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2018年4月20日 星期五

100年大學指考數學乙詳解


100 學年度指定科目考試試題
數學乙

一、單選題


解:
$$P\left( A|B \right) =\frac { P(A\cap B) }{ P(B) } =\frac { P(B\cap A) }{ P(A) } =P\left( B|A \right) ,故選\bbox[red,2pt]{(4)}$$



解:

只有三種情況,如上圖,故選\(\bbox[red,2pt]{(1)}\)

二、多選題


解:
$$(1)\bigcirc:同一個受檢測只會出現A_1至A_8中的一種情況,即A_i\cap A_j=\emptyset \;\;\forall i\ne j。\\因此P(A_1\cup A_2)=P(A_1)+P(A_2)-P(A_1\cap A_2)=P(A_1)+P(A_2)-P(\emptyset)=P(A_1)+P(A_2)\\(2)\bigcirc: 方法乙出現正號在A_1,A_2,A_4及A_6,因此其機率為P(A_1)+P(A_2)+P(A_4)+P(A_6)\\ (3)\times: 結果一致代表同為正號或負號,其機率為P(A_1)+P(A_2)+P(A_7)+P(A_8)\\ (4)\times: 甲乙丙結果一致代表皆為正或皆為負,其機率為P(A_1)+P(A_8)$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(1,2)}\)




解:
(1)\(\bigcirc\):方案一中,1~50號及51~100號被抽中的機率皆是25/50=1/2
(2)\(\times\):方案二中,1~60號被抽中的機率是32/60;61~100號被抽中的機率是18/40,兩者不相同
(3)\(\bigcirc\):方案三中,每1組被抽中的機率皆是1/2
(4)\(\bigcirc\):方案四中,偶數學號及奇數學號被抽中的機率皆是3/6=1/2
故選\(\bbox[red,2pt]{(1,3,4)}\)



解:
$$(1)\bigcirc :(\pi ,r)在y=\log _{ 2 }{ x } 上\Rightarrow r=\log _{ 2 }{ \pi  } \Rightarrow 2^{ r }=\pi \Rightarrow (r,\pi )在y=2^{ x }之上一點\\ (2)\bigcirc :2^{ r }=\pi \Rightarrow { \left( { 2 }^{ -1 } \right)  }^{ -r }=\pi \Rightarrow \left( \frac { 1 }{ 2 }  \right) ^{ -r }=\pi \Rightarrow (-r,\pi )在y=\left( \frac { 1 }{ 2 }  \right) ^{ x }上\\ (3)\bigcirc: 2^{ r }=\pi \Rightarrow 2^{ -r }=\pi^{-1}\Rightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^r=\frac{1}{\pi}\Rightarrow \left(\frac{1}{\pi},r\right)在y=\log_{\frac{1}{2}}{x}之上\\ (4) \times: 2^r=\pi\Rightarrow \left(2^r\right)^2=4^r=\pi^2\ne 2\pi\Rightarrow (r,2\pi)不在y=4^x之上$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(1,2,3)}\)



解:
$$(1)\times:B組同學有20\%答錯第一題\\ (2)\times:第二題答錯的共有0+20+70+100=190人,其中B組所占的比率為\frac{20}{190}<0.5\\ (3)\bigcirc 第一題的答對率為\frac{100+80+70+20}{400}=67.5\%, \\第二題的答對率為\frac{100+80+30}{400}=52.5\%,兩者相差67.5-52.5=15\%\\ (4)\bigcirc: C組第二題答對的有30人,因此兩題都答對的機率最多為\frac{30}{100}=0.3$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(3,4)}\)

三、選填題

解:$$g\left( -1 \right) =1-1+1-3+2=0\Rightarrow \left( x+1 \right) 為g\left( x \right) 的因式\\ \Rightarrow g\left( x \right) =(x-1)(x^{ 3 }+x+2)\Rightarrow f\left( x \right) =(x^{ 3 }+x+2)(x^{ 2 }-2)\\ \Rightarrow h\left( x \right) =(x^{ 3 }+x+2)\Rightarrow h\left( 1 \right) \times h\left( 2 \right) =4\times 12=48$$也可以直接用輾轉相除法求最高公因式,即
可得最高公因式為\(-x^3-x-2\),由於最高次項係數為1,所以\(h(x)=x^3+x+2\)

答:\(\bbox[red,2pt]{48}\)




解:
0612、9683、4251、9138=正反正正、反反反正、正正反正、反正正反,共有9個正及7個反,因此\(\hat{p}=\frac{9}{9+7}=\frac{9}{16}\Rightarrow 2\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}= 2\sqrt{\frac{\frac{9}{16}\times\frac{7}{16}}{16}}=\frac{3\sqrt{7}}{32}\)
答:\(\bbox[red,2pt]{\frac{3\sqrt{7}}{32}}\)




解:
$$\vec { AC } =(2,6),\vec { AB } =(4,2),\vec { AD } =(x,2x),x>0\\ \triangle ACD+\triangle ADB=40\Rightarrow \frac { 1 }{ 2 } \begin{Vmatrix} 2 & 6 \\ x & 2x \end{Vmatrix}+\frac { 1 }{ 2 } \begin{Vmatrix} x & 2x \\ 4 & 2 \end{Vmatrix}=40\\ \Rightarrow \left| 4x-6x \right| +\left| 2x-8x \right| =80\Rightarrow 2x+6x=80\Rightarrow x=10$$
答:\(\bbox[red,2pt]{10}\)




解:

在D點有最小值48\(\Rightarrow   2a+3b=48\),也代表在B點在最大值:   \(18a+27b=9(2a+3b)   =  9\times   48=432\)
答:\(\bbox[red,2pt]{432}\)

第貳部份 :非選擇題


解:

直線\(2x-y=0\)與\(x+y=0及x+y=6\)分別交於A(0,0)及B(2,4)如上圖
(1) 菱形的邊長=\(\overline{AB}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)
(2)直線\(\overline{CD}\)與\(2x-y=0\)有相同的斜率2,即\(a=2\);
D點在\(x+y=0\)上,因此可令\(D=(t,-t)\),其中\(t>0\);由\(\overline{AD}=\sqrt{20}  \Rightarrow   2t^2=20\Rightarrow  t=\sqrt{10}\Rightarrow   D=(\sqrt{10},-\sqrt{10})\);將D點代入\(y=ax-b=2x-b   \Rightarrow   -\sqrt{10}=2\sqrt{10}-b\Rightarrow   b=3\sqrt{10}\)
答:(1)菱形邊長為\(\bbox[red,2pt]{2\sqrt{5}}; (2)a=\bbox[red,2pt]{2},b=\bbox[red,2pt]{3\sqrt{10}}\)



解:
(1) a, b,c ,d需滿足\(0\le   a,b,c,d\le   0\)且\(a+c=1,b+d=1\)

(2)\(A^{ 2 }=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a^2+bc & ab+bd \\ ac+cd & bc+d^2 \end{bmatrix}\),由於\(0\le   a,b,c,d\),所以\(A^2\)各元素皆大於等於0;又\(\begin{cases} \left( a^{ 2 }+bc \right) +\left( ac+cd \right) =a(a+c)+c(b+d)=a+c=1 \\ \left( ab+bd \right) +\left( bc+d^{ 2 } \right) =b(a+c)+d(b+d)=b+d=1 \end{cases}\)。因此\(A^2\)符合轉移矩陣的條件。




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