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2018年6月6日 星期三

107學年度高中運動績優生甄試--數學科詳解


107 學年度高級中等以上學校運動成績優良學生 
升學輔導甄試學科考試 數學科 試題


  2.57=(×9)÷7=2.57×7÷9=1.99
故選(B)



f(x)=x2+4x+1=(x24x+4)+1+4=(x2)2+5α=2,β=5α+β=2+5=7故選(C)


f(x)=p(x)(x23x+2)+mx+n=p(x)(x2)(x1)+mx+n:{f(1)=3f(2)=10{m+n=32m+n=10m=7故選(E)



由於¯AB為直徑,所以ADB=90
¯AD=a,¯DB=b,¯DC=h,則  h2=a232=b222a2b2=5;又a2+b2=¯AC2=25;由以上二式可得2a2=5+25=30a=15b=10
ABD=a×b÷2=¯AB×h÷215×10=5hh=6故選(D)


:斜率=10421=63=2(A)



1+2+3++10=(10+1)×102=55故選(E)


3x+1=92x=(32)2xx+1=2(2x)x=1y=9a+b=1+9=10故選(B)



tanθ=43=1.33故選(C)


C:x2+y24x+2y+k=0(x2)2+(y+1)2=5k(2,1),:5k
圓C與x軸相切代表圓心至x軸的距離等於半徑,即半徑=|1|=1故選(A)



ab=02x20=0x=10故選(D)




只有兩種情況,即:|x|=1,|y2018|=0|x|=0,|y2018|=1;因此(x,y)=(1,2018),(1,2018),(0,2019),(0,2017),共有四組整數解故選(C)



C31×C42×C52=3×6×10=180故選(D)


5k=1(3k+t)=35k=1k+5k=1t=3×15+5t=45+5t=655t=20t=4故選(A)




此題相當於求兩圖形y=2xy=log2x交點的個數,見上圖。故選(B)



2P+Q=2[2018]+[1234]=[40216]+[1234]=[32520]=[xyzw]z=5(E)



:利用餘弦定理,即7=4+¯AC24¯AC×cos120
¯AC2+2¯AC3=0(¯AC+3)(¯AC1)=0¯AC=1故選(A)



:線段¯CG上所有點的x坐標與y坐標都是5,只有(B)符合條件,故選(B)




兩線段無限延長不相交且不在同一平面上,
(A)有相交;(B)有相交;(C)同一平面;(D)同一平面;
故選(E)


cos360=cos0=1最大(餘弦值最大值為1),故選(D)



壘上有1人: 可能在1壘、2壘或3壘,共有3種情形
壘上有2人: 可能在1,2壘、1,3壘或2,3壘,共有3種情形
壘上有3人: 1壘、2壘及3壘各有1人,只有1種情形
因此共有3+3+1=7種情形,故選(C)



9x24y2=36x222y232=1a=2,b=3c2=22+32=13c=13¯F1F2=2c=213
故選(E)


[0.7yx0.4]x=10.7=0.3,y=10.4=0.6|0.7yx0.4|=|0.70.60.30.4|=0.280.18=0.1故選(A)



:5筆資料與y=x+1非常接近,只有(D)離此直線較遠,故選(D)


\vec { u } \cdot \vec { v } =|\vec { u } ||\vec { v } |\cos { 120° } =1\times 2\times \left( -\frac { 1 }{ 2 }  \right) =-1\\ \left( \vec { u } +\vec { v }  \right) \cdot \left( \vec { u } +\vec { v }  \right) ={ \left| \vec { u } +\vec { v }  \right|  }^{ 2 }\Rightarrow { \left| \vec { u }  \right|  }^{ 2 }+2\vec { u } \cdot \vec { v } +{ \left| \vec { v }  \right|  }^{ 2 }={ \left| \vec { u } +\vec { v }  \right|  }^{ 2 }\\ \Rightarrow 1-2+4=3={ \left| \vec { u } +\vec { v }  \right|  }^{ 2 }\Rightarrow \left| \vec { u } +\vec { v }  \right| =\sqrt { 3 } 故選\bbox[red,2pt]{(C)}



x^{ 2 }+4x+a>0\Rightarrow x^{ 2 }+4x+4+a-4>0\Rightarrow (x+2)^{ 2 }+a-4>0\Rightarrow a-4>0\Rightarrow a>4故選\bbox[red,2pt]{(B)}




每一個分組要比C^4_2=6場比賽,八個分組要比6\times 8=48場比賽,故選\bbox[red,2pt]{(A)}



a_1\times a_3\times a_5\times a_7=a_1\times (a_1r^2)\times (a_1r^4)\times (a_1r^6) = a_1^4r^{12}=81\\\Rightarrow a_1r^3=\pm 3\Rightarrow a_1^2r^6=9\Rightarrow (a_1r)\times(a_1r^5)=9\Rightarrow a_2\times a_6=9
故選\bbox[red,2pt]{(C)}



f(1+i)=0\Rightarrow 1\pm i皆為f(x)=0之兩根,由於f(x)為實係數三次式,還有一實根,即y=f(x)與x軸交於1點,故選\bbox[red,2pt]{(B)}



(A) 3\\ (B)1\\(C)\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\\(D)\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10} \\(E)\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}
故選\bbox[red,2pt]{(E)}


\gamma = (-1)\times 1+8\times 3=-1+24=23,故選\bbox[red,2pt]{(D)}



:兩平面的法向量分別為\vec{u}=(1,-2,2),\vec{v}=(1,0,1),由\vec{u}\cdot\vec{v}= |\vec{u}||\vec{v}|\cos{\theta}可知\cos{\theta}=\frac{1+0+2}{\sqrt{1^2+2^2+2^2} \times\sqrt{1^2+0+1^2}}=\frac{3}{3\times\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \theta=45^\circ故選\bbox[red,2pt]{(C)}


(E)y=\sqrt{1-x^2}\Rightarrow x^2+y^2=1為一圓,其它選項皆不是封閉圖形,無法放進大圓裡面,故選\bbox[red,2pt]{(E)}




\triangle F_1PF_2的底\overline{F_1F_2}=2c長度固定,其面積最大發生在高=b時,由a=5,b=3\Rightarrow c=4可求其面積=2c\times b \div 2=8\times 3\div 2=12故選\bbox[red,2pt]{(A)}




先求平均值\mu_X=(-1+0+1+2+3)\div 5=1,再求\sigma_X^2=((-1-1)^2+1^2+(1-1)^2+(2-1)^2+(3-1)^2) \div 5 =10\div 5=2,因此標準差\sigma_X=\sqrt{2}故選\bbox[red,2pt]{(B)}





至少得2分的情形有:
得2分:011,110,101三種情形,每種情形的機率皆為\frac{1}{8},因此得2分的機率為\frac{3}{8}
得3分:只有111一種情形,機率為\frac{1}{8}
因此機率總和為\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}故選\bbox[red,2pt]{(D)}


\frac{P(體重超重且血壓異常)}{P(體重超重)}=\frac{0.1}{0.5}=0.2故選\bbox[red,2pt]{(C)}





該直線方向向量為\vec{u}且經過P,因此該直線可表示成\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-3}{-1},即(-t+3,2t+1,-t+3)
地面為xy平面,即z=0,因此-t+3=0\Rightarrow t=3,球觸及地面的坐標為(-3+3,6+1,0)= (0,7 ,0),故選\bbox[red,2pt]{(D)}


\begin{cases} x-2y+3z=5 \\ 2x+y-3z=-3 \\ 3x-y+2z=6 \end{cases}\Rightarrow x=\alpha =\frac { \begin{vmatrix} 5 & -2 & 3 \\ -3 & 1 & -3 \\ 6 & -1 & 2 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -3 \\ 3 & -1 & 2 \end{vmatrix} } =\frac { 55-45 }{ 14-4 } =\frac { 10 }{ 10 } =1
故選\bbox[red,2pt]{(A)}



抽中5元硬幣的機率為\frac{1}{2},期望值為5\times\frac{1}{2}=\frac{5}{2}=2.5
抽中10元硬幣的機率為\frac{1}{2},期望值為10\times\frac{1}{2}=5
因此所求之期望值為2.5+5=7.5,故選\bbox[red,2pt]{(B)}





函數y=\sin{x}y=2\cos{x}的圖形交點數與函數y=\sin{x}y=\cos{x}的圖形交點數目是一樣的,都是四個,故選\bbox[red,2pt]{(E)}

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