107學年度科技校院四年制與專科學校二年制
統一入學測驗試題本數學(B)詳解
解：
$$\sin { \theta } =\frac { 33 }{ 65 } ,\tan { \theta } =\frac { -33 }{ 56 } \Rightarrow \sin { \theta } >0,\frac { \sin { \theta } }{ \cos { \theta } } <0\Rightarrow \sin { \theta } >0,\cos { \theta } <0 \Rightarrow \theta 在第二象限, 故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$
解：$$2\vec { AB } +3\vec { AC } -\vec { BC } =2\left( 2-1,5-2 \right) +3\left( 0-1,-1-2 \right) -\left( 0-2,-1-5 \right)\\ =2\left( 1,3 \right) +3\left( -1,-3 \right) -\left( -2,-6 \right) =\left( 2,6 \right) +\left( -3,-9 \right) +\left( 2,6 \right) =\left( 1,3 \right) $$
，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。
解：
(1,2)代入直線可得\(a-2=3\Rightarrow a=5\Rightarrow \)斜率為5，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。
解：
\(x=-1\)代入多項式所得之值為1，即\(2\times(-1)^3-k-3+5=1\Rightarrow k=-1\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。
解：
$$\begin{cases} \alpha +\beta =2 \\ \alpha \beta =-1 \end{cases}\Rightarrow \left( \alpha -2 \right) \left( \beta -2 \right) =\alpha \beta -2\left( \alpha +\beta \right) +4=-1-4+4=-1$$
，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。
解：$$a_{ 10 }=4a_{ 1 }\Rightarrow a_{ 1 }+9d=4a_{ 1 }\Rightarrow a_{ 1 }=3d\Rightarrow \frac { a_{ 6 } }{ a_{ 2 } } =\frac { a_{ 1 }+5d }{ a_{ 1 }+d } =\frac { 3d+5d }{ 3d+d } =2$$
，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。
解：
$$0<\theta <\frac { \pi }{ 2 } ,\sin { \theta } =\frac { 3 }{ 5 } \Rightarrow \cos { \theta } =\frac { 4 }{ 5 } \Rightarrow \tan { \theta } +\sec { \theta } =\frac { \sin { \theta } }{ \cos { \theta } } +\frac { 1 }{ \cos { \theta } } \\ =\frac { \frac { 3 }{ 5 } }{ \frac { 4 }{ 5 } } +\frac { 1 }{ \frac { 4 }{ 5 } } =\frac { 3 }{ 4 } +\frac { 5 }{ 4 } =2 $$，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。
解：
$$\tan { \theta } =\frac { 8 }{ 15 } \Rightarrow \sec { \theta } =\frac { 1 }{ \cos { \theta } } =\frac { \sqrt { 289 } }{ 15 } \\ \Rightarrow \sin ^{ 2 }{ \theta } +\cos ^{ 2 }{ \theta } +\sec ^{ 2 }{ \theta } =1+\sec ^{ 2 }{ \theta } =1+\frac { 289 }{ 225 } =\frac { 514 }{ 225 } $$故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。
解：$$2^{ 4 }\times 4^{ 3x }\times 8^{ 2 }=16^{ x }\times 32\Rightarrow 2^{ 4 }\times 2^{ 6x }\times 2^{ 6 }=2^{ 4x }\times 2^{ 5 }\Rightarrow 2^{ 6x+10 }=2^{ 4x+5 }\\ \Rightarrow 6x+10=4x+5\Rightarrow 2x=-5\Rightarrow x=-\frac { 5 }{ 2 } =-2.5$$
，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。
解：$$2^x=10\Rightarrow x\log{2}=1\Rightarrow x=\frac{1}{\log{2}}=\frac{1}{0.301}\approx3.322$$
，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。
解：$$\begin{cases} \begin{vmatrix} x & 1 \\ y & 2 \end{vmatrix}=5 \\ \begin{vmatrix} x & 2y \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 2x-y=5 \\ x-2y=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=\frac { 10 }{ 3 } \\ y=\frac { 5 }{ 3 } \end{cases}\Rightarrow x+y=\frac { 10+5 }{ 3 } =5$$
，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。
解：$$2\le x\le 3\Rightarrow \left( x-2 \right) \left( x-3 \right) \le 0\Rightarrow x^2-5x+6\le 0\Rightarrow -x^2+5x-6\ge 0\Rightarrow a=-1,b=5$$
，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。
解：
假設水塔高度為\(a\)，如上圖。則\(\tan{30^\circ}=\frac{a}{a+10}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow a=\frac{10}{\sqrt{3}-1}=5(\sqrt{3}+1)\)
，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。
解：
原始7種菜色扣除2種必選，剩下5種菜色中選出3種，共有\(C^5_3=10\)種選法，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。
解：$$x^{ 2 }+y^{ 2 }+kx+2y+k+1=0\Rightarrow (x+\frac { k }{ 2 } )^{ 2 }-\frac { k^{ 2 } }{ 4 } +(y+1)^{ 2 }-1+k+1=0\Rightarrow (x+\frac { k }{ 2 } )^{ 2 }+(y+1)^{ 2 }=\frac { k^{ 2 } }{ 4 } -k\\ \Rightarrow \frac { k^{ 2 } }{ 4 } -k>0\Rightarrow k^{ 2 }-4k>0\Rightarrow k(k-4)>0\Rightarrow k>4或k<0$$
，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。
解：
小王上壘且小洋上壘的機率為\(0.425\times 0.385\approx 0.16\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。
解：
$$\begin{cases} 73,58,64,85,91 \\ 78,63,69,90,96 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \bar { x_{ 1 } } =74.2 \\ \bar { x_{ 2 } } =79.2 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \sigma _{ 1 }^{ 2 }=1.2^{ 2 }+16.2^{ 2 }+10.2^{ 2 }+10.8^{ 2 }+16.8^{ 2 } \\ \sigma _{ 2 }^{ 2 }=1.2^{ 2 }+16.2^{ 2 }+10.2^{ 2 }+10.8^{ 2 }+16.8^{ 2 } \end{cases}\\ \Rightarrow \sigma _{ 1 }^{ 2 }=\sigma _{ 2 }^{ 2 }\Rightarrow \sigma _{ 1 }=\sigma _{ 2 }\Rightarrow |\sigma _{ 1 }-\sigma _{ 2 }|=0$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。
解：
焦點至準線的距離=\(3-(-1)=4\Rightarrow c=2\Rightarrow 頂點(1,3)\)，因拋物線方程式為\((y-3)^2=4\times 2\times (x-1)\Rightarrow y^2-8x-6y+17=0\)故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。
解：
A:高麗菜、B:萵苣、C:菠菜，現在有5A、4B及4C來排列，但任2A中間可排BB、BC、CB或CC。5個A中間有4個空間待填補BB、BC、CB或CC，相當於4B4C任排，再將A依序插入首、尾及均分4B4C。4B4C任排有\(\frac{8!}{4!4!}\)排法，剩下的A只有一種排法
，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。
解：
先求出聯立方程式的交點A、B、C、D，如上圖。B點代入3x-5y有最大值M=9；D點代入有小值m=3-15=-12，因此M+m=9-12=-3，
故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。
解：
ABCDE任排有5!=120種排法
，
ABCDE任取2個有\(C^5_2=10\)取法，其他3個字母不能排在原來位置只有2種排法。
例如：AB固定，剩下CDE，C不能排在第3、D不能排在第4、E不能排在第5，只有ABDEC及ABECD兩種排法。
此題相當ABCDE任意排列，但只有兩個字母排在原位置，其它三個字母不在原位置，共有 \(C^5_2\times 2=20\)排法，機率為\(\frac{20}{120}=\frac{1}{6}\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。
解：
某生三天上課的情形可能是：遲遲遲及遲準遲，其機率分別為\(\frac{1}{4}\times\frac{1}{4}\)及\(\frac{3}{4}\times\frac{2}{5}\)，即\(\frac{1}{16}\)及\(\frac{6}{20}\)，兩者相加等於\(\frac{29}{80}\)
，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。
解：
\(f'(x)=3x-3\Rightarrow f'(2)=3\times 2-3=3\Rightarrow \)斜率為3
，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。
解：$$f\left( x \right) =\frac { -3\left( x+1 \right) }{ x^{ 4 }+x^{ 2 }+1 } =\left( -3x-3 \right) \left( x^{ 4 }+x^{ 2 }+1 \right) ^{ -1 }\\ \Rightarrow f^{ ' }\left( x \right) =\left( -3 \right) \left( x^{ 4 }+x^{ 2 }+1 \right) ^{ -1 }+\left( -3x-3 \right) \left[ \left( x^{ 4 }+x^{ 2 }+1 \right) ^{ -2 }\left( 4x^{ 3 }+2x \right) \right] \\ \Rightarrow f^{ ' }\left( -1 \right) =\left( -3 \right) \left( 3 \right) ^{ -1 }+0=-1$$
，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。
解：$$f\left( x \right) =\frac { x }{ x-1 } -\frac { 2x }{ x^{ 2 }-1 } =\frac { x\left( x+1 \right) -2x }{ x^{ 2 }-1 } =\frac { x^{ 2 }-x }{ x^{ 2 }-1 } =\frac { x }{ x+1 } \\ \Rightarrow \lim _{ x\rightarrow 1 }{ f\left( x \right) } =\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \frac { x }{ x+1 } } =\frac { 1 }{ 1+1 } =\frac { 1 }{ 2 } $$，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
第17題的解 是73不是74
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