100 學年度學科能力測驗
數學科詳解
解:取出黑球的機率為35、取出白球的機率為25,因此期望值為50×35+100×25=30+40=70,故選(1)
解:4(x2+1)+(x+1)2(x−3)+(x−1)3=(4x2+4)+(x3−x2−5x−3)+(x3−3x2+3x−1)=2x3−2x=2x(x2−1)=2x(x+1)(x−1)
故選(5)
解:
(an+1)2=1√10(an)2⇒log(an+1)2=log(1√10(an)2)⇒2log(an+1)=−12+2log(an)⇒log(an+1)−log(an)=−14⇒bn+1−bn=−14⇒⟨bn⟩為等差數列,公差為−14
故選(2)
故選(2)
解:
(x252+y242)(x232−y242)=0⇒(x252+y242)(x3+y4)(x3−y4)=0⇒(x252+y242)=0或4x+3y=0或4x−3y=0
故選(3)
解:(1)×:{log37=7log3=7×0.4771≈3.34log73=3log7=3×0.8451≈2.54⇒37>73(2)×:{log510=10(1−log2)=10×0.699≈7log105=5⇒510>105(3)×:{log2100=10log2=100×0.301=30.1log1030=30⇒2100>1030(4)×:log23=log3log2=0.47710.301≈1.59(5)◯:23.5=23×20.5=8×√2=8×1.414≈11.3>11⇒23.5>11⇒3.5>log211
故選(5)
解:
超過0.2的死亡率由小至大排列為: 0.2019(25)、0.2034(26)、0.2051(27)、0.2085(28)、0.2123(29)、0.2137(30)、0.2164(31)、0.2166(32)....第31個為0.2164,故選(2)
二、多選題
解:
(2)×:cos50∘+isin50∘=E(a,a)在線上,不在內部
(3)◯:4−3i5=(45,−35=F點
(4)×:1+√3i2=(12,√32=G點,不在內部
(5)◯:(cos30∘+isin30∘)25=(cos750∘+isin750∘)=(cos30∘+isin30∘)=(√32,12)=H點
故選(1,3,5)
解:
sinθ=−23且cosθ>0⇒cosθ=√53(1)◯:tanθ=sinθcosθ=負正<0(2)◯:tan2θ=(sinθcosθ)2=(−23√53)2=(2√5)2=45>49(3)×:{sin2θ=(−23)2=49cos2θ=(√53)2=59⇒cos2θ>sin2θ(4)×:sin2θ=2sinθcosθ=2×−25×√55<0(5)×:cos2θ=2cos2θ−1=2×59−1>0⇒(sinθ,cosθ)=(sin2θ,cos2θ)=(負,正)⇒θ,2θ在同象限
sinθ=−23且cosθ>0⇒cosθ=√53(1)◯:tanθ=sinθcosθ=負正<0(2)◯:tan2θ=(sinθcosθ)2=(−23√53)2=(2√5)2=45>49(3)×:{sin2θ=(−23)2=49cos2θ=(√53)2=59⇒cos2θ>sin2θ(4)×:sin2θ=2sinθcosθ=2×−25×√55<0(5)×:cos2θ=2cos2θ−1=2×59−1>0⇒(sinθ,cosθ)=(sin2θ,cos2θ)=(負,正)⇒θ,2θ在同象限
答:b=(1,2)
解:
(1)×:C1半徑=12ׯAB=12×5=2.5≠2(2)×:C1的圓心O1=(3+02,0+42)=(32,2)(3)◯:4×32+3×2=6+6=12(4)◯:C2的圓心O2在∠AOB的角平分線上,即斜率=1的直線上(5)×:理由同(4)
故選:(3,4)
解:(1)◯:→w=(a,b)⇒{→w⋅→v=0|→w|=|→v|⇒{2a+√5b=0a2+b2=9⇒(a,b)={(√5,−2)(−√5,2)(2)◯:|→v+→w|2=|→v|2+2→v⋅→w+|→w|2=|→v|2−2→v⋅→w+|→w|2=|→v−→w|2(3)×:cosθ=(→v+→w)⋅→w|→v+→w||→w|=→v⋅→w+|→w|2|→v+→w||→w|=0+9√|→v|2+|→w|2×|→w|=9√18×3=1√2⇒θ=45°(4)×:|→u|2=|a→v+b→w|2=a2|→v|2+2ab(→v⋅→w)+b2|→w|2=9a2+0+9b2⇒|→u|=3√a2+b2(5)◯:(1,0)=c→v+d→w⇒{(1,0)=c(2,√5)+d(√5,−2)=(2c+√5d,−2d+√5c)(1,0)=c(2,√5)+d(−√5,2)=(2c−√5d,2d+√5c)⇒{{2c+√5d=1−2d+√5c=0{2c−√5d=12d+√5c=0⇒{(c,d)=(29,√59)(c,d)=(29,−√59)⇒c>0
故選:(1,2,5)
解:
(1)◯:原點與球心(1,2,3)的距離平方為12+22+32=14
(2)×:A與球心的距離平方為0+22+32=13<14⇒A在球內
(3)◯:B與球心的距離平方為22+22+32=17>14⇒B在球外,球內一點與球外一點的連線與球面有相交
(4)◯:→BA=(2,0,0)⇒直線AB上的點可表示成(t, 0, 0);當t=1時,(t,0,0)至(1,2,3)的距離最小,即A為直線AB上距球心最近的點
(5)×:{xy平面∩Syz平面∩Sxz平面∩S={(x−1)2+(y−2)2+(−3)2=14(−1)2+(y−2)2+(z−3)2=14(x−1)2+(−2)2+(z−3)2=14⇒{(x−1)2+(y−2)2=5(y−2)2+(z−3)2=13(x−1)2+(z−3)2=10⇒{半徑為√5的圓半徑為√13的圓半徑為√10的圓⇒S與yz平面所截的圓面積最大故選(1,3,4)
(2)×:A與球心的距離平方為0+22+32=13<14⇒A在球內
(3)◯:B與球心的距離平方為22+22+32=17>14⇒B在球外,球內一點與球外一點的連線與球面有相交
(4)◯:→BA=(2,0,0)⇒直線AB上的點可表示成(t, 0, 0);當t=1時,(t,0,0)至(1,2,3)的距離最小,即A為直線AB上距球心最近的點
(5)×:{xy平面∩Syz平面∩Sxz平面∩S={(x−1)2+(y−2)2+(−3)2=14(−1)2+(y−2)2+(z−3)2=14(x−1)2+(−2)2+(z−3)2=14⇒{(x−1)2+(y−2)2=5(y−2)2+(z−3)2=13(x−1)2+(z−3)2=10⇒{半徑為√5的圓半徑為√13的圓半徑為√10的圓⇒S與yz平面所截的圓面積最大故選(1,3,4)
解:(1)×:f(1√2)=正×負×正<0(2)×:f(x)=2⇒x(x−1)(x+1)=2⇒x3−x−2=0若有整數解,其解為x=±1,±2,但將其代入皆不合(3)◯:令g(x)=f(x)−(x2+1)=x3−x2−x−1⇒{g(2)=8−4−2−1=1>0g(1)=1−1−1−1=−2<0⇒g(x)=0有實數解介於1與2之間(4)×:f(x)=x⇒x3−2x=0⇒x=0,±√2(5)×:令g(x)=f(x)−2=x3−x−2,則g(a)=0⇒a3−a−2=0⇒−a3+a−2=−4⇒g(−a)=−4⇒f(−a)=−2≠0
故選(3)
解:
1男2女+2男1女=C201C152+C202C151C353=2100+28506545=49506545=9901309=90119
解:
∠A=∠C=90∘⇒∠B+∠D=180∘⇒cos∠B=−cos∠D⇒1+25−¯AC22×5×1=−49+25−¯AC22×5×7⇒26−¯AC210=−74−¯AC270⇒182−7¯AC2=−74+¯AC2⇒256=8¯AC2⇒¯AC=√32
解:
假設目前(A、B、C)的質量分別為(a、b、c)公克,則半年前的質量分別為(2a,3b,4c)公克、一年前的質量分別為(4a,9b,16c)公克;由三種不同時間的輻射強度可得以下聯立方程式:{a+2b+c=82a+6b+4c=224a+18b+16c=66⇔{a+2b+c=8a+3b+2c=112a+9b+8c=33⇒{b+c=35b+6c=17⇒{b=1c=2⇒{a=4b=1c=2
答:A、B、C的質量分別為4、1、2公克
解:
E1: 焦點在(3,0)及(-3,0),則a2=b2+32⇒b2=a2−9,即E1:x2a2+y2a2−9=1
E2: 拋物線方程式為y2=12x
x=3代入E2,可得交點為(3,6)及(3,-6);再將兩交點代入E1可得\frac { 3^{ 2 } }{ a^{ 2 } } +\frac { 6^{ 2 } }{ a^{ 2 }-9 } =1\Rightarrow \frac { 36 }{ a^{ 2 }-9 } =\frac { a^{ 2 }-9 }{ a^{ 2 } } \Rightarrow a^{ 2 }-9=6a(\because a>0,\therefore -6a不合)\\ \Rightarrow a=\frac { 6+6\sqrt { 2 } }{ 2 } (\because a>0,\therefore \frac { 6-6\sqrt { 2 } }{ 2 } 不合)=\bbox[red,2pt]{3+3\sqrt { 2 }} 另一種方法: E1及E2的交點(3,6)在橢圓上,則交點至兩焦點的和為2a,即\overline{(3,6),(3,0)}+\overline{(3,6),(-3,0)}=2a\Rightarrow 6+\sqrt{72}=2a\Rightarrow a=3+3\sqrt{2}
解:
平面H的法向量\vec{u}=(1,-1,1), \vec{OP}=(2,1,1),則L的方向向量=\vec{u}\times\vec{OP} =(1,-1,1)\times (2,1,1) = (-2,1,3)=\bbox[red,2pt]{(2,-1,-3)}
不好意思,第六題好像有點小錯誤,中位數應該是第31個資料
回覆刪除謝謝指正,已修訂! 這是考驗眼力的題目........
刪除大考中心只會出這種糞題目考什麼數學
刪除不好意思,第五題也有一個小錯誤,選項1的log7的三次方應該=3log7才對~
回覆刪除已 修訂,謝謝!
刪除⃗
回覆刪除u是(1,-1,1)
已 修訂,謝謝!
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