$$\begin{cases} x=3-2i \\ x=i \\ x=5 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x-3=-2i \\ x^{ 2 }=-1 \\ x-5=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x^{ 2 }-6x+13=0 \\ x^{ 2 }+1=0 \\ x-5=0 \end{cases}\\ \Rightarrow f\left( x \right) =\left( x^{ 2 }-6x+13 \right) \left( x^{ 2 }+1 \right) \left( x-5 \right) \Rightarrow 常數項=13\times1\times(-5)=\bbox[red,2pt]{-65} $$
解：
(a)1、2在同一橫列:同在第一列有\(P^3_2=6\)種排法，同在第二列也有6種排法；剩下四格有4!=24種排法；因此共有\(6\times 2\times 24=288\)種排法；
(b)1、2在同一直行:同在第一行有2種排法，共有3行，有\(2\times 3=6\)種排法；剩下四格有4!=24種排法；因此共有\(6\times 24=144\)種排法；
(a)+(b)=288+144=\(\bbox[red,2pt]{432}\)種排法
解：$$2x-y=1\Rightarrow y=2x-1\Rightarrow \begin{cases} x-2y=a \\ x-ay=122 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x-2\left( 2x-1 \right) =a \\ x-a\left( 2x-1 \right) =122 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} x=\frac { 2-a }{ 3 } \\ x=\frac { 122-a }{ 1-2a } \end{cases}\Rightarrow \frac { 2-a }{ 3 } =\frac { 122-a }{ 1-2a } \Rightarrow a^{ 2 }-a-182=0\Rightarrow a=\frac { 1\pm \sqrt { 729 } }{ 2 } \\ \Rightarrow a=\frac { 1\pm 27 }{ 2 } =\bbox[red,2pt]{14}(-13不合,\because a>0)$$
解：
$$\angle ABC=\alpha \Rightarrow \cos { \alpha } =\frac { \overline { AB } }{ \overline { BC } } =\frac { 5 }{ 6 } \\ \angle ABD=2\alpha \Rightarrow \cos { 2\alpha } =\frac { \overline { AB } }{ \overline { BD } } =\frac { 5 }{ \overline { BD } } =2\cos ^{ 2 }{ \alpha } -1=2\times \left( \frac { 5 }{ 6 } \right) ^{ 2 }-1=\frac { 14 }{ 36 } \\ \Rightarrow \overline { BD } =\frac { 5\times 36 }{ 14 } =\bbox[red,2pt]{\frac { 90 }{ 7 } }$$
解：
令P=(7,0)、Q=(0,0)則拋物線\(y=x^2+ax+b=x(x-7)=x^2-7x\Rightarrow x^2+ax+(b+2)=x^2-7x+2=0\)的解為\(x=\frac{7\pm\sqrt{41}}{2}\)，該兩根的距離就是\(\overline{RS}=\bbox[red,2pt]{\sqrt{41}}\)
解：
令\(\angle C=\theta, \angle A=2\theta, \overline{AC}=a\)，如上圖。
先用正弦定理，即$$\frac{2}{\sin{\theta}}=\frac{3}{\sin{2\theta}}=\frac{3}{2\sin{\theta}\cos{\theta}} \Rightarrow \frac{2}{1}=\frac{3}{2\cos{\theta}}\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{3}{4}$$再用餘弦定理: $$\cos{\theta}=\frac{a^2+3^2-2^2}{2\times 3\times a}\Rightarrow \frac{3}{4} = \frac{a^2+5}{6a}\Rightarrow a=\frac{5}{2},2(不合)$$
若\(a=2\Rightarrow \angle B=\angle C=\theta\Rightarrow \angle A+\angle B+\angle C=180\Rightarrow 4\theta=180\Rightarrow \theta=45\)
\(\Rightarrow \angle A=90^\circ \Rightarrow {\overline{BC}}^2={\overline{AB}}^2+{\overline{AC}}^2\Rightarrow 9=4+4(矛盾)\)
故:\(\overline{AC}=\bbox[red,2pt]{\frac{5}{2}}\)
另一種解法: 作\(\angle A\)的平分線，交\(\overline{AC}\)於D點，並作\(\overline{DE}\bot\overline{AC}\)，如上圖。
由於\(\angle BAD=\angle C=\theta 且\angle B=\angle B\)，所以\(\triangle BAD\sim\triangle BCA\)，因此我們有$$\frac { \overline { AB } }{ \overline { BC } } =\frac { \overline { BD } }{ \overline { AB } } =\frac { \overline { DA } }{ \overline { AC } } \Rightarrow \frac { 2 }{ 3 } =\frac { \overline { BD } }{ 2 } =\frac { \overline { DC } }{ a } =\frac { 3-\overline { BD } }{ a } \\ \Rightarrow \overline { BD } =\frac { 4 }{ 3 } \Rightarrow a=\frac { 3\left( 3-\overline { BD } \right) }{ 2 } =\frac { 5 }{ 2 } $$
解：
拋物線\(\Gamma:x^2=8y\Rightarrow \)其準線方程式為\(L':y=-2\)，焦點F=(0,2)。
拋物線上的點至焦點的距離等於至準線的距線，即\(\overline{PF}=\overline{PB}=d(P,L')\)。
$$\overline{PF}\le\overline{AF}+\overline{AP}=\frac{9}{4}+\overline{AP}\Rightarrow -\overline{AP}\le \frac{9}{4}-\overline{PF}\\ \Rightarrow \overline{PC}-\overline{AP}\le \overline{PC}+\frac{9}{4}-\overline{PF}\Rightarrow |d(P,L)-\overline{AP}|\le \overline{PF}+3 +\frac{9}{4}-\overline{PF}=\frac{21}{4}\\\Rightarrow |d(P,L)-\overline{AP}|的最大值為\bbox[red,2pt]{\frac{21}{4}}$$
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