(100-m-t)+36m+32t=3720\Rightarrow 4000-4m-8t=3720\Rightarrow m=-2t+70 \Rightarrow a=-2,b=70$

答：$a=\bbox[red,2pt]{-2},b=\bbox[red,2pt]{70}$

---

解：

假設圓心為A點，則半徑$\overline{AC}=r$

兩直線的距離=$\left|\frac{5-1}{\sqrt{2}}\right|=2\sqrt{2}\Rightarrow \overline{AE}=\sqrt{2}$

$\overline{EC}=14/2=7$。因此$r^2=2+49=51\Rightarrow 圓面積=51\pi$

答：$\bbox[red,2pt]{51}\pi$

---

解：

$\begin{cases} 6\le x+y\le 8 \\ -2\le x-y\le 0 \end{cases}$所圍之區域如上圖 $$\vec { u } \cdot \vec { v } =\left( \vec { A } +\vec { B }  \right) \cdot \left( x\vec { A } +y\vec { B }  \right) =x{ \left| \vec { A }  \right|  }^{ 2 }+\left( x+y \right) \left( \vec { A } \cdot \vec { B }  \right) +y{ \left| \vec { B }  \right|  }^{ 2 }\\ =x+\left( x+y \right) \left( \left| \vec { A }  \right| \left| \vec { B }  \right| \cos { 60° }  \right) +4y=x+x+y+4y=2x+5y$$ C點代入有最值$2\times 3+5\times 5=6+25=31$

 答：$\bbox[red,2pt]{31}$

---

解：

$$\sin { \angle B } =\sin { \alpha +\beta  } =\sin { \alpha  } \cos { \beta  } +\sin { \beta  } \cos { \alpha  } =\frac { 7 }{ 8 } \times \frac { 2\sqrt { 15 }  }{ 8 } +\frac { 2 }{ 8 } \times \frac { \sqrt { 15 }  }{ 8 } =\frac { \sqrt { 15 }  }{ 4 } \\ \Rightarrow \frac { \overline { AC }  }{ \sin { \angle B }  } =2R\Rightarrow \frac { \overline { AC }  }{ \frac { \sqrt { 15 }  }{ 4 }  } =2\times 8\Rightarrow \overline { AC } =4\sqrt { 15 }$$

答：$\bbox[red,2pt]{4\sqrt{15}}$

---

解：

由題意可知P=(6,6,1)、R=(0,3,6)，令Q=(0,a,0)，則$\vec{QP}=(6,6-a,1),\vec{QR}=(0,3-a,6)$
該平面的法向量$\vec{n}=\vec{QP}\times\vec{QR}=(33-5a,-36,18-6a)$
直線$\overline{AG}$的方向量$\vec{AG}=(6,6,6)$
平面與直線不相交代表平面法向量與直線方向向量垂直，即$\vec{n}\cdot\vec{AG}=0 \Rightarrow 33-5a-36+18-6a=0\Rightarrow a=\frac{15}{11}$

答：$\bbox[red,2pt]{\frac{15}{11} }$

---

-- END --