107學年度四技二專統測--數學(A)詳解

107學年度科技校院四年制與專科學校二年制

統一入學測驗試題本數學(A)詳解

解：

$$f(x)\cdot g(x)的x^3項係數為 -5\times 1+1\times 7=-5+7=2, 故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$L_1: y=\frac{-3}{4}x+\frac{1}{4}\Rightarrow 6x+8y=2 \Rightarrow L_1與L_2的距離= \left|\frac{2-(-13)}{\sqrt{6^2+8^2}}\right|=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解： $$\alpha,\beta為x^2+2x-7=0的兩根\Rightarrow\begin{cases} \alpha+\beta=-2  \\ \alpha\beta=-7 \end{cases}\\ \Rightarrow \alpha^2+3\alpha\beta+\beta^2=(\alpha+\beta)^2+\alpha\beta = (-2)^2+(-7) = 4-7=-3$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解： $$\frac { 2x+5 }{ 4 } \le \frac { x-7 }{ 3 } \Rightarrow 3\left( 2x+5 \right) \le 4\left( x-7 \right) \Rightarrow 6x+15\le 4x-28\\ \Rightarrow 2x\le -43\Rightarrow x\le -21.5\Rightarrow x=-22$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：
$$\begin{cases} f\left( x \right) 為1次 \\ g\left( x \right) 為零次 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a^{ 2 }+a-2=0 \\ a+2\neq 0 \\ b-3=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \left( a+2 \right) \left( a-1 \right) =0 \\ a+2\neq 0 \\ b=3 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=1 \\ b=3 \end{cases}$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解： $$C^6_4\times C^4_3\times C^3_2 = 15\times 4\times 3=180$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解： $$\vec { a } \cdot \vec { b } =|\vec { a } ||\vec { b } |\cos { \theta } \Rightarrow 2=\sqrt { 4+12 } \times 1\times \cos { \theta } =4\cos { \theta }  \Rightarrow \cos { \theta } =\frac { 1 }{ 2 } \Rightarrow \theta =\frac { \pi }{ 3 }$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：

$$\begin{cases} a=\cos { \left( \frac { \pi  }{ 5 }  \right) >0 }  \\ b=\cos { \left( \frac { 3\pi  }{ 5 }  \right)  } =-\cos { \left( \frac { 2\pi  }{ 5 }  \right)  }  \\ c=\cos { \left( \frac { 6\pi  }{ 5 }  \right)  } =-\cos { \left( \frac { \pi  }{ 5 }  \right)  }  \end{cases}\Rightarrow a>b>c$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解： $$9\sin ^{ 2 }{ \theta  } +3\sin { \theta  } -2=0\Rightarrow \left( 3\sin { \theta  } -1 \right) \left( 3\sin { \theta  } +2 \right) =0\Rightarrow \sin { \theta  } =\frac { 1 }{ 3 } \left( -\frac { 2 }{ 3 } 不合,0\le \theta \le \pi \Rightarrow \sin { \theta  } \ge 0 \right)$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解： $$\cos { \theta  } =\frac { 4^{ 2 }+6^{ 2 }-5^{ 2 } }{ 2\times 4\times 6 } =\frac { 9 }{ 16 } \Rightarrow \sin { \theta  } =\frac { 5\sqrt { 7 }  }{ 16 }$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解： $$\left( \vec { a } -2\vec { b }  \right) \cdot \left( \vec { a } -2\vec { b }  \right) =\left| \vec { a } -2\vec { b }  \right| ^{ 2 }\Rightarrow \left| \vec { a }  \right| ^{ 2 }-2\vec { a } \cdot \vec { b } -2\vec { b } \cdot \vec { a } +4\left| \vec { b }  \right| ^{ 2 }=1-0-0+4\times 2^2=17\\ \Rightarrow \left| \vec { a } -2\vec { b }  \right| ^{ 2 }=17\Rightarrow \left| \vec { a } -2\vec { b }  \right| =\sqrt{17}$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解： $$f\left( -2 \right) ={ \left( -2+1 \right)  }^{ 200 }+2\times \left( -2 \right) +1=1-4+1=-2$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解： $$x^2+bx+c=(x-3)(x-1)\Rightarrow b=-(3+1)=-4,c=1\times 3=3\Rightarrow 2b+3c=-8+9=1$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：
$$2x+3y-12\le 0\Rightarrow 2x+3y\le 12\Rightarrow \begin{matrix} x: & 1 & 2 & 3 & 4 \\ y: & 1-3 & 1-2 & 1-2 & 1 \end{matrix}$$ ，共有3+2+2+1=8組解，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：

先求該區域的頂點，即直線的交點，可得A、B、C、D座標，如上圖。
各頂點代入可求得最大值，即C點代入可得$f(C)=2\times 3+3\times 2=6+6=12$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：
$C_1:(x-1)^2+(y+3)^2=4^2\Rightarrow 圓心(1,-3)，半徑為4$，由於$C_1$在$C_2$之內，即$C_2$是大圓，$C_1$是小圓。因此兩者的圓心距離比兩者半徑離小，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：
圓心至直線的距離小於半徑即交於兩點，圓心至直線的距離:$d=\left| \frac { 3a+2b-1 }{ \sqrt { a^{ 2 }+b^{ 2 } }  }  \right| <1$，各選項的d值: $$\left( A \right) \left( 3,4 \right) \Rightarrow d=\frac { 16 }{ 5 } >1\\ \left( B \right) \left( 3,-4 \right) \Rightarrow d=\frac { 0 }{ 5 } <1\\ \left( C \right) \left( 8,6 \right) \Rightarrow d=\frac { 35 }{ 10 } >1\\ \left( D \right) \left( 12,-5 \right) \Rightarrow d=\frac { 25 }{ 13 } >1$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：
$$a_{ 1 }\times a_{ 2 }\times a_{ 3 }\times a_{ 4 }=2^{ 16 }\Rightarrow 2\times \left( 2r \right) \times \left( 2r^{ 2 } \right) \times \left( 2r^{ 3 } \right) =16r^{ 6 }=2^{ 16 }\Rightarrow r^{ 6 }=2^{ 12 }\Rightarrow r=4\\ \Rightarrow a_{ 5 }\times a_{ 6 }\times a_{ 7 }\times a_{ 8 }=\left( 2r^{ 4 } \right) \times \left( 2r^{ 5 } \right) \times \left( 2r^{ 6 } \right) \times \left( 2r^{ 7 } \right) =16r^{ 22 }=2^{ 4 }\times 4^{ 22 }=2^{ 48 }$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：
$$100000\times \frac{1}{2}+30000\times\frac{1}{3}+6000\times\frac{1}{6}=50000+10000+1000 =61000$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：
三直線無法圍成三角形，代表其中兩條直線平行，或是三直線交於1點；
由於$L_3$與$L_2$既不平行也不垂直，所以三直線交於一點。
由於$L_1\bot L_2\Rightarrow (a,-1)\cdot(1,2)=0\Rightarrow a-2=0\Rightarrow a=2$；
$L_3$與$L_2$的交點為(-4,3)，代入$L_1\Rightarrow 3=-4a+b=-8+b\Rightarrow b=11$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解： $$2^{ 10 }<{ \left( \frac { 5 }{ 4 }  \right)  }^{ n }<2^{ 20 }\Rightarrow 10\log { 2 } <n\left( \log { 5 } -\log { 4 }  \right) <20\log { 2 } \Rightarrow 10\log { 2 } <n\left( 1-3\log { 2 }  \right) <20\log { 2 } \\ \Rightarrow \frac { 10\log { 2 }  }{ 1-3\log { 2 }  } <n<\frac { 20\log { 2 }  }{ 1-3\log { 2 }  } \Rightarrow \frac { 3.01 }{ 0.097 } <n<\frac { 6.02 }{ 0.097 } \Rightarrow 31.X<n<62.X\\ \Rightarrow n=32,33,\dots ,62\Rightarrow 共有62-32+1=31個$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解： $$\sum _{ k=10 }^{ 1018 }{ a_{ k } } =2018\Rightarrow \frac { \left( a_{ 10 }+a_{ 1018 } \right) \times 1009 }{ 2 } =2018\Rightarrow a_{ 10 }+a_{ 1018 }=4\\ \Rightarrow a_{ 1 }+9d+a_{ 1 }+1017d=4\Rightarrow 2a_{ 1 }+1026d=4\Rightarrow a_{ 1 }+513d=2\Rightarrow a_{ 514 }=2$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：
令A=符合證照、B=符合經驗， $$\#(A)+\#(B)-\#(A\cap B)=20-2\Rightarrow 16+11-\#(A\cap B)=18\Rightarrow \#(A\cap B)=27-18=9$$ ，因此符合初選條件的機率為$\frac{9}{20}$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解： $$C^{ 10 }_{ 4 }{ \left( \frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ 6 }{ \left( \frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ 4 }=\frac { 210 }{ 2^{ 10 } } =\frac { 105 }{ 512 }$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：假設全班只有小統跟小策兩人，則$A=\frac{29+41}{2}=35=\frac{30+40}{2}=C$，即$A=C$；又$B=\sqrt{(29-35)^2+(41-35)^2}=\sqrt{72},D=\sqrt{(30-35)^2+(40-35)^2}=\sqrt{50}$，因此B>D，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

若要證明B>D，就是要證明$(29-u)^2+(41-u)^2>((30-u)^2+(40-u)^2$，其中u為平均值，如下: $$\begin{cases} B^{ 2 }={ \left( 29-u \right)  }^{ 2 }+{ \left( 41-u \right)  }^{ 2 }=2u^{ 2 }-140u+2522 \\ D^{ 2 }={ \left( 30-u \right)  }^{ 2 }+{ \left( 40-u \right)  }^{ 2 }=2u^{ 2 }-140u+2500 \end{cases}\Rightarrow B^{ 2 }-D^{ 2 }=22>0\\ \Rightarrow B^{ 2 }>D^{ 2 }\Rightarrow B>D$$

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