110年大學指考-數學甲詳解

110 學年度指定科目考試試題-數學甲

第壹部分：選擇題（單選題、多選題及選填題共占 74 分）

一 、單選題 （占 18 分 ）

解答：$$(10x_0,100y_0)在y=10^{x}\Rightarrow 100y_0= 10^{10x_0} \Rightarrow y_0=10^{10x_0-2} \Rightarrow (x_0,\log y_0) = (x_0,10x_0-2)\\ \Rightarrow y=10x-2 =ax+b\Rightarrow \cases{a=10\\b=-2} \Rightarrow 2a-b=20+2=22，故選\bbox[red,2pt]{(5)}$$

解答：$$超標驗出紅色+不超標也驗出紅色 = 7.8\% \Rightarrow p\times 75\% + (1-p)\times 5\%=7.8\%\\ \Rightarrow p={2.8\over 70} =0.04\Rightarrow p\%=4\%，故選\bbox[red,2pt]{(2)}$$

解答：$$黎曼和求極限: \lim_{n\to\infty}{10^{10} \over n^{10}}[1^9 +2^9+\cdots +(2n)^9] = \lim_{n\to\infty}{10^{10} \over n }[({1\over n})^9 +({2\over n})^9+\cdots +({2n\over n})^9] \\ =\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n}{10^{10}\over n}({k\over n})^9 =\int_0^2 10^{10}x^9\;dx =\left. \left[ 10^{10}\cdot {1\over 10}x^{10} \right]\right|_0^2= 10^9\cdot 2^{10}，故選\bbox[red,2pt]{(4)}$$

二、多選題（ 占 40 分）

解答：$$(1)\times: \cases{自備x_0明天10\%轉外食\\ 外食y_0明天80\%仍為外食} \Rightarrow 明天外食y_1=0.1x_0+0.8y_0\\(2)\bigcirc: \cases{自備x_0明天90\%仍自備\\ 外食y_0明天20\%轉為自備} \Rightarrow 明天自備x_1=0.9x_0+0.2y_0，再加上(1)\\ \qquad ，可得\begin{bmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.9 & 0.2 \\ 0.1 & 0.8 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{n}\\ y_{n}\end{bmatrix}\\(3)\bigcirc: {x_0\over y_0}={2\over 1} \Rightarrow x_0=2y_0 \Rightarrow \begin{bmatrix} x_{1}\\ y_{1}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.9 & 0.2 \\ 0.1 & 0.8 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{0}\\ y_{0}\end{bmatrix}  = \begin{bmatrix} 0.9 & 0.2 \\ 0.1 & 0.8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2y_0\\ y_{0}\end{bmatrix} =  \begin{bmatrix} 2y_0\\ y_{0}\end{bmatrix} \\ \qquad \Rightarrow \begin{bmatrix} x_{2}\\ y_{2}\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2y_0\\ y_{0}\end{bmatrix}\Rightarrow \cdots \Rightarrow \begin{bmatrix} x_{n}\\ y_{n}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2y_0\\ y_{0}\end{bmatrix} \Rightarrow {x_n\over y_n}={2\over 1}\\(4)\times: \cases{x_0=0.45\\ y_0=0.55} \Rightarrow \cases{x_1= 0.9x_0+0.2y_0=0.515\\ y_1=0.1x_0+ 0.8y_0=0.485} \Rightarrow y_1 \not \gt x_1\\ (5)\times: \cases{x_0=0.51\\ y_0=0.49} \Rightarrow  x_1= 0.9x_0+0.2y_0=0.557 \Rightarrow x_0 \not \gt x_1\\，故選\bbox[red,2pt]{(23)}$$

解答：$$f(x)=g(x)(x^n-1)+r_n(x)= g(x)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots +1)(x-1)+ r_n(x) \\ \Rightarrow f(x)=h(x)(x-1)+r_n(x)\Rightarrow r_n(x)為一常數,n=1-5\\(1)\bigcirc: r_n(x)為一常數 \Rightarrow f(1)=0+r_n(1)= r_n(x)\\ (2)\times: r_2(x)為一常數\\(3)\bigcirc: r_4(x)=r_2(x)=常數 \\(4)\times: f為5次式，f除以x^6-1，其餘式即為f，即f(x)=r_6(x) \ne r_5(x)(常數) \\(5)\times: 常數項不變\Rightarrow r_3(-x)= r_3(x)\\，故選\bbox[red,2pt]{(13)}$$

解答：$$\begin{array}{} 擲4次結果& 戳中格子號\\\hline 正正正正 & 1,2,3,4\\ 正正正反 & 1,2,3,6\\ 正正反正 & 1,2,5,6\\ 正正反反 & 1,2,5,8\\ 正反正正 & 1,4,5,6\\ 正反正反 & 1,4,5,8\\ 正反反正 & 1,4,7,8\\ 正反反反 & 1,4,7,10\\\hdashline 反正正正 & 3,4,5,6\\ 反正正反 & 3,4,5,8\\ 反正反正 & 3,4,7,8\\ 反正反反 & 3,4,7,10\\ 反反正正 & 3,6,7,8\\ 反反正反 & 3,6,7,10\\ 反反反正 & 3,6,9,10\\ 反反反反 & 3,6,9,12\\\hline\end{array}\\(1)\bigcirc: 共16回，有4回戳中2號\Rightarrow p_2={4\over 16}={1\over 4}\\(2)\times: 有10回戳中3號\Rightarrow p_3={10\over 16}\ne {1\over 2} \\(3)\bigcirc:\cases{p_1=1/2\\ p_3=5/8\\ p_4=9/16} \Rightarrow p_4=(p_1+p_3)/2\\(4)\bigcirc: \cases{p_8=6/16\\ p_{10}=4/16} \Rightarrow p_8 \gt p_{10} \\(5)\times:\cases{p_4=9/16\\ p_{3,4}=5/16} \Rightarrow {p_{3,4}\over p_4}=5/9\\，故選\bbox[red,2pt]{(134)}$$

解答：$$(1)\times: 例: f'(x)=x^2+2 \gt x^2+1.1 \Rightarrow f''(x)=2x \lt 0,若x\lt 0\Rightarrow f'遞減,若x\lt 0\\ (2)\bigcirc: f'(x)=x^2+1.1 \gt 0 \Rightarrow f(x)為嚴格遞增函數\\(3)\times: F'(x)=f(x)為遞增，但不一定大於等於0，即F(x)不一定遞增\\ (4)\times: g(x)=[f(x)]^2 \Rightarrow g'(x)=2f(x)f'(x)不一定大於等於0(f'\gt 0,但f不一定大於等於0)\\(5)\bigcirc: g(x)=f(f(x)) \Rightarrow g'(x)=f'(f(x))f'(x) \gt 0 (\because f'\gt 0)\\，故選\bbox[red,2pt]{(25)}$$

解答：$$\cases{z_1=a_1+b_1i\\ z_2=a_2+b_2i\\ z_3=a_3+b_3i\\ z_4=a_4+b_4i} \Rightarrow \cases{A(z_1)\\ B(z_2)\\ C(z_3)\\ D(z_4)}\\ (1)\times:例 \cases{z_1=1+3i\\ z_2=3+3i\\ z_3=2\\ z_4=0} \Rightarrow (z_1-z_3)(z_2-z_4)=(-1+3i)(3+3i) =-12+6i\not \in \mathbb{R}\\(2)\bigcirc: ABCD為平行四邊形\Rightarrow z_1-z_2=z_4-z_3 \Rightarrow z_1-z_2+z_3-z_4=0\in \mathbb{R} \\(3)\times: 如(1)例\Rightarrow z_1+z_2+z_3+z_4=6+6i\not \in \mathbb{R}\\ (4)\bigcirc: \cases{\overrightarrow{BA}=(a_1-a_2,b_1-b_2)\\ \overrightarrow{DC}=(a_3-a_4,b_3-b_4)}，由於\overrightarrow{BA} \parallel \overrightarrow{DC} \Rightarrow {a_1-a_2\over a_3-a_4} ={b_1-b_2 \over b_3-b_4}=k \\ \qquad \Rightarrow {z_1-z_2\over z_3-z_4}={(a_1-a_2)+(b_1-b_2)i\over (a_3-a_4) +(b_3-b_4)i} ={k(a_3-a_4)+k(b_3-b_4)i\over (a_3-a_4) +(b_3-b_4)i}=k\in \mathbb{R}\\(5)\times: 如(1)例\Rightarrow \left({z_2-z_4\over z_1-z_3}\right)^2 =\left({3+3i\over -1+3i} \right)^2 ={18i\over -8-6i} \not \in \mathbb{R}\\，故選\bbox[red,2pt]{(24)}$$

三、選填題（ 占 18 分）

解答：$$大角對大邊，挑6,8,12作為\triangle 三邊長 \Rightarrow \cos \theta={6^2+8^2-12^2\over 2\times 6\times 8}= \bbox[red,2pt]{-{11\over 24}}$$

解答：

$$令\cases{圓O與直線L_1:x+y=0交於A、B兩點，並取C為\overline{AB}的中點\\圓O與直線L_2:x+y=24交於P、Q兩點，並取R為\overline{PQ}的中點}；\\依題意:\cases{圓半徑r=12\\ \overline{AB}=8 }\Rightarrow \triangle OBC為直角\triangle \Rightarrow \overline{OC}=\sqrt{r^2-\overline{BC}^2} =\sqrt{12^2-4^2} =8\sqrt 2\\ 又d(L_2,L_2)={24\over \sqrt 2} =12\sqrt 2 \Rightarrow d(O,L_2)=12\sqrt 2-8\sqrt 2=4\sqrt 2 =\overline{OR} \\ \Rightarrow \overline{QR} =\sqrt{r^2-\overline{OR}^2} =\sqrt{144-32} =4\sqrt{7} \Rightarrow \overline{PQ} =2\overline{QR}= \bbox[red,2pt]{8\sqrt 7}$$

解答：

$$令\cases{A(0,4)\\ B(4,4)\\ C(10,0)\\ D(0,0)}，再依\cases{\overline{AE}={3\over 2}\overline{EC}\\ \overline{BF}={2\over 3}\overline{FD}} \Rightarrow \cases{E=(2A+3C)/5 =(6,8/5)\\ F=(3B+2D)/5 =(12/5,12/5)} \\ \Rightarrow \cases{\overrightarrow{FE}= (18/5,-4/5)\\ \overrightarrow{AC}=(10,-4)\\ \overrightarrow{AD}=(0,-4)} ，由\overrightarrow{FE} =\alpha \overrightarrow{AC}+\beta \overrightarrow{AD} \Rightarrow \cases{10\alpha=18/5\\ -4(\alpha+\beta)= -4/5} \Rightarrow \bbox[red,2pt]{\cases{\alpha= 9/25 \\\beta=-4/25}}$$

第貳部分：非選擇題（ 占 24 分）

解答：

(1)$$令\cases{A(0,-1,-1)\\ B(1,-1,-2)\\ C(0,1,0)} \Rightarrow \cases{\vec u=\overrightarrow{AB} =(1,0,-1)\\ \vec v= \overrightarrow{AC} =(0,2,1) } \Rightarrow \vec n=\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} =(2,-1,2) \\ \Rightarrow \overrightarrow{AH} ={2\over 3}\vec u-{1\over 3}\vec v+3\vec n   \Rightarrow \overrightarrow{AH} \cdot \vec n = ({2\over 3}\vec u-{1\over 3}\vec v+3\vec n)\cdot \vec n = 0+0+3\vec n\cdot \vec n=3|\vec n|^2\\ \Rightarrow 四面體的高h={\overrightarrow{AH} \cdot \vec n\over |\vec n|} =3|\vec n|=9 \Rightarrow 體積={1\over 3}\left( {1\over 2}|\vec n|\cdot 9\right)={27\over 6}=\bbox[red,2pt]{9\over 2}$$(2)$$\overrightarrow{AH} ={2\over 3}\vec u-{1\over 3}\vec v+3\vec n = ({20\over 3},-{11\over 3},5) \Rightarrow H=({20\over 3},-{14\over 3},4) \Rightarrow \overleftrightarrow{HH'}:{x-20/3\over 2} ={y+14/3\over -1} ={z-4\over 2}\\\Rightarrow H'(2t+{20\over 3},-t-{14\over 3},2t+4) \Rightarrow \overline{HH'}=2h=18=\sqrt{4t^2+t^2+4t^2}= 3|t| \Rightarrow t=\pm 6\\ \Rightarrow  P=(H+H')/2=(t+{20\over 3},-{t\over 2}-{14\over 3},t+4)=\cases{(38/3,-23/3,10), t=6\\ (2/3,-5/3,-2),t=-6} \\ 由於E:2x-y+2z+1=0 \Rightarrow (2/3,-5/3,-2)\in E \Rightarrow t=-6 \Rightarrow \bbox[red,2pt]{H'(-16/3,4/3,-8)}$$(3)$$P=(H+H')/2=(2/3,-5/3,-2)=A+m\vec u+n\vec v=(0,-1,-1)+m (1,0,-1) +n(0,2,1)\\=(m,-1+2n,-1-m+n) \Rightarrow \cases{m=2/3\\ n=-1/3}\Rightarrow mn \lt 0 \Rightarrow P在\triangle ABC 外部，即\bbox[red,2pt]{不在內部}$$

解答：

(1)$$x^3-4x^2+5x=2x \Rightarrow x^3-4x^2+3x=0 \Rightarrow x(x-1)(x-3)=0 \Rightarrow \bbox[red,2pt]{x=0,1,3}$$(2)$$|\int_0^1 x^3-4x^2+5x-2x\;dx|+|\int_1^3 x^3-4x^2+5x-2x\;dx|\\ =|\int_0^1 x^3-4x^2+3x\;dx|+|\int_1^3 x^3-4x^2+3x\;dx|\\ =\left| \left. \left[{1\over 4}x^4-{4\over 3}x^3+{3\over 2}x^2 \right] \right|_0^1\right|+ \left| \left. \left[{1\over 4}x^4-{4\over 3}x^3+{3\over 2}x^2 \right] \right|_1^3\right| ={5\over 12}+{8\over 3}= \bbox[red,2pt]{37\over 12}$$(3)$$x^3-4x^2+5x=mx \Rightarrow x^3-4x^2+(5-m)x=0 \Rightarrow x(x^2-4x+5-m)=0\\ \Rightarrow x^2-4x+5-m=0 \Rightarrow x=2\pm \sqrt{m-1}\\由於兩根相異且皆為正數\Rightarrow \cases{m-1\gt 0\\\sqrt{m-1}\lt 2} \Rightarrow 1\lt m\lt 5 \Rightarrow \bbox[red,2pt]{\cases{a=1\\b=5}}$$

====================== END ====================

最後一次指考了，解題僅供參考，其他試題及詳解