100 學年度指定科目考試試題
數學乙
一、單選題
$$P\left( A|B \right) =\frac { P(A\cap B) }{ P(B) } =\frac { P(B\cap A) }{ P(A) } =P\left( B|A \right) ，故選\bbox[red,2pt]{(4)}$$
解：
只有三種情況，如上圖，故選\(\bbox[red,2pt]{(1)}\)
二、多選題
解：
$$(1)\bigcirc:同一個受檢測只會出現A_1至A_8中的一種情況,即A_i\cap A_j=\emptyset \;\;\forall i\ne j。\\因此P(A_1\cup A_2)=P(A_1)+P(A_2)-P(A_1\cap A_2)=P(A_1)+P(A_2)-P(\emptyset)=P(A_1)+P(A_2)\\(2)\bigcirc: 方法乙出現正號在A_1,A_2,A_4及A_6，因此其機率為P(A_1)+P(A_2)+P(A_4)+P(A_6)\\ (3)\times: 結果一致代表同為正號或負號，其機率為P(A_1)+P(A_2)+P(A_7)+P(A_8)\\ (4)\times: 甲乙丙結果一致代表皆為正或皆為負，其機率為P(A_1)+P(A_8)$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(1,2)}\)
解：
(1)\(\bigcirc\)：方案一中，1~50號及51~100號被抽中的機率皆是25/50=1/2
(2)\(\times\)：方案二中，1~60號被抽中的機率是32/60；61~100號被抽中的機率是18/40，兩者不相同
(3)\(\bigcirc\)：方案三中，每1組被抽中的機率皆是1/2
(4)\(\bigcirc\)：方案四中，偶數學號及奇數學號被抽中的機率皆是3/6=1/2
故選\(\bbox[red,2pt]{(1,3,4)}\)
解：
$$(1)\bigcirc :(\pi ,r)在y=\log _{ 2 }{ x } 上\Rightarrow r=\log _{ 2 }{ \pi } \Rightarrow 2^{ r }=\pi \Rightarrow (r,\pi )在y=2^{ x }之上一點\\ (2)\bigcirc :2^{ r }=\pi \Rightarrow { \left( { 2 }^{ -1 } \right) }^{ -r }=\pi \Rightarrow \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ -r }=\pi \Rightarrow (-r,\pi )在y=\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ x }上\\ (3)\bigcirc: 2^{ r }=\pi \Rightarrow 2^{ -r }=\pi^{-1}\Rightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^r=\frac{1}{\pi}\Rightarrow \left(\frac{1}{\pi},r\right)在y=\log_{\frac{1}{2}}{x}之上\\ (4) \times: 2^r=\pi\Rightarrow \left(2^r\right)^2=4^r=\pi^2\ne 2\pi\Rightarrow (r,2\pi)不在y=4^x之上$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(1,2,3)}\)
解：
$$(1)\times:B組同學有20\%答錯第一題\\ (2)\times:第二題答錯的共有0+20+70+100=190人，其中B組所占的比率為\frac{20}{190}<0.5\\ (3)\bigcirc 第一題的答對率為\frac{100+80+70+20}{400}=67.5\%, \\第二題的答對率為\frac{100+80+30}{400}=52.5\%，兩者相差67.5-52.5=15\%\\ (4)\bigcirc: C組第二題答對的有30人，因此兩題都答對的機率最多為\frac{30}{100}=0.3$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(3,4)}\)
三、選填題
解：$$g\left( -1 \right) =1-1+1-3+2=0\Rightarrow \left( x+1 \right) 為g\left( x \right) 的因式\\ \Rightarrow g\left( x \right) =(x-1)(x^{ 3 }+x+2)\Rightarrow f\left( x \right) =(x^{ 3 }+x+2)(x^{ 2 }-2)\\ \Rightarrow h\left( x \right) =(x^{ 3 }+x+2)\Rightarrow h\left( 1 \right) \times h\left( 2 \right) =4\times 12=48$$也可以直接用輾轉相除法求最高公因式，即
答：\(\bbox[red,2pt]{48}\)
解：
答：\(\bbox[red,2pt]{\frac{3\sqrt{7}}{32}}\)
解：
答：\(\bbox[red,2pt]{10}\)
解：
在D點有最小值48\(\Rightarrow 2a+3b=48\)，也代表在B點在最大值: \(18a+27b=9(2a+3b) = 9\times 48=432\)
答：\(\bbox[red,2pt]{432}\)
第貳部份 ：非選擇題
解：
直線\(2x-y=0\)與\(x+y=0及x+y=6\)分別交於A(0,0)及B(2,4)如上圖
(1) 菱形的邊長=\(\overline{AB}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)
(2)直線\(\overline{CD}\)與\(2x-y=0\)有相同的斜率2，即\(a=2\)；
D點在\(x+y=0\)上，因此可令\(D=(t,-t)\)，其中\(t>0\)；由\(\overline{AD}=\sqrt{20} \Rightarrow 2t^2=20\Rightarrow t=\sqrt{10}\Rightarrow D=(\sqrt{10},-\sqrt{10})\)；將D點代入\(y=ax-b=2x-b \Rightarrow -\sqrt{10}=2\sqrt{10}-b\Rightarrow b=3\sqrt{10}\)
直線\(2x-y=0\)與\(x+y=0及x+y=6\)分別交於A(0,0)及B(2,4)如上圖
(1) 菱形的邊長=\(\overline{AB}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)
(2)直線\(\overline{CD}\)與\(2x-y=0\)有相同的斜率2，即\(a=2\)；
D點在\(x+y=0\)上，因此可令\(D=(t,-t)\)，其中\(t>0\)；由\(\overline{AD}=\sqrt{20} \Rightarrow 2t^2=20\Rightarrow t=\sqrt{10}\Rightarrow D=(\sqrt{10},-\sqrt{10})\)；將D點代入\(y=ax-b=2x-b \Rightarrow -\sqrt{10}=2\sqrt{10}-b\Rightarrow b=3\sqrt{10}\)
答：(1)菱形邊長為\(\bbox[red,2pt]{2\sqrt{5}}; (2)a=\bbox[red,2pt]{2},b=\bbox[red,2pt]{3\sqrt{10}}\)
解：
(1) a, b,c ,d需滿足\(0\le a,b,c,d\le 0\)且\(a+c=1,b+d=1\)
(2)\(A^{ 2 }=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a^2+bc & ab+bd \\ ac+cd & bc+d^2 \end{bmatrix}\)，由於\(0\le a,b,c,d\)，所以\(A^2\)各元素皆大於等於0；又\(\begin{cases} \left( a^{ 2 }+bc \right) +\left( ac+cd \right) =a(a+c)+c(b+d)=a+c=1 \\ \left( ab+bd \right) +\left( bc+d^{ 2 } \right) =b(a+c)+d(b+d)=b+d=1 \end{cases}\)。因此\(A^2\)符合轉移矩陣的條件。
(2)\(A^{ 2 }=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a^2+bc & ab+bd \\ ac+cd & bc+d^2 \end{bmatrix}\)，由於\(0\le a,b,c,d\)，所以\(A^2\)各元素皆大於等於0；又\(\begin{cases} \left( a^{ 2 }+bc \right) +\left( ac+cd \right) =a(a+c)+c(b+d)=a+c=1 \\ \left( ab+bd \right) +\left( bc+d^{ 2 } \right) =b(a+c)+d(b+d)=b+d=1 \end{cases}\)。因此\(A^2\)符合轉移矩陣的條件。
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