102年大學指考數學乙詳解

102 學年度指定科目考試試題
數學乙

解：
$$\begin{cases} f\left( 0 \right) =6 \\ f\left( 1 \right) =2 \\ f\left( 3 \right) =-2 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 3c=6 \\ -2b=2 \\ 6a=-2 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} c=2 \\ b=-1 \\ a=-\frac { 1 }{ 3 } \end{cases}\Rightarrow a+b+c=\frac { 2 }{ 3 }$$

故選$\bbox[red,2pt]{(2)}$

---

解： $$\frac { 1000\times 300+280\times 100+100\times 600 }{ 1200\times 300+320\times 100+1000\times 600 } =\frac { 300+28+60 }{ 12\times 30+32+600 } =\frac { 388 }{ 992 } \approx 0.39$$

故選$\bbox[red,2pt]{(2)}$

---

解：

$$\left( 12-1-k \right) \left( 15-9-k \right) <0\Rightarrow \left( k-11 \right) \left( k-6 \right) <0\Rightarrow k=7,8,9,10$$

故選$\bbox[red,2pt]{(3,5)}$

---

解：

$$\left( 2 \right) 0.\overline { 72 } +0.\overline { 28 } =\frac { 72 }{ 99 } +\frac { 28 }{ 99 } =\frac { 100 }{ 99 } =1\frac { 1 }{ 99 } =1.\overline { 01 } \neq 1.\overline { 1 } \\ \left( 3 \right) 0.\overline { 7 } +0.\overline { 3 } =\frac { 7 }{ 9 } +\frac { 3 }{ 9 } =\frac { 10 }{ 9 } \neq 1$$

故選$\bbox[red,2pt]{(1,4,5)}$

---

解：

(1)正確：圖乙的橫軸只有5種數字，且最小的只有1個，因此横軸是測驗A的分數
(2)正確：測驗B的分數皆低於67，因此縱軸不是測驗B的分數，而是總成績
(3)錯誤：圖甲的縱軸與圖乙的縱軸相同，皆為總成績；若圖甲縱軸也是總成績，則圖形為一直(x-y=0)，而非呈現散佈狀
(4)正確：此題相當於問：圖甲的最上面20個點與最右的20個點是否相同？由圖甲可知兩者相同。
(5)正確：總成績的平均數= $$\frac { A分數的總和\times 0.5+B分數的總和\times 0.5 }{ 50 } \\ =\frac { A分數的平均\times 50\times 0.5+B分數的平均\times 50\times 0.5 }{ 50 } \\ =A分數的平均\times 0.5+B分數的平均\times 0.5\\ =\frac { A分數的平均+B分數的平均 }{ 2 } =\frac { 97.38+40.22 }{ 2 }$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(1,2,4,5)}$

---

解：

(1)錯誤： 媒體A的信賴區間為$\left[ \hat { p } -2\hat { \sigma  } ,\hat { p } +2\hat { \sigma  }  \right] =\left[ 0.3-0.04,0.3+0.04 \right] =\left[ 0.26,0.34 \right]$
(2)正確： $$\hat { p } _{ B }\left( 1-\hat { p } _{ B } \right) =0.4\times 0.6=0.24>0.21=0.3\times 0.7=\hat { p } _{ A }\left( 1-\hat { p } _{ A } \right) \\ \Rightarrow \sqrt { \frac { \hat { p } _{ B }\left( 1-\hat { p } _{ B } \right)  }{ n }  } >\sqrt { \frac { \hat { p } _{ A }\left( 1-\hat { p } _{ A } \right)  }{ n }  } \Rightarrow \hat { \sigma  } _{ B }>\hat { \sigma  } _{ A }=0.02$$
(3)錯誤： $$\begin{cases} \hat { \sigma  } _{ A }=\sqrt { \frac { \hat { p } _{ A }\left( 1-\hat { p } _{ A } \right)  }{ n_{ A } }  }  \\ \hat { \sigma  } _{ C }=\sqrt { \frac { \hat { p } _{ C }\left( 1-\hat { p } _{ C } \right)  }{ n_{ C } }  }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 0.02=\sqrt { \frac { 0.3\times 0.7 }{ n_{ A } }  }  \\ 0.01=\sqrt { \frac { 0.3\times 0.7 }{ n_{ C } }  }  \end{cases}\Rightarrow 2=\sqrt { \frac { n_{ C } }{ n_{ A } }  } \Rightarrow n_{ C }=4\times n_{ A }$$
(4)錯誤：無資料可判定，真正的p值未知
(5)錯誤：無資料可判定，真正的p值未知

故選$\bbox[red,2pt]{(2)}$

---

解：

$$\begin{cases} A\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5 \\ 2 \end{bmatrix} \\ A\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 7 \\ 4 \end{bmatrix} \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a+b=5 \\ c+d=2 \\ a+2b=7 \\ c+2d=4 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=3 \\ b=2 \\ c=0 \\ d=2 \end{cases}\Rightarrow A=\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}\\ \left( 1 \right) \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}=3\times 2-0=6\\ \left( 2 \right) \begin{cases} { A }^{ 2 }={ \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} }^{ 2 }=\begin{bmatrix} 9 & 10 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} \\ 5A-6\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=5\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}-6\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 9 & 10 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} \end{cases}\Rightarrow { A }^{ 2 }=5A-6\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\\ \left( 3 \right) \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{bmatrix}\neq \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\Rightarrow { A }^{ -1 }\neq \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}\\ \left( 4 \right) A\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 9 \\ 6 \end{bmatrix}\\ \left( 5 \right) \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix}A=\begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3 & 4 \end{bmatrix}\neq \begin{bmatrix} 5 & 7 \end{bmatrix}$$

故選$\bbox[red,2pt]{(1,2,4)}$

---

解：

七盆花中，先將杜鵑及山茶選走，剩下7-2=5種花選2種，共有$C^5_2$種選法；
再將杜鵑及山茶綁在一起與選到的另二種花一起排列，共有3!排法；
杜鵑及山茶綁在一起有2種綁法(杜鵑+山茶,  或山茶+杜鵑)
所以總共有$C^5_2\times   3!\times   2=  10\times   6\times   2=\bbox[red,2pt]{120}$種排法。

---

解：

第1次抽中黑球的機率為$\frac{1}{4}$，期望值為$1\times\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$
第2次抽中黑球的機率為$\frac{3}{4}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{4}$，期望值為$2\times\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$

第3次抽中黑球的機率為$\frac{3}{4}\times\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，期望值為$3\times\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

第4次抽中黑球的機率為$\frac{3}{4}\times\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}\times 1=\frac{1}{4}$，期望值為$4\times\frac{1}{4}=1$

因此期望值為$\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+1=\bbox[red,2pt]{\frac{5}{2}}$

---

解：

$A\cap   B$的區域為上圖重疊區域，先求G點坐標為$(\frac{2}{3},\frac{4}{3})$，則$\triangle OGC$面積=$\frac { 1 }{ 2 } \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ \frac { 2 }{ 3 }  & \frac { 4 }{ 3 }  \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ 2 } \times \frac { 2 }{ 3 } =\frac { 1 }{ 3 }$

答：$\bbox[red,2pt]{\frac { 1 }{ 3 }}$

---

解： $$\left( 1 \right) \log { 1.5 } =\log { \frac { 3 }{ 2 } } =\log { 3 } -\log { 2 } =0.4771-0.301=\bbox[red,2pt]{0.1761}\\ \left( 2 \right) \log { { \left( 1.5 \right) }^{ 60 } } =60\times \log { 1.5 } =60\times 0.1761=\bbox[red,2pt]{10.566}\\ \left( 3 \right) { \left( 1.5 \right) }^{ 60 }=10^{ 10.566 }\Rightarrow { \left( 1.5 \right) }^{ 60 }為\bbox[red,2pt]{11}位數\\ (4)\log { 3 } =0.4771<0.566<0.602=2\log { 2 }  =\log { 4 } \Rightarrow { \left( 1.5 \right) }^{ 60 }整數部份最左邊的數字是\bbox[red,2pt]{3}$$

---

解：

假設甲生產 x單位，乙生產y單位，利潤為k 元，依題意要求，x,y需符合 $$\begin{cases} x,y\ge 0 \\ 5x+3y\le 1000 \\ 3x+6y\le 1020 \\ 3x+3y\le 660 \end{cases}$$ 並求$600x+700y=k$的最大值

先求各交點，如上圖。將各交點代入求k值，以C點有最大值，也就是
當x=100,y=120時，k有最大值$100\times   600+120\times  700=144000$

答：甲生產$\bbox[red,2pt]{100}$單位，乙生產$\bbox[red,2pt]{120}$單位，能獲得最大利潤$\bbox[red,2pt]{144000}$元

---