100年大學指考數學乙詳解

100 學年度指定科目考試試題
數學乙

一、單選題

解：
$$P\left( A|B \right) =\frac { P(A\cap B) }{ P(B) } =\frac { P(B\cap A) }{ P(A) } =P\left( B|A \right) ，故選\bbox[red,2pt]{(4)}$$

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解：

只有三種情況，如上圖，故選$\bbox[red,2pt]{(1)}$

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二、多選題

解：

$$(1)\bigcirc:同一個受檢測只會出現A_1至A_8中的一種情況,即A_i\cap A_j=\emptyset \;\;\forall i\ne j。\\因此P(A_1\cup A_2)=P(A_1)+P(A_2)-P(A_1\cap A_2)=P(A_1)+P(A_2)-P(\emptyset)=P(A_1)+P(A_2)\\(2)\bigcirc: 方法乙出現正號在A_1,A_2,A_4及A_6，因此其機率為P(A_1)+P(A_2)+P(A_4)+P(A_6)\\ (3)\times: 結果一致代表同為正號或負號，其機率為P(A_1)+P(A_2)+P(A_7)+P(A_8)\\ (4)\times: 甲乙丙結果一致代表皆為正或皆為負，其機率為P(A_1)+P(A_8)$$

故選$\bbox[red,2pt]{(1,2)}$

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解：

(1)$\bigcirc$：方案一中，1~50號及51~100號被抽中的機率皆是25/50=1/2

(2)$\times$：方案二中，1~60號被抽中的機率是32/60；61~100號被抽中的機率是18/40，兩者不相同

(3)$\bigcirc$：方案三中，每1組被抽中的機率皆是1/2

(4)$\bigcirc$：方案四中，偶數學號及奇數學號被抽中的機率皆是3/6=1/2

故選$\bbox[red,2pt]{(1,3,4)}$

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解：

$$(1)\bigcirc :(\pi ,r)在y=\log _{ 2 }{ x } 上\Rightarrow r=\log _{ 2 }{ \pi  } \Rightarrow 2^{ r }=\pi \Rightarrow (r,\pi )在y=2^{ x }之上一點\\ (2)\bigcirc :2^{ r }=\pi \Rightarrow { \left( { 2 }^{ -1 } \right)  }^{ -r }=\pi \Rightarrow \left( \frac { 1 }{ 2 }  \right) ^{ -r }=\pi \Rightarrow (-r,\pi )在y=\left( \frac { 1 }{ 2 }  \right) ^{ x }上\\ (3)\bigcirc: 2^{ r }=\pi \Rightarrow 2^{ -r }=\pi^{-1}\Rightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^r=\frac{1}{\pi}\Rightarrow \left(\frac{1}{\pi},r\right)在y=\log_{\frac{1}{2}}{x}之上\\ (4) \times: 2^r=\pi\Rightarrow \left(2^r\right)^2=4^r=\pi^2\ne 2\pi\Rightarrow (r,2\pi)不在y=4^x之上$$

故選$\bbox[red,2pt]{(1,2,3)}$

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解：

$$(1)\times:B組同學有20\%答錯第一題\\ (2)\times:第二題答錯的共有0+20+70+100=190人，其中B組所占的比率為\frac{20}{190}<0.5\\ (3)\bigcirc 第一題的答對率為\frac{100+80+70+20}{400}=67.5\%, \\第二題的答對率為\frac{100+80+30}{400}=52.5\%，兩者相差67.5-52.5=15\%\\ (4)\bigcirc: C組第二題答對的有30人，因此兩題都答對的機率最多為\frac{30}{100}=0.3$$

故選$\bbox[red,2pt]{(3,4)}$

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三、選填題

解： $$g\left( -1 \right) =1-1+1-3+2=0\Rightarrow \left( x+1 \right) 為g\left( x \right) 的因式\\ \Rightarrow g\left( x \right) =(x-1)(x^{ 3 }+x+2)\Rightarrow f\left( x \right) =(x^{ 3 }+x+2)(x^{ 2 }-2)\\ \Rightarrow h\left( x \right) =(x^{ 3 }+x+2)\Rightarrow h\left( 1 \right) \times h\left( 2 \right) =4\times 12=48$$ 也可以直接用輾轉相除法求最高公因式，即

可得最高公因式為$-x^3-x-2$，由於最高次項係數為1，所以$h(x)=x^3+x+2$

答：$\bbox[red,2pt]{48}$

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解：

0612、9683、4251、9138=正反正正、反反反正、正正反正、反正正反，共有9個正及7個反，因此$\hat{p}=\frac{9}{9+7}=\frac{9}{16}\Rightarrow 2\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}= 2\sqrt{\frac{\frac{9}{16}\times\frac{7}{16}}{16}}=\frac{3\sqrt{7}}{32}$

答：$\bbox[red,2pt]{\frac{3\sqrt{7}}{32}}$

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解：

$$\vec { AC } =(2,6),\vec { AB } =(4,2),\vec { AD } =(x,2x),x>0\\ \triangle ACD+\triangle ADB=40\Rightarrow \frac { 1 }{ 2 } \begin{Vmatrix} 2 & 6 \\ x & 2x \end{Vmatrix}+\frac { 1 }{ 2 } \begin{Vmatrix} x & 2x \\ 4 & 2 \end{Vmatrix}=40\\ \Rightarrow \left| 4x-6x \right| +\left| 2x-8x \right| =80\Rightarrow 2x+6x=80\Rightarrow x=10$$

答：$\bbox[red,2pt]{10}$

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解：

在D點有最小值48$\Rightarrow   2a+3b=48$，也代表在B點在最大值:   $18a+27b=9(2a+3b)   =  9\times   48=432$

答：$\bbox[red,2pt]{432}$

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第貳部份 ：非選擇題

解：

直線$2x-y=0$與$x+y=0及x+y=6$分別交於A(0,0)及B(2,4)如上圖
(1) 菱形的邊長=$\overline{AB}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
(2)直線$\overline{CD}$與$2x-y=0$有相同的斜率2，即$a=2$；
D點在$x+y=0$上，因此可令$D=(t,-t)$，其中$t>0$；由$\overline{AD}=\sqrt{20}  \Rightarrow   2t^2=20\Rightarrow  t=\sqrt{10}\Rightarrow   D=(\sqrt{10},-\sqrt{10})$；將D點代入$y=ax-b=2x-b   \Rightarrow   -\sqrt{10}=2\sqrt{10}-b\Rightarrow   b=3\sqrt{10}$

答：(1)菱形邊長為$\bbox[red,2pt]{2\sqrt{5}}; (2)a=\bbox[red,2pt]{2},b=\bbox[red,2pt]{3\sqrt{10}}$

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解：

(1) a, b,c ,d需滿足$0\le   a,b,c,d\le   0$且$a+c=1,b+d=1$

(2)$A^{ 2 }=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a^2+bc & ab+bd \\ ac+cd & bc+d^2 \end{bmatrix}$，由於$0\le   a,b,c,d$，所以$A^2$各元素皆大於等於0；又$\begin{cases} \left( a^{ 2 }+bc \right) +\left( ac+cd \right) =a(a+c)+c(b+d)=a+c=1 \\ \left( ab+bd \right) +\left( bc+d^{ 2 } \right) =b(a+c)+d(b+d)=b+d=1 \end{cases}$。因此$A^2$符合轉移矩陣的條件。

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