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2021年7月31日 星期六

110年大學指考-數學甲詳解

110 學年度指定科目考試試題-數學甲

第壹部分:選擇題(單選題、多選題及選填題共占 74 分)

一 、單選題 (占 18 分 )

解答$$(10x_0,100y_0)在y=10^{x}\Rightarrow 100y_0= 10^{10x_0} \Rightarrow y_0=10^{10x_0-2} \Rightarrow (x_0,\log y_0) = (x_0,10x_0-2)\\ \Rightarrow y=10x-2 =ax+b\Rightarrow \cases{a=10\\b=-2} \Rightarrow 2a-b=20+2=22,故選\bbox[red,2pt]{(5)}$$
解答$$超標驗出紅色+不超標也驗出紅色 = 7.8\% \Rightarrow p\times 75\% + (1-p)\times 5\%=7.8\%\\ \Rightarrow p={2.8\over 70} =0.04\Rightarrow p\%=4\%,故選\bbox[red,2pt]{(2)}$$
解答$$黎曼和求極限: \lim_{n\to\infty}{10^{10} \over n^{10}}[1^9 +2^9+\cdots +(2n)^9] = \lim_{n\to\infty}{10^{10} \over n }[({1\over n})^9 +({2\over n})^9+\cdots +({2n\over n})^9] \\ =\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n}{10^{10}\over n}({k\over n})^9 =\int_0^2 10^{10}x^9\;dx =\left. \left[ 10^{10}\cdot {1\over 10}x^{10} \right]\right|_0^2= 10^9\cdot 2^{10},故選\bbox[red,2pt]{(4)}$$

二、多選題( 占 40 分)

解答$$(1)\times: \cases{自備x_0明天10\%轉外食\\ 外食y_0明天80\%仍為外食} \Rightarrow 明天外食y_1=0.1x_0+0.8y_0\\(2)\bigcirc: \cases{自備x_0明天90\%仍自備\\ 外食y_0明天20\%轉為自備} \Rightarrow 明天自備x_1=0.9x_0+0.2y_0,再加上(1)\\ \qquad ,可得\begin{bmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.9 & 0.2 \\ 0.1 & 0.8 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{n}\\ y_{n}\end{bmatrix}\\(3)\bigcirc: {x_0\over y_0}={2\over 1} \Rightarrow x_0=2y_0 \Rightarrow \begin{bmatrix} x_{1}\\ y_{1}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.9 & 0.2 \\ 0.1 & 0.8 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{0}\\ y_{0}\end{bmatrix}  = \begin{bmatrix} 0.9 & 0.2 \\ 0.1 & 0.8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2y_0\\ y_{0}\end{bmatrix} =  \begin{bmatrix} 2y_0\\ y_{0}\end{bmatrix} \\ \qquad \Rightarrow \begin{bmatrix} x_{2}\\ y_{2}\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2y_0\\ y_{0}\end{bmatrix}\Rightarrow \cdots \Rightarrow \begin{bmatrix} x_{n}\\ y_{n}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2y_0\\ y_{0}\end{bmatrix} \Rightarrow {x_n\over y_n}={2\over 1}\\(4)\times: \cases{x_0=0.45\\ y_0=0.55} \Rightarrow \cases{x_1= 0.9x_0+0.2y_0=0.515\\ y_1=0.1x_0+ 0.8y_0=0.485} \Rightarrow y_1 \not \gt x_1\\ (5)\times: \cases{x_0=0.51\\ y_0=0.49} \Rightarrow  x_1= 0.9x_0+0.2y_0=0.557 \Rightarrow x_0 \not \gt x_1\\,故選\bbox[red,2pt]{(23)}$$
解答$$f(x)=g(x)(x^n-1)+r_n(x)= g(x)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots +1)(x-1)+ r_n(x) \\ \Rightarrow f(x)=h(x)(x-1)+r_n(x)\Rightarrow r_n(x)為一常數,n=1-5\\(1)\bigcirc: r_n(x)為一常數 \Rightarrow f(1)=0+r_n(1)= r_n(x)\\ (2)\times: r_2(x)為一常數\\(3)\bigcirc: r_4(x)=r_2(x)=常數 \\(4)\times: f為5次式,f除以x^6-1,其餘式即為f,即f(x)=r_6(x) \ne r_5(x)(常數) \\(5)\times: 常數項不變\Rightarrow r_3(-x)= r_3(x)\\,故選\bbox[red,2pt]{(13)}$$

解答$$\begin{array}{} 擲4次結果& 戳中格子號\\\hline 正正正正 & 1,2,3,4\\ 正正正反 & 1,2,3,6\\ 正正反正 & 1,2,5,6\\ 正正反反 & 1,2,5,8\\ 正反正正 & 1,4,5,6\\ 正反正反 & 1,4,5,8\\ 正反反正 & 1,4,7,8\\ 正反反反 & 1,4,7,10\\\hdashline 反正正正 & 3,4,5,6\\ 反正正反 & 3,4,5,8\\ 反正反正 & 3,4,7,8\\ 反正反反 & 3,4,7,10\\ 反反正正 & 3,6,7,8\\ 反反正反 & 3,6,7,10\\ 反反反正 & 3,6,9,10\\ 反反反反 & 3,6,9,12\\\hline\end{array}\\(1)\bigcirc: 共16回,有4回戳中2號\Rightarrow p_2={4\over 16}={1\over 4}\\(2)\times: 有10回戳中3號\Rightarrow p_3={10\over 16}\ne {1\over 2} \\(3)\bigcirc:\cases{p_1=1/2\\ p_3=5/8\\ p_4=9/16} \Rightarrow p_4=(p_1+p_3)/2\\(4)\bigcirc: \cases{p_8=6/16\\ p_{10}=4/16} \Rightarrow p_8 \gt p_{10} \\(5)\times:\cases{p_4=9/16\\ p_{3,4}=5/16} \Rightarrow {p_{3,4}\over p_4}=5/9\\,故選\bbox[red,2pt]{(134)}$$
解答$$(1)\times: 例: f'(x)=x^2+2 \gt x^2+1.1 \Rightarrow f''(x)=2x \lt 0,若x\lt 0\Rightarrow f'遞減,若x\lt 0\\ (2)\bigcirc: f'(x)=x^2+1.1 \gt 0 \Rightarrow f(x)為嚴格遞增函數\\(3)\times: F'(x)=f(x)為遞增,但不一定大於等於0,即F(x)不一定遞增\\ (4)\times: g(x)=[f(x)]^2 \Rightarrow g'(x)=2f(x)f'(x)不一定大於等於0(f'\gt 0,但f不一定大於等於0)\\(5)\bigcirc: g(x)=f(f(x)) \Rightarrow g'(x)=f'(f(x))f'(x) \gt 0 (\because f'\gt 0)\\,故選\bbox[red,2pt]{(25)}$$
解答$$\cases{z_1=a_1+b_1i\\ z_2=a_2+b_2i\\ z_3=a_3+b_3i\\ z_4=a_4+b_4i} \Rightarrow \cases{A(z_1)\\ B(z_2)\\ C(z_3)\\ D(z_4)}\\ (1)\times:例 \cases{z_1=1+3i\\ z_2=3+3i\\ z_3=2\\ z_4=0} \Rightarrow (z_1-z_3)(z_2-z_4)=(-1+3i)(3+3i) =-12+6i\not \in \mathbb{R}\\(2)\bigcirc: ABCD為平行四邊形\Rightarrow z_1-z_2=z_4-z_3 \Rightarrow z_1-z_2+z_3-z_4=0\in \mathbb{R} \\(3)\times: 如(1)例\Rightarrow z_1+z_2+z_3+z_4=6+6i\not \in \mathbb{R}\\ (4)\bigcirc: \cases{\overrightarrow{BA}=(a_1-a_2,b_1-b_2)\\ \overrightarrow{DC}=(a_3-a_4,b_3-b_4)},由於\overrightarrow{BA} \parallel \overrightarrow{DC} \Rightarrow {a_1-a_2\over a_3-a_4} ={b_1-b_2 \over b_3-b_4}=k \\ \qquad \Rightarrow {z_1-z_2\over z_3-z_4}={(a_1-a_2)+(b_1-b_2)i\over (a_3-a_4) +(b_3-b_4)i} ={k(a_3-a_4)+k(b_3-b_4)i\over (a_3-a_4) +(b_3-b_4)i}=k\in \mathbb{R}\\(5)\times: 如(1)例\Rightarrow \left({z_2-z_4\over z_1-z_3}\right)^2 =\left({3+3i\over -1+3i} \right)^2 ={18i\over -8-6i} \not \in \mathbb{R}\\,故選\bbox[red,2pt]{(24)}$$

三、選填題( 占 18 分)

解答$$大角對大邊,挑6,8,12作為\triangle 三邊長 \Rightarrow \cos \theta={6^2+8^2-12^2\over 2\times 6\times 8}= \bbox[red,2pt]{-{11\over 24}}$$
解答

$$令\cases{圓O與直線L_1:x+y=0交於A、B兩點,並取C為\overline{AB}的中點\\圓O與直線L_2:x+y=24交於P、Q兩點,並取R為\overline{PQ}的中點};\\依題意:\cases{圓半徑r=12\\ \overline{AB}=8 }\Rightarrow \triangle OBC為直角\triangle \Rightarrow \overline{OC}=\sqrt{r^2-\overline{BC}^2} =\sqrt{12^2-4^2} =8\sqrt 2\\ 又d(L_2,L_2)={24\over \sqrt 2} =12\sqrt 2 \Rightarrow d(O,L_2)=12\sqrt 2-8\sqrt 2=4\sqrt 2 =\overline{OR} \\ \Rightarrow \overline{QR} =\sqrt{r^2-\overline{OR}^2} =\sqrt{144-32} =4\sqrt{7} \Rightarrow \overline{PQ} =2\overline{QR}= \bbox[red,2pt]{8\sqrt 7}$$
解答
$$令\cases{A(0,4)\\ B(4,4)\\ C(10,0)\\ D(0,0)},再依\cases{\overline{AE}={3\over 2}\overline{EC}\\ \overline{BF}={2\over 3}\overline{FD}} \Rightarrow \cases{E=(2A+3C)/5 =(6,8/5)\\ F=(3B+2D)/5 =(12/5,12/5)} \\ \Rightarrow \cases{\overrightarrow{FE}= (18/5,-4/5)\\ \overrightarrow{AC}=(10,-4)\\ \overrightarrow{AD}=(0,-4)} ,由\overrightarrow{FE} =\alpha \overrightarrow{AC}+\beta \overrightarrow{AD} \Rightarrow \cases{10\alpha=18/5\\ -4(\alpha+\beta)= -4/5} \Rightarrow \bbox[red,2pt]{\cases{\alpha= 9/25 \\\beta=-4/25}}$$

第貳部分:非選擇題( 占 24 分)

解答
(1)$$令\cases{A(0,-1,-1)\\ B(1,-1,-2)\\ C(0,1,0)} \Rightarrow \cases{\vec u=\overrightarrow{AB} =(1,0,-1)\\ \vec v= \overrightarrow{AC} =(0,2,1) } \Rightarrow \vec n=\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} =(2,-1,2) \\ \Rightarrow \overrightarrow{AH} ={2\over 3}\vec u-{1\over 3}\vec v+3\vec n   \Rightarrow \overrightarrow{AH} \cdot \vec n = ({2\over 3}\vec u-{1\over 3}\vec v+3\vec n)\cdot \vec n = 0+0+3\vec n\cdot \vec n=3|\vec n|^2\\ \Rightarrow 四面體的高h={\overrightarrow{AH} \cdot \vec n\over |\vec n|} =3|\vec n|=9 \Rightarrow 體積={1\over 3}\left( {1\over 2}|\vec n|\cdot 9\right)={27\over 6}=\bbox[red,2pt]{9\over 2}$$(2)$$\overrightarrow{AH} ={2\over 3}\vec u-{1\over 3}\vec v+3\vec n = ({20\over 3},-{11\over 3},5) \Rightarrow H=({20\over 3},-{14\over 3},4) \Rightarrow \overleftrightarrow{HH'}:{x-20/3\over 2} ={y+14/3\over -1} ={z-4\over 2}\\\Rightarrow H'(2t+{20\over 3},-t-{14\over 3},2t+4) \Rightarrow \overline{HH'}=2h=18=\sqrt{4t^2+t^2+4t^2}= 3|t| \Rightarrow t=\pm 6\\ \Rightarrow  P=(H+H')/2=(t+{20\over 3},-{t\over 2}-{14\over 3},t+4)=\cases{(38/3,-23/3,10), t=6\\ (2/3,-5/3,-2),t=-6} \\ 由於E:2x-y+2z+1=0 \Rightarrow (2/3,-5/3,-2)\in E \Rightarrow t=-6 \Rightarrow \bbox[red,2pt]{H'(-16/3,4/3,-8)}$$(3)$$P=(H+H')/2=(2/3,-5/3,-2)=A+m\vec u+n\vec v=(0,-1,-1)+m (1,0,-1) +n(0,2,1)\\=(m,-1+2n,-1-m+n) \Rightarrow \cases{m=2/3\\ n=-1/3}\Rightarrow mn \lt 0 \Rightarrow P在\triangle ABC 外部,即\bbox[red,2pt]{不在內部}$$
解答
(1)$$x^3-4x^2+5x=2x \Rightarrow x^3-4x^2+3x=0 \Rightarrow x(x-1)(x-3)=0 \Rightarrow \bbox[red,2pt]{x=0,1,3}$$(2)$$|\int_0^1 x^3-4x^2+5x-2x\;dx|+|\int_1^3 x^3-4x^2+5x-2x\;dx|\\ =|\int_0^1 x^3-4x^2+3x\;dx|+|\int_1^3 x^3-4x^2+3x\;dx|\\ =\left| \left. \left[{1\over 4}x^4-{4\over 3}x^3+{3\over 2}x^2 \right] \right|_0^1\right|+ \left| \left. \left[{1\over 4}x^4-{4\over 3}x^3+{3\over 2}x^2 \right] \right|_1^3\right| ={5\over 12}+{8\over 3}= \bbox[red,2pt]{37\over 12}$$(3)$$x^3-4x^2+5x=mx \Rightarrow x^3-4x^2+(5-m)x=0 \Rightarrow x(x^2-4x+5-m)=0\\ \Rightarrow x^2-4x+5-m=0 \Rightarrow x=2\pm \sqrt{m-1}\\由於兩根相異且皆為正數\Rightarrow \cases{m-1\gt 0\\\sqrt{m-1}\lt 2} \Rightarrow 1\lt m\lt 5 \Rightarrow \bbox[red,2pt]{\cases{a=1\\b=5}}$$
====================== END ====================

最後一次指考了,解題僅供參考,其他試題及詳解

14 則留言:

  1. 多選5顯然有問題,照你那寫法,豈不是沒有牛頓插值法了。如f(X)=q(x)(x+1)(x+2)+{a(x+1)+c}和f(x)=g(x)(x+1)+c,前者餘式為{a(x+1)+c},後者為C,怎麼可能一樣?

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    1. 看過之前他寫的詳解也有些錯誤,不意外

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    2. 那題的詳解真的寫得偏爛
      光最明顯的一點,無論如何後面都不能把rn(x)視為一個常數,就可以看出來了

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    3. 光是隨便設個最簡單的f(x)=x^5,除下去就絕對不可能會一樣了
      如果是啥細節小錯誤也就算了,這個有夠明顯,放進非選題當計算過程直接會被扣到爆的那種
      真的不知道下面在硬要護航啥

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  2. "路人經過"
    看不懂你們二個在演那齣
    為什麼一定要用牛頓插值法?? lll 三條線!
    做詳解難免會有些許筆誤 出版社任何刊物也一樣
    那麼厲害 應該自己做詳解 整天focus別人的錯誤
    期待二位 在YT或網路 上分享自己的解法 最好是考後二小時內



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    1. 這話說的不準確,提供詳解確實是辛苦的事,但這件事會影響到考生學習,攸關教育,準確度是不容許被輕視的,如果每個教育工作者都可以當差不多先生,那國家教育還有什麼救,我們感激他提供的詳解,當然我們也有對於詳解準確度評價的權利,而非明知有錯卻當做沒看到,差不多就好,人家很辛苦,那這樣台灣學生也差不多可以下去了

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    2. 至少人家沒有人身攻擊,不懂妳在生氣什麼

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    3. 有些人就是 愛看又愛碎念
      你那麼強那你來嘛
      我看不懂你在批評甚麼
      不想看的話 你就自己弄個網站年年寫詳解造福群眾
      我跟你在那邊廢屁一堆要幹嘛
      你就準備自己做解答 貼個網址連結在下面
      明年各大考試 考後五小時內搞出來 造福莘莘學子
      讓大家看看你的解法有多精妙 或是有多爛

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  3. 路人閉嘴 謝謝老師辛苦的寫詳解 十分好懂

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  4. 就請你告訴我一點就好 就這句 :牛頓插值法 為什麼一定要用牛頓插值法 !! 笑死

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  5. 基本上 在題意中 指涉的 X^n ,在條件範圍下 數值 1~5 都有可能 ,你不能直接舉一個X^5就下去套

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  6. "n" 1~5 都有可能

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  7. 老師您好,多選第四題的x0 y0 在題目中敘述是員工中的比例,不知道您假設x0=1.0 y0=1.1 是否有些許錯誤呢? 謝謝老師,辛苦了

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    1. 對,這例子不好, 換個例子說明,謝謝提醒!!

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