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2018年4月17日 星期二

100年大學學測數學詳解


100 學年度學科能力測驗
數學科詳解

一、單選題

解:
取出黑球的機率為35、取出白球的機率為25,因此期望值為50×35+100×25=30+40=70故選(1)


解:4(x2+1)+(x+1)2(x3)+(x1)3=(4x2+4)+(x3x25x3)+(x33x2+3x1)=2x32x=2x(x21)=2x(x+1)(x1)
故選(5)


解:
(an+1)2=110(an)2log(an+1)2=log(110(an)2)2log(an+1)=12+2log(an)log(an+1)log(an)=14bn+1bn=14bn,14
故選(2)




解:
(x252+y242)(x232y242)=0(x252+y242)(x3+y4)(x3y4)=0(x252+y242)=04x+3y=04x3y=0
故選(3)



解:(1)×:{log37=7log3=7×0.47713.34log73=3log7=3×0.84512.5437>73(2)×:{log510=10(1log2)=10×0.6997log105=5510>105(3)×:{log2100=10log2=100×0.301=30.1log1030=302100>1030(4)×:log23=log3log2=0.47710.3011.59(5):23.5=23×20.5=8×2=8×1.41411.3>1123.5>113.5>log211
故選(5)




解:
將死亡率由小至大排列,第31個就是中位數;
超過0.2的死亡率由小至大排列為:   0.2019(25)、0.2034(26)、0.2051(27)、0.2085(28)、0.2123(29)、0.2137(30)、0.2164(31)、0.2166(32)....第31個為0.2164,故選(2)

二、多選題

解:
(1):cos60=(12,0)=D
(2)×:cos50+isin50=E(a,a)在線上,不在內部
(3):43i5=(45,35=F
(4)×:1+3i2=(12,32=G,不在內部
(5):(cos30+isin30)25=(cos750+isin750)=(cos30+isin30)=(32,12)=H

故選(1,3,5)



解:

sinθ=23cosθ>0cosθ=53(1):tanθ=sinθcosθ=<0(2):tan2θ=(sinθcosθ)2=(2353)2=(25)2=45>49(3)×:{sin2θ=(23)2=49cos2θ=(53)2=59cos2θ>sin2θ(4)×:sin2θ=2sinθcosθ=2×25×55<0(5)×:cos2θ=2cos2θ1=2×591>0(sinθ,cosθ)=(sin2θ,cos2θ)=(,)θ,2θ
答:b=(1,2)




解:

(1)×:C1=12ׯAB=12×5=2.52(2)×:C1O1=(3+02,0+42)=(32,2)(3):4×32+3×2=6+6=12(4):C2O2AOB,=1(5)×:(4)
故選:(3,4)



解:(1):w=(a,b){wv=0|w|=|v|{2a+5b=0a2+b2=9(a,b)={(5,2)(5,2)(2):|v+w|2=|v|2+2vw+|w|2=|v|22vw+|w|2=|vw|2(3)×:cosθ=(v+w)w|v+w||w|=vw+|w|2|v+w||w|=0+9|v|2+|w|2×|w|=918×3=12θ=45°(4)×:|u|2=|av+bw|2=a2|v|2+2ab(vw)+b2|w|2=9a2+0+9b2|u|=3a2+b2(5):(1,0)=cv+dw{(1,0)=c(2,5)+d(5,2)=(2c+5d,2d+5c)(1,0)=c(2,5)+d(5,2)=(2c5d,2d+5c){{2c+5d=12d+5c=0{2c5d=12d+5c=0{(c,d)=(29,59)(c,d)=(29,59)c>0
故選:(1,2,5)



解:

只有(4)及(5)的圖形將圓C完全包住,故選:(4,5)



解:
(1):原點與球心(1,2,3)的距離平方為12+22+32=14
(2)×:A與球心的距離平方為0+22+32=13<14A在球內
(3):B與球心的距離平方為22+22+32=17>14B在球外,球內一點與球外一點的連線與球面有相交
(4):BA=(2,0,0)直線AB上的點可表示成(t, 0, 0);當t=1時,(t,0,0)至(1,2,3)的距離最小,即A為直線AB上距球心最近的點
(5)×:{xySyzSxzS={(x1)2+(y2)2+(3)2=14(1)2+(y2)2+(z3)2=14(x1)2+(2)2+(z3)2=14{(x1)2+(y2)2=5(y2)2+(z3)2=13(x1)2+(z3)2=10{51310Syz故選(1,3,4)


解:(1)×:f(12)=××<0(2)×:f(x)=2x(x1)(x+1)=2x3x2=0,x=±1,±2,(3):g(x)=f(x)(x2+1)=x3x2x1{g(2)=8421=1>0g(1)=1111=2<0g(x)=012(4)×:f(x)=xx32x=0x=0,±2(5)×:g(x)=f(x)2=x3x2,g(a)=0a3a2=0a3+a2=4g(a)=4f(a)=20
故選(3)


第貳部份:選填題
{a1r=5a13r=7{a=358r=18a12r=358128=356



解:
cotAEB=265=¯EB¯AB{¯EB=26a¯AB=5a¯CE2=¯EB2+¯BC2=24a2+25a2¯CE=24a2+25a2=7acotCED=¯CE¯CD=7a5a=75


1男2女+2男1女=C201C152+C202C151C353=2100+28506545=49506545=9901309=90119


解:

A=C=90B+D=180cosB=cosD1+25¯AC22×5×1=49+25¯AC22×5×726¯AC210=74¯AC2701827¯AC2=74+¯AC2256=8¯AC2¯AC=32



假設目前(A、B、C)的質量分別為(a、b、c)公克,則半年前的質量分別為(2a,3b,4c)公克、一年前的質量分別為(4a,9b,16c)公克;由三種不同時間的輻射強度可得以下聯立方程式:{a+2b+c=82a+6b+4c=224a+18b+16c=66{a+2b+c=8a+3b+2c=112a+9b+8c=33{b+c=35b+6c=17{b=1c=2{a=4b=1c=2
答:A、B、C的質量分別為412公克



E1: 焦點在(3,0)及(-3,0),則a2=b2+32b2=a29,即E1:x2a2+y2a29=1
E2: 拋物線方程式為y2=12x
x=3代入E2,可得交點為(3,6)及(3,-6);再將兩交點代入E1可得\frac { 3^{ 2 } }{ a^{ 2 } } +\frac { 6^{ 2 } }{ a^{ 2 }-9 } =1\Rightarrow \frac { 36 }{ a^{ 2 }-9 } =\frac { a^{ 2 }-9 }{ a^{ 2 } } \Rightarrow a^{ 2 }-9=6a(\because a>0,\therefore -6a不合)\\ \Rightarrow a=\frac { 6+6\sqrt { 2 }  }{ 2 } (\because a>0,\therefore \frac { 6-6\sqrt { 2 }  }{ 2 } 不合)=\bbox[red,2pt]{3+3\sqrt { 2 }} 另一種方法: E1及E2的交點(3,6)在橢圓上,則交點至兩焦點的和為2a,即\overline{(3,6),(3,0)}+\overline{(3,6),(-3,0)}=2a\Rightarrow 6+\sqrt{72}=2a\Rightarrow a=3+3\sqrt{2}



平面H的法向量\vec{u}=(1,-1,1), \vec{OP}=(2,1,1),則L的方向向量=\vec{u}\times\vec{OP} =(1,-1,1)\times (2,1,1) = (-2,1,3)=\bbox[red,2pt]{(2,-1,-3)}






7 則留言:

  1. 不好意思,第六題好像有點小錯誤,中位數應該是第31個資料

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    1. 謝謝指正,已修訂! 這是考驗眼力的題目........

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    2. 大考中心只會出這種糞題目考什麼數學

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  2. 不好意思,第五題也有一個小錯誤,選項1的log7的三次方應該=3log7才對~

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