100年大學指考數學甲詳解

100 學年度指定科目考試試題
數學甲

一、單選題

解：
對所有的正整數\(y\)而言，\(5^y\)的個位數一定是5；而\(2^x\)的個位一定是偶數，故選\(\bbox[red,2pt]{(5)}\)

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解：

A、B、C、D各有四種選法，共有\(4^4=256\)種填法；
A>B的填法，即AB=43,42,41,32,31,21共6種；同理CD也有6種。因此總共有\(6\times  6=36\)種填法符合要求。機率為\(\frac{36}{256}=\frac{9}{64}\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\)

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解：

令D=(1,0)，則$$A=\left( 0,\sqrt { 3 }  \right) ,B=\left( \frac { 1 }{ 2 } ,\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 }  \right) ,C=\left( \frac { 3 }{ 2 } ,\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 }  \right) ,D=\left( 1,0 \right) ,E=\left( \frac { 3 }{ 2 } ,-\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 }  \right) \\ F=\left( \frac { 1 }{ 2 } ,-\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 }  \right) ,G=\left( 0,-\sqrt { 3 }  \right) ,H=\left( -\frac { 1 }{ 2 } ,-\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 }  \right) ,I=\left( -\frac { 3 }{ 2 } ,-\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 }  \right) \\ J=\left( -1,0 \right) ,K=\left( -\frac { 3 }{ 2 } ,\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 }  \right) ,L=\left( -\frac { 1 }{ 2 } ,\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 }  \right) $$

由於要找a+b的最大值，只要考慮L、A、B、C四個點，其它點可能造成a或b為負值
\(\vec{OL}=\vec{x}+\vec{y}\Rightarrow a+b=1+1=2\)
\(\vec{OA}=3\vec{x}+2\vec{y}\Rightarrow a+b=3+2=5\)
\(\vec{OB}=\frac{5}{2}\vec{x}+\vec{y}\Rightarrow a+b=\frac{5}{2}+1=\frac{7}{2}\)
\(\vec{OC}=3\vec{x}+\vec{y}\Rightarrow a+b=3+1=1\)

故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)

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解：

由上圖可知:   \(\alpha<0且\alpha+10>0\Rightarrow   -10<\alpha<0\)

故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\)

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二、多選題

解：

$$\begin{cases} AB=\begin{bmatrix} 3 & 10 \\ -2 & 15 \end{bmatrix} \\ \left| A \right| =2 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \begin{bmatrix} 24+ac & 28+ad \\ 54+bc & 63+bd \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3 & 10 \\ -2 & 15 \end{bmatrix} \\ 4b-9a=2 \end{cases}\\ (1)\bigcirc :4b-9a=2\Rightarrow 9a-4b=-2\\ (2)\times :24+ac=3\Rightarrow ac=3-24=-21\ne -24\\ (3)\bigcirc :\begin{cases} 28+ad=10 \\ 63+bd=15 \end{cases}\Rightarrow \frac { a }{ b } =\frac { 3 }{ 8 } 代入4b-9a=2\Rightarrow a=\frac { 6 }{ 5 } \Rightarrow d=-15\\ (4)\times :\begin{bmatrix} b & -a \\ -9 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4 & a \\ 9 & b \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\Rightarrow 4b-9a=1\neq 2$$

故選\(\bbox[red,2pt]{(1,3)}\)

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解：

$$(1)\bigcirc :C\left( 10 \right) =5-2\left[ 1-2\times 10 \right] =5-2\left[ -19 \right] =5+38=43\\ (2)\times :t=\frac { 1 }{ 3 } \Rightarrow \begin{cases} \left[ 1-2t \right] =\left[ 1-\frac { 2 }{ 3 }  \right] =\left[ \frac { 1 }{ 3 }  \right] =0 \\ -\left[ 2t-1 \right] =-\left[ \frac { 2 }{ 3 } -1 \right] =-\left[ -\frac { 1 }{ 3 }  \right] =1 \end{cases}\\ (3)\times :\lim _{ t\rightarrow 10.5+ }{ C\left( t \right)  } =C\left( 11 \right) \neq \lim _{ t\rightarrow 10.5- }{ C\left( t \right)  } =C\left( 10.5 \right) \Rightarrow \lim _{ t\rightarrow 10.5 }{ C\left( t \right)  } 不存在\\ (4)\bigcirc :\lim _{ t\rightarrow 11.2 }{ C\left( t \right)  } =C\left( 11.5 \right) =5-2\left[ 1-23 \right] =49$$

故選\(\bbox[red,2pt]{(1,4)}\)

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解：$$\begin{cases} \vec { AC } =(-2,1,1) \\ \vec { AB } =(-1,2,-1) \end{cases}\Rightarrow 平面E之法向量\vec { n } =\vec { AC } \times \vec { AB } =(-3,-3,-3)\Rightarrow E:x+y+z=0\\ (1)\times :\left( \frac { 1 }{ 2 } ,\frac { 1 }{ 2 } ,-1 \right) 不在稜邊上\\ (2)\bigcirc :-1+1+0=0,該點在E上也在稜邊上\\ (3)\times :0-1-1=-2\ne 0,該點不在E上\\ (4)\times :(-2,1,1)不在立方體內$$

答：\(\bbox[red,2pt]{2}\)

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三、選填題

解：

$$\triangle CRQ\sim \triangle RAM\Rightarrow \frac { \overline { CQ }  }{ \overline { RQ }  } =\frac { \overline { RM }  }{ \overline { AM }  } \Rightarrow \frac { a }{ 5 } =\frac { 6 }{ \overline { AM }  } \Rightarrow \overline { AM } =\frac { 30 }{ a } \\ \triangle ABC面積=\frac { 1 }{ 2 } \overline { BC } \times \overline { AN } =\frac { 1 }{ 2 } \left( 12+2a \right) \times \left( \frac { 30 }{ a } +5 \right) \\ =60+\left( 5a+\frac { 180 }{ a }  \right) \ge 60+\left( 2\sqrt { 5a\times \frac { 180 }{ a }  }  \right) =60+2\times 30=120\\ \Rightarrow 當5a=\frac { 180 }{ a } 時,\triangle ABC面積有最小值120\\ 5a=\frac { 180 }{ a } \Rightarrow a^{ 2 }=36\Rightarrow a=6\Rightarrow \overline { AM } =\frac { 30 }{ a } =5\Rightarrow \overline { AN } =\overline { AM } +\overline { MN } =5+5=10$$

答：\(\bbox[red,2pt]{10}\)

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解：

假設甲、乙、丙產量的百分比分別為a,b,c，則a+b+c=1；依題意$$\frac { 0.05a }{ 0.05a+0.03b+0.03c } =\frac { 0.05a }{ 0.02a+0.03\left( a+b+c \right)  } =\frac { 0.05a }{ 0.02a+0.03 } \le \frac { 5 }{ 12 } \\ \Rightarrow 0.6a\le 0.1a+0.15\Rightarrow 0.5a\le 0.15\Rightarrow a\le 0.3=30\%$$

答：\(\bbox[red,2pt]{30}\)%

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解：

$$f(x)=4x^{ 3 }+x-2\Rightarrow f'(x)=12x^{ 2 }+1\Rightarrow 切線L的斜率為f'(1)=12+1=13\\ \Rightarrow L:y-3=13(x-1)\Rightarrow L:y=13x-10\\ 令g(x)=f(x)-L=4x^{ 3 }+x-2-13x+10=4x^{ 3 }-12x+8=4(x-1)^{ 2 }(x+2)\\ \Rightarrow 所圍面積=\int _{ -2 }^{ 1 }{ g\left( x \right) dx } =\int _{ -2 }^{ 1 }{ 4x^{ 3 }-12x+8dx } =\left. \left[ x^{ 4 }-6x^{ 2 }+8x \right]  \right| ^{ 1 }_{ -2 }\\ =\left( 3 \right) -\left( -24 \right) =27$$

答：\(\bbox[red,2pt]{27}\)

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解：

$$\begin{cases} E,F夾角為30^{ \circ  } \\ A(1,1,1)至E=3 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \cos { 30° } =\frac { \left( 1,1,1 \right) \cdot \left( a,b,c \right)  }{ \left| \left( 1,1,1 \right)  \right| \left| \left( a,b,c \right)  \right|  }  \\ \left| \frac { a+b+c-1 }{ \sqrt { a^{ 2 }+b^{ 2 }+c^{ 2 } }  }  \right| =3 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } =\frac { a+b+c }{ \sqrt { 3 } \sqrt { a^{ 2 }+b^{ 2 }+c^{ 2 } }  }  \\ \left| a+b+c-1 \right| =3\sqrt { a^{ 2 }+b^{ 2 }+c^{ 2 } }  \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} 2\left( a+b+c \right) =3\sqrt { a^{ 2 }+b^{ 2 }+c^{ 2 } }  \\ \left| a+b+c-1 \right| =3\sqrt { a^{ 2 }+b^{ 2 }+c^{ 2 } }  \end{cases}\Rightarrow 2\left( a+b+c \right) =\left| a+b+c-1 \right| \Rightarrow 2x=\left| x-1 \right| ,x=a+b+c\\ \Rightarrow 4x^{ 2 }={ \left( x-1 \right)  }^{ 2 }=x^{ 2 }-2x+1\Rightarrow 3x^{ 2 }+2x-1=0\Rightarrow x=\frac { 1 }{ 3 } (-1不合\because a+b+c>0)$$

答：\(\bbox[red,2pt]{\frac{1}{3}}\)

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第貳部份 ：非選擇題

解：

$$由題意可知:f(x)-25=12x(x-1)(x-2)\Rightarrow f(x)=12x(x-1)(x-2)+25=12x^{ 3 }-36x^{ 2 }+24x+25\\ \left( 1 \right) f'\left( x \right) =36x^{ 2 }-72x+24\Rightarrow f''(x)=72x-72\Rightarrow 反曲點坐標(1,f(1))=\bbox[red,2pt]{(1,25)}\\ (2)\int _{ 0 }^{ 2 }{ f\left( x \right)  } dx=\int _{ 0 }^{ 2 }{ 12x^{ 3 }-36x^{ 2 }+24x+25 } dx=\left. \left[ 3x^{ 4 }-12x^{ 3 }+12x^{ 2 }+25x \right]  \right| ^{ 2 }_{ 0 }=\bbox[red,2pt]{50}$$

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解：

$$\left( 1 \right) \log { \left( x^{ 3 }-12x^{ 2 }+41x-20 \right)  } \ge 1\Rightarrow x^{ 3 }-12x^{ 2 }+41x-20\ge 10\\ \Rightarrow x^{ 3 }-12x^{ 2 }+41x-30\ge 0\Rightarrow \left( x-1 \right) \left( x^{ 2 }-11x+30 \right) \ge 0\\ \Rightarrow \left( x-1 \right) \left( x-5 \right) \left( x-6 \right) \ge 0\Rightarrow \bbox[red,2pt]{x\ge 6,1\le x\le 5}\\ \left( 2 \right) \cos { \theta  } -\left( 1+\sin { \theta  }  \right) =\left( \cos { \theta  } -\sin { \theta  }  \right) -1=\sqrt { 2 } \left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  } \cos { \theta  } -\frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  } \sin { \theta  }  \right) -1\\ =\sqrt { 2 } \left( \sin { \frac { \pi  }{ 4 }  } \cos { \theta  } -\cos { \frac { \pi  }{ 4 }  } \sin { \theta  }  \right) -1=\sqrt { 2 } \sin { \left( \frac { \pi  }{ 4 } -\theta  \right)  } -1\\ \frac { 3\pi  }{ 2 } \le \theta \le 2\pi \Rightarrow \frac { -7\pi  }{ 4 } \le \frac { \pi  }{ 4 } -\theta \le \frac { -5\pi  }{ 4 } \Rightarrow \frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  } \le \sin { \left( \frac { \pi  }{ 4 } -\theta  \right)  } \le 1\\ \Rightarrow 1\le \sqrt { 2 } \sin { \left( \frac { \pi  }{ 4 } -\theta  \right)  } \le \sqrt { 2 } \Rightarrow 0\le \sqrt { 2 } \sin { \left( \frac { \pi  }{ 4 } -\theta  \right)  } -1\le \sqrt { 2 } -1\\ \Rightarrow \cos { \theta  } -\left( 1+\sin { \theta  }  \right) \ge 0\Rightarrow \cos { \theta  } \ge 1+\sin { \theta  } \Rightarrow { 3 }^{ \cos { \theta  }  }\ge { 3 }^{ 1+\sin { \theta  }  }$$