99年大學指考數學乙詳解

99 學年度指定科目考試試題
數學乙

一、單選題

解：
$$\begin{vmatrix} 0 & b & 0 \\ d & e & f \\ 0 & h & 0 \end{vmatrix}=0\cdot e\cdot 0+d\cdot h\cdot 0+0\cdot b\cdot f-0\cdot e\cdot 0-d\cdot b\cdot 0-0\cdot h\cdot f=0 ，故選\bbox[red,2pt]{(3)}$$

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解：

常態分配\(\Rightarrow 70\pm 10=60-80\)占全體的68%，因此60-70占全體的34%(紅色區域)；超過平均數70的占一半(黃色區域)，因此低於60分的占全體的100%-34%-50%=16%，故選\(\bbox[red,2pt]{(1)}\)

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二、多選題

解：

$$(x^{ 2 }(x+5)(x+1)(x-4)(x-7)<(2x-3)(x+5)(x+1)(x-4)(x-7)\\ \Rightarrow x^{ 2 }(x+5)(x+1)(x-4)(x-7)-(2x-3)(x+5)(x+1)(x-4)(x-7)<0\\ \Rightarrow (x+5)(x+1)(x-4)(x-7)\left( x^{ 2 }-2x+3 \right) <0\\ \Rightarrow (x+5)(x+1)(x-4)(x-7)\left[ { \left( x-1 \right)  }^{ 2 }+2 \right] <0\\ \Rightarrow (x+5)(x+1)(x-4)(x-7)<0\Rightarrow -5<x<-1\;\text{ or }\;4<x<7$$由於\(\pi=3.14\Rightarrow   4<2\pi<7,   -5<-\pi<-1\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(2,4)}\)

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解：

(1)\(\times\)：當\(x=0\)時，兩值相等；

(2)\(\bigcirc\)：\(y=\log_{99}{x}\Rightarrow 99^y=x與y=99^x\)對稱\(y=x\)；

(3)\(\bigcirc\)：\(\begin{cases} y=\log _{ 99 }{ x }  \\ y=\log _{ \frac { 1 }{ 99 }  }{ x }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x={ 99 }^{ y } \\ x={ 99 }^{ -y } \end{cases}\Rightarrow \)圖形對稱x軸；

(4)\(\times\)：$$\begin{cases} y=\log _{ 2010 }{ x^{ 2 }-10x+33 }  \\ y=0 \end{cases}\Rightarrow \log _{ 2010 }{ x^{ 2 }-10x+33 } =0\Rightarrow x^{ 2 }-10x+33=1\\ \Rightarrow x^{ 2 }-10x+32=0\Rightarrow { \left( x-5 \right)  }^{ 2 }+7>0\neq 0$$

故選\(\bbox[red,2pt]{(2,3)}\)

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三、選填題

解：

售價為原來的1.5倍，則平均售價為原來平均值的1.5倍，標準差也是為原來的1.5倍；即平均售價為每個\(50\times 1.5=\bbox[red,2pt]{75}\)元，標準差為\(10\times  1.5=\bbox[red,2pt]{15}\)元。

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解：

$$\left( a-25 \right) \times 8\%=5\times \left( a-125 \right) \times 2\%\Rightarrow 8\left( a-25 \right) =10\left( a-125 \right) \\ \Rightarrow 2a=1050\Rightarrow a=525$$

答：\(\bbox[red,2pt]{525}\)元

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解：

投手、捕手及一壘手已確定人選，剩下二壘手(2取1=2)、三壘手(2取1)、游擊手(2取1)及外野手(4取3)，共有\(C^2_1\times C^2_1\times C^2_1\times P^4_3=2\times 2\times 2\times 24=192\)種先發陣容

答：\(\bbox[red,2pt]{192}\)

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解：

撲克牌共有四種花色，抽到任一花色的機率都是1/4，所以期望值為(8000+6000+2000+2000)/4 = 4500；因此值望值為\(\bbox[red,2pt]{4500}\)元。

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解：

$$\begin{cases} \bar { x } =\frac { 135 }{ 5 } =27 \\ \bar { y } =\frac { 105 }{ 5 } =21 \end{cases}\Rightarrow \frac { \sum _{ i=1 }^{ 5 }{ x_{ i }y_{ i } } -5\cdot \bar { x } \cdot \bar { y }  }{ \sqrt { \sum _{ i=1 }^{ 5 }{ x_{ i }^{ 2 } } -5\cdot \bar { x } ^{ 2 } } \sqrt { \sum _{ i=1 }^{ 5 }{ y_{ i }^{ 2 } } -5\cdot \bar { y } ^{ 2 } }  } =\frac { 2842-5\cdot 27\cdot 21 }{ \sqrt { 3661-5\cdot 27^{ 2 } } \cdot \sqrt { 2209-5\cdot 21^{ 2 } }  } \\ =\frac { 2842-2835 }{ \sqrt { 16 } \cdot \sqrt { 4 }  } =\frac { 7 }{ 8 } =0.875$$

答：\(\bbox[red,2pt]{0.875}\)

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解：

在E(4,10)有最小值18\(\Rightarrow \)目標函數直線方程式經過C、及D點。即$$\begin{cases} 6a+14b+32=18 \\ 2a+6b+32=18 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 3a+7b+7=0 \\ a+3b+7=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=14 \\ b=-7 \end{cases}$$答：\(a=\bbox[red,2pt]{14},b=\bbox[red,2pt]{-7}\)

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第貳部份 ：非選擇題

解：

(1)20以內的正奇數為1,3,5,7,...,19，共有10個，因此p(x)共有\(10\times 10\times 10\times 10= \bbox[red,2pt]{10000}\)個。
(2)可能的整數根為\(\pm 1,\pm 2\)，共有四種可能。將此四種可能分別代入方程式，可得:
\(x=1\Rightarrow 1+3+5+7+3+2\ne 0\)、\(x=-1\Rightarrow -1+3-5+7-3+2=3\ne 0\)、\(x=2\Rightarrow 2^5+3\times 2^4+5\times 2^3+7\times 2^2+3\times 2+2\ne 0\)、\(x=-2\Rightarrow (-2)^5+3\times(-2)^4+5\times(-2)^3+7\times (-2)^2+3\times (-2)+2 = -32+48-40+28-6+2 = 0\)，因此整數根只有一個，即\(x=\bbox[red,2pt]{-2}\)。

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解：

$$\begin{bmatrix} 5 & -15 \\ -10 & 35 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{cases} 5a-15c=5 \\ 5b-15d=0 \\ -10a+35c=0 \\ -10b+35d=5 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a-3c=1 \\ b=3d \\ 2a=7c \\ -2b+7d=1 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=7 \\ b=3 \\ c=2 \\ d=1 \end{cases}$$因此密碼為\(\bbox[red,2pt]{7321}\)。

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