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2018年4月25日 星期三

100年大學指考數學甲詳解


100 學年度指定科目考試試題
數學甲

一、單選題


解:
對所有的正整數y而言,5y的個位數一定是5;而2x的個位一定是偶數,故選(5)



解:
A、B、C、D各有四種選法,共有44=256種填法;
A>B的填法,即AB=43,42,41,32,31,21共6種;同理CD也有6種。因此總共有6×6=36種填法符合要求。機率為36256=964故選(2)




解:
令D=(1,0),則A=(0,3),B=(12,32),C=(32,32),D=(1,0),E=(32,32)F=(12,32),G=(0,3),H=(12,32),I=(32,32)J=(1,0),K=(32,32),L=(12,32)

由於要找a+b的最大值,只要考慮L、A、B、C四個點,其它點可能造成a或b為負值
OL=x+ya+b=1+1=2
OA=3x+2ya+b=3+2=5
OB=52x+ya+b=52+1=72
OC=3x+ya+b=3+1=1
故選(4)




解:

由上圖可知:   α<0α+10>010<α<0
故選(3)

二、多選題


解:
{AB=[310215]|A|=2{[24+ac28+ad54+bc63+bd]=[310215]4b9a=2(1):4b9a=29a4b=2(2)×:24+ac=3ac=324=2124(3):{28+ad=1063+bd=15ab=384b9a=2a=65d=15(4)×:[ba94][4a9b]=[1001]4b9a=12
故選(1,3)



解:
(1):C(10)=52[12×10]=52[19]=5+38=43(2)×:t=13{[12t]=[123]=[13]=0[2t1]=[231]=[13]=1(3)×:limt10.5+C(t)=C(11)limt10.5C(t)=C(10.5)limt10.5C(t)(4):limt11.2C(t)=C(11.5)=52[123]=49
故選(1,4)



解:{AC=(2,1,1)AB=(1,2,1)En=AC×AB=(3,3,3)E:x+y+z=0(1)×:(12,12,1)(2):1+1+0=0,E(3)×:011=20,E(4)×:(2,1,1)
答:2

三、選填題


解:

CRQRAM¯CQ¯RQ=¯RM¯AMa5=6¯AM¯AM=30aABC=12¯BCׯAN=12(12+2a)×(30a+5)=60+(5a+180a)60+(25a×180a)=60+2×30=1205a=180a,ABC1205a=180aa2=36a=6¯AM=30a=5¯AN=¯AM+¯MN=5+5=10
答:10




解:
假設甲、乙、丙產量的百分比分別為a,b,c,則a+b+c=1;依題意0.05a0.05a+0.03b+0.03c=0.05a0.02a+0.03(a+b+c)=0.05a0.02a+0.035120.6a0.1a+0.150.5a0.15a0.3=30%
答:30%




解:



f(x)=4x3+x2f(x)=12x2+1Lf(1)=12+1=13L:y3=13(x1)L:y=13x10g(x)=f(x)L=4x3+x213x+10=4x312x+8=4(x1)2(x+2)=12g(x)dx=124x312x+8dx=[x46x2+8x]|12=(3)(24)=27
答:27




解:
{E,F30A(1,1,1)E=3{cos30°=(1,1,1)(a,b,c)|(1,1,1)||(a,b,c)||a+b+c1a2+b2+c2|=3{32=a+b+c3a2+b2+c2|a+b+c1|=3a2+b2+c2{2(a+b+c)=3a2+b2+c2|a+b+c1|=3a2+b2+c22(a+b+c)=|a+b+c1|2x=|x1|,x=a+b+c4x2=(x1)2=x22x+13x2+2x1=0x=13(1a+b+c>0)
答:13

第貳部份 :非選擇題


解:
:f(x)25=12x(x1)(x2)f(x)=12x(x1)(x2)+25=12x336x2+24x+25(1)f(x)=36x272x+24f



\left( 1 \right) \log { \left( x^{ 3 }-12x^{ 2 }+41x-20 \right)  } \ge 1\Rightarrow x^{ 3 }-12x^{ 2 }+41x-20\ge 10\\ \Rightarrow x^{ 3 }-12x^{ 2 }+41x-30\ge 0\Rightarrow \left( x-1 \right) \left( x^{ 2 }-11x+30 \right) \ge 0\\ \Rightarrow \left( x-1 \right) \left( x-5 \right) \left( x-6 \right) \ge 0\Rightarrow \bbox[red,2pt]{x\ge 6,1\le x\le 5}\\ \left( 2 \right) \cos { \theta  } -\left( 1+\sin { \theta  }  \right) =\left( \cos { \theta  } -\sin { \theta  }  \right) -1=\sqrt { 2 } \left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  } \cos { \theta  } -\frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  } \sin { \theta  }  \right) -1\\ =\sqrt { 2 } \left( \sin { \frac { \pi  }{ 4 }  } \cos { \theta  } -\cos { \frac { \pi  }{ 4 }  } \sin { \theta  }  \right) -1=\sqrt { 2 } \sin { \left( \frac { \pi  }{ 4 } -\theta  \right)  } -1\\ \frac { 3\pi  }{ 2 } \le \theta \le 2\pi \Rightarrow \frac { -7\pi  }{ 4 } \le \frac { \pi  }{ 4 } -\theta \le \frac { -5\pi  }{ 4 } \Rightarrow \frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  } \le \sin { \left( \frac { \pi  }{ 4 } -\theta  \right)  } \le 1\\ \Rightarrow 1\le \sqrt { 2 } \sin { \left( \frac { \pi  }{ 4 } -\theta  \right)  } \le \sqrt { 2 } \Rightarrow 0\le \sqrt { 2 } \sin { \left( \frac { \pi  }{ 4 } -\theta  \right)  } -1\le \sqrt { 2 } -1\\ \Rightarrow \cos { \theta  } -\left( 1+\sin { \theta  }  \right) \ge 0\Rightarrow \cos { \theta  } \ge 1+\sin { \theta  } \Rightarrow { 3 }^{ \cos { \theta  }  }\ge { 3 }^{ 1+\sin { \theta  }  }

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